高考数学（理）五 概率与统计

专题五概率与统计

小题增分专项统计与统计案例、概率

命I题吩I析

&全国卷3年高考

年份全国I卷全国II卷全国III卷

样本的标准

2020回归分析（5概率的性质（3

差工

古典概型（6

样本的数字特征

2019相互独立事件样本的频率.13

样本的平均值.13

的概率.T15

统计图的识别

相互独立事件

2018与分析古典概型（8

及二项分布

几何概型•「（）

@命题规律

统计与统计案例、概率的选择题、填空题涉及的内容较为简

单，主要有概率、抽样方法、统计图表的应用、用样本的数字特

征估计总体、线性回归及统计案例。试题属基础题，分值一般为

5分。

明确考点扣准要点.妾占禁合

一、统计与统计案例

1.抽样方法

抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。三种抽

样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点

和适用范围。

2.统计中的四个数字特征

（1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据。

（2）中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的

数据。如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为

中位数。

(3)平均数：样本数据的算术平均数，即％=；(乃+松+…+

(4)方差与标准差。

1———

52=-[(Xi—X)2+(X2-%)2H---\-(Xn-X)2],

s=y；[(xi—%y+(%2—%pH----F(%〃-%)2]。

3.直方图的两个结论

频率

(1)小长方形的面积=组距X畲毒=频率。

(2)各小长方形的面积之和等于lo

4.回归分析与独立性检验

AAA———

(1)回归直线经过样本点的中心(％,y),若％取某

AAA

一个值代入回归直线方程y=b%+”中，可求出y的估计值。

(2)独立性检验。

对于取值分别是｛为，及｝和｛y，竺｝的分类变量X和匕其样

本频数列联表是：

V总计

%1aba~\~b

%2Cdc+d

总计a~\~cb~\~dn

则心诉冰其中广为样本

容量)。

二、概率

1.概率模型公式及相关结论

(1)古典概型的概率公式。

.m事件A中所含的基本事件数

0(为一〃一试验的基本事件总数°

(2)几何概型的概率公式。

构成事件A的区域长度(面积或体积)

"A)一试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)。

(3)条件概率。

在A发生的条件下B发生的概率：尸(8依)=鬻1

(4)相互独立事件同时发生的概率:若A,B相互独立,则P(AB)

=P(A)P(B)o

(5)若事件A,3互斥,则P(AUB)=P(A)+P(B),

P(A)=1-P(A)O

2.独立重复试验与二项分布

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在〃次独

立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)=apk(l—p)〃-k,卜=

0,1,2,…，n。用X表示事件A在〃次独立重复试验中发生的次

数，则X服从二项分布，即X〜35,p)且尸(X=©=C我(l—p)k

ko

3.超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件

次品，则P(X=k)=’「〃’，左=0,1,2,,,,,m,其中m=min{M,

LN

n},且MWN,n,M,N£N*,此时称随机变量X服从超

几何分布。超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参

数是M,N,no

4.离散型随机变量的均值'方差

(1)离散型随机变量。的分布列为

♦・♦•••

X]%2%3Xi

♦・・•••

PP1P2P3PiPn

离散型随机变量。的分布列具有两个性质：①p‘20;

②pi+p2H-----------Fp〃=l(i=1,2,3,…，w)o

(2)E((f)=%iPi+%2。2H-------------1"%也〃为随机变量。的数学

期望或均值。

。(②=(X]—a0)2"+(%2—石H-----F(为一E(e)2・p,H—

+(%”-E0)2.p〃叫做随机变量4的方差。

(3)数学期望、方差的性质。

①E(a^+份="石(。+5,O(a4+b)=/Q(e。

②X〜B(n,p),则E(X)=〃〃，D(X)=〃p(l—p)。

③X服从两点分布，则风X)=p,D(X)=p(l-p)o

精析精研重点攻关e考向探究o

考向一用样本估计总体

[例1](l)ETC的中文翻译是电子不停车收费系统。2019

年3月，李克强总理在《政府工作报告》中提出，两年内基本取

消全国高速公路省界收费站，实现不停车快捷收费。如图是

2015—2019年中国ETC累计用户数量情况统计图。则下面结论

中错误的是()

2015—2019年中国ETC累计用户数量情况

用户数量/万辆

A.2015—2019年中国ETC累计用户数量与时间成正相关

B.2019年中国ETC累计用户数量约是2015年的8.1倍

C.2019年中国ETC累计用户数量呈爆发式增长，较2018

年同比增长约166.5%

D.2016—2018年，中国ETC每年新增用户的数量成递增数

列

解析对于A,根据统计图得，2015—2019年中国ETC累

计用户数量与时间成正相关，所以A正确。对于B,根据统计图

20400

得2515"&1，所以B正确。对于C,2019年中国ETC累计用户

数量为20400万辆，2018年中国ETC累计用户数量为7656万

,左八左一,「“20400-7656

辆，2019年较2018年同比增长100%X——市去——"166.5%,

所以C正确。对于D,2016年的新增用户数量为2006万辆，2017

年的新增用户数量为1379万辆，2018年的新增用户数量为1756

万辆，易知每年新增用户的数量不成递增数列，所以D错误。故

选D。

答案D

（2）（2020•天津高考）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单

位：mm),将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,

［5.45,5.47）,［5,47,5.49］,并整理得到如下频率分布直方图，则在

被抽取的零件中，直径落在区间［5.43,5.47）内的个数为（）

［频率

组距

10.00....................................................——

8.75——................................................................

7.50------------------------------------I-------

6.25.....................................................................—

5.00-.............................................................................————

3.75......................-J——

2.50------------------------------------

1'25b--HIIIIIII__

ovV5.315.335.355.375.395.415.435.455.475.49直径/mm

A.10B.18

C.20D.36

解析由题图知［5.43,5.45）与［5.45,5.47）所对应的小矩形的高

分别为6.25,5.00,所以直径落在区间［5.43,5.47）内的频率为（6.25

+5.00）X0.02=0.225,所以直径落在区间［5.43,5.47）内的个数为

80X0.225=18。故选B。

答案B

方法悟通

(1)用频率分布直方图估计总体的数字特征应注意以下几点。

①频率分布直方图的纵轴是频率林，而不是频率。

②在频率分布直方图中，每个小长方形的面积才是相应区间

的频率。

③最高的小长方形底边中点的横坐标是众数。

④平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交

点的横坐标是中位数。

(2)对于其他的统计图表，要注意结合问题背景分析其所表达

的意思，进而解决所给问题。

［变式训练1】(1)某地气象局把当地某月(共30天)每一天

的最低气温作了统计，并绘制了如图所示的统计图。假设该月温

A.fTlc~—XB.Hlc=加0<X

C-mc<m()<xD.mo<mc<x

解析由题图知众数由中位数的定义知，温度的中

位数乙是第15个数与第16个数的平均值，由题图知将数据从小

到大排第15个数是5,第16个数是6,所以侬=5.5,%=^X(2X3

+3X4+10X5+6X6+3X7+2X8+2X9+2X10)^5.97,所以

mo<mc<xo故选D。

答案D

(2)(2020•南充市适应性考试)某贫困村经过一年的精准扶贫，

该村农民的经济收入增加了一倍，实现翻番，全村已经实现脱贫。

为更好地了解该村的经济收入变化情况，统计了该村精准扶贫前

后农民的经济收入构成比例，得到如下饼状图：

精准扶贫前经济精准扶贫后经济

收入构成比例收入构成比例

则下面结论中不正确的是（）

A.精准扶贫后，种植收入减少

B.精准扶贫后，其他收入增加了一倍以上

C.精准扶贫后，养殖收入增加了一倍

D.精准扶贫后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经

济收入的一半

解析设精准扶贫前经济收入为"2,则精准扶贫后经济收入

为2m,精准扶贫前养殖收入为0.25m,种植收入为0.7机，第三产

业收入为0.03加,其他收入为0.02”精准扶贫后养殖收入为0.5根,

种植收入为0.88m,第三产业收入为0.52m,其他收入为0.1根，

所以种植收入增加了，A错误。

答案A

（3）已知样本%1，%2，…，％2（）19的平均数和方差分别是1和4,

若y尸的+g=1,2,…，2019）的平均数和方差也分别是1和4,

b

则a=o

解析由题意得ra+b==4l,,Q=1,a=-1,

解得

b=0b=2,

b

所以a=\0

答案1

考向二相关关系与独立性检验

【例2】（1）（2020•南昌市模拟）已知一组样本数据（汨，y）,

（%2，小），（%3，V3），…，（%6,泗），用最小二乘法得到其线性回归

A

方程为y=-2%+4,若％i，必孙…，％6的平均数为1，则y+

竺+y3H---Fy6=()

A.10B.12C.13D.14

解析回归直线过样本点的中心(％,y),因为％=1,所以

y=-2X1+4=2,所以y+y2+y3H---Fy6=6X2=12。故选B。

答案B

(2)为了判断高中生是否选修理科与性别的关系，现随机调查

了50名学生，得到如下的2X2列联表：

选修理科选修文科总计

男131023

女72027

总计203050

士,八，”3/口50X(13X20—10X7)2

根据表中的数据,得到K2的观测值k=-—

/XZ/AZU入JU

心4.844,若尸(蜉23.841)=0.05,P(A：2^5.024)^0.025,则认为

高中生是否选修理科与性别有关系出错的可能性约为()

A.2.5%B.5%

C.1%D.10%

解析因为4.844>3.841,。(心>3.841)心0.05,所以认为是

否选修理科与性别有关系出错的可能性约为5%。

答案B

法悟通

(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点

图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系,

则可通过线性回归方程估计和预测变量的值；回归直线过样本点

的中心（％,y）,应引起关注。

（2）独立性检验问题，要确定2X2列联表中的对应数据，然

后代入号求解即可。

【变式训练2］（1）节能降耗是企业的生存之本，所以要树

立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最

好的管理来实现节能效益的最大化。为此某国企进行节能降耗技

术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润:

年号工12345

年生产利润y/千万元0.70.811.11.4

预测第8年该国企的年生产利润约为（）

（参考公式及数据：回归直线y=b%+a的斜率和截距的最小二

nn

y(方一%)8—y)n%y

Aj=।j=]A-A

乘估计分别为二=二一，a=y-b

n-n一

X%?—«X2

f=l/=1

-5——5

%，5%y=1.7,»»x』10)

i=l1=1

A.1.88千万元B.2.21千万元

C.1.85千万元D.2.34千万元

1+2+3+4+5—

解析由已知可得了=5=3,y=

0.7+0.8+1+1.1+1.4A1.7A-A-

-------------------------------------------------------------------1KI。=0.17,则。=y—bx—1一

A

0.17X3=0.49,所以年生产利润与年号的回归方程为y=0.17x+

A

0.49,当％=8时，^=0.17X8+0.49=1.85o故选C。

答案C

（2）随机采访50名观众对某电视节目的满意度，得到如下列

联表：

单位：人

满意不满意总计

男102030

女15520

总计252550

附表和公式如下:

P（K2》%o）0.1000.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

/=（。+颂配）（%油+4其中〃=a+b+c+”为样本容

量。

根据以上数据可知（）

A.有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关

B.有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关

C.有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关

D.有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关

,刃50X（10X5-20X15）2,

解析由于蜉=』.333>6.635,所以

有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关，故选Co

答案C

考向三古典概型与几何概型

【例3】（1）（2020・湖北八校联考）《西游记》《三国演义》《水

浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著。若在这四大名著中,

任取2部进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（）

A.|B.|C.|D."

解析依题意所求的概率P=C^l=1j。故选B。

答案B

（2）（2020•惠州市调研考试）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜

想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“任何一个

大于2的偶数都可以写成两个素数之和"，如40=3+37。在不

超过40的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于40的概率

是（注：如果一个大于1的整数除了1和它本身外无其他正因数，

则称这个整数为素数）（）

X

A工B

A1517

—DX

J22J26

解析不超过40的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,共

12个数。40=3+37=11+29=17+23,共3组数的和等于40,

31

所以随机选出2个不同的数，其和等于40的概率为说=五。故

选C。

答案C

（3）（2020.安徽江淮十校第一次联考）勒洛三角形是定宽曲线

所能构成的面积最小的图形，它是德国机械学家勒洛首先进行研

究的。其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为

圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的

曲边三角形就是勒洛三角形。如图所示，现要在勒洛三角形中随

机取一点，则此点在正三角形ABC内的概率为（）

7TX2?

解析可令BC=2,则以3为圆心的扇形面积S扇形ABC6

2兀1

=§,ZiABC的面积S/iA8c=1X2X2X=y/39由题图可知，勒

洛三角形的面积为3个扇形ABC的面积减去2个正三角形ABC

的面积，?pyX3-2^3=271-2^3,所以在勒洛三角形中随机取

l

一点，此点在正三角形三3c内的概率是27rxi小=2(7rEj§)°故

选B。

答案B

法悟通

(1)求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件的总数和所

求事件包含的基本事件的个数。常常用到排列、组合的有关知识,

计数时要正确分类，做到不重不漏。

(2)计算几何概型的概率，构成试验的全部结果的区域和事件

发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示

所需要的区域。

【变式训练3]（1）（2020・武汉重点中学期末联考）湖北省新

高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必选，物理、

历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共12种选课模式。

今年高一的小明与小亮都准备选历史，假设他们都对后面的四科

没有偏好，则他们选课相同的概率为（）

1

A.B.

3616

1

C二

86-

解析由题意知，小明与小亮的选课方式共有ac=36（种）,

其中他们选课相同的方式有&=6（种）。由古典概型的概率计算公

式，可知他们选课相同的概率为尸故选D。

3。o

答案D

（2）阳马是底面为长方形，有一条侧棱与底面垂直的四棱锥。

在阳马P-ABCD<+>,PC为阳马P-ABCD中最长的棱，AB=1,AD

=2,PC=3,若在阳马P-ABCD的外接球内部随机取一点，则该

点位于阳马内的概率为（）

A-27TIB。27兀

D.旨

9兀

解析根据题意，可知PC即为阳马P-A8CO的外接球的直

4（319兀

径，故外接球的体积V球=针乂目3=多由题意知，R4_L平面

ABCD,则PC=\!PA2+AB2+AD2,所以3=\^不用^,所以

14

PA=2,则阳马尸-ABCQ的体积V阳马P-ABCD=QX1X2X2=W，所

4

38

以所求概率p=i=亍=。故选c。

9712/兀

~2

答案C

考向四条件概率、相互独立事件、正态分布

【例4】(1)从1,234,5,6,7中取出两个不同的数，记事件A

为“两个数之和为偶数”，事件3为“两个数均为偶数”，则

P(B|A)=()

A.劣B,

-3-I

C.亍D.5

解析解法一：从这七个数中取出两个不同的数，不同的结

果共有C芥中。因为事件A为“两个数之和为偶数”，其包含的基

本事件有{1,3},{1,5},{1,7},{3,5},{3,7},{5,7},{2,4},{2,6},

93

{4,6},共9个，所以P(A)=@=不因为事件3为“两个数均为

偶数”，其包含的基本事件有{2,4},{2,6},{4,6},共3个，所

以P(AB)=「2=亏。所以P(3|A)=故选Bo

/r(A)J

解法二：因为事件A为“两个数之和为偶数”，所以选取的

两个数都为偶数或都为奇数，事件A包含的基本事件有{1,3},

{1,5},{1,7},{3,5},{3,7},{5,7},{2,4},{2,6},{4,6},共9

个。事件“3|A”表示在事件A发生的前提下事件B发生，即“在

两数之和为偶数的前提下，选取的两个数都为偶数”，事件“矶4”

3

包含的基本事件有{2,4},{2,6},{4,6},共3个。故尸(用4)=§=

1o故选B。

答案B

(2)(2020・广州调研)某大学选拔新生补充进“篮球”“电子

竞技”“国学，，三个社团。据资料统计，新生通过考核选拔进入

这三个社团成功与否相互独立。2019年某新生入学，假设他通过

选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率

依次为加，no已知这三个社团他都能进入的概率为古，至少

进入一个社团的概率3为本则根+几=()

A.gB.|

C.4D•夜

解析设该生进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”社

团分别为事件A,B,C,则P(A)=m，P(C)=«o依题

意知P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=mX^Xn=^,所以mn=L1一

3o

一—_23

P(ABC)=l-P(A)-P(5)P(C)=l-(l-m)X-X(l-7i)=",所

3

以([-m)-(l-ri)—go由(1一阳),(1—〃)=1-(m+/i)+mn=1一(m

133

+〃)+$=£,所以冽+〃=)故选C。

oo4

答案c

(3)某班有50名学生，一次考试后数学成绩X(X£N)服从正

态分布M100,102),已知P(90WXW100)=0.3,估计该班学生数

学成绩在110分以上的人数为O

解析由题意，知P(X>110)=--------F-----------=0.2,所

以估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2X50=10。

答案10

方法悟通

(1)条件概率的求法

在A发生的条件下B发生的概率

/W尸需。

(2)相互独立事件同时发生的概率公式

P(AB)=P(A)P(B)O

(3)独立重复事件、二项分布的概率

如果事件A在一次试验中发生的概率是.，那么它在〃次独

立重复试验中恰好发生k次的概率为

Cnp\\-p)nk,%=0,1,2,…n。

(4)正态分布问题的求解关键

①〃，/反映的是变量的特征；

②正态曲线和％轴之间的平面图形的面积为1;

③正态曲线的对称性。对于求特殊区间的概率的问题，要将

所求区间的概率向三个特殊区间的概率P〃一+P(^U—

2。＜%01+2。)，转化，然后利用特定值求出相

应的概率。

【变式训练4](1)根据历年高三教学统计资料，某校高三

理科生前100名的学生，三月份一模语、数、外三科成绩均达到

优秀的概率为0.7,理、化、生三科成绩均达到优秀的概率为0.6,

语、数、外和理、化、生六科成绩均达到优秀的概率为0.5,则在

语、数、外三科成绩均达到优秀的条件下理、化、生三科成绩均

达到优秀的概率为()

65

--

A.7B.6

C.yD.5

解析设事件A表示“语、数、外三科成绩均达到优秀”，

8表示“理、化、生三科成绩均达到优秀”。则P(A)=0.7,P(B)

=0.6,P(AB)=0.5o所以在语、数、外三科成绩均达到优秀的条

件下理、化、生三科成绩均达到优秀的概率为尸(8依)=今黑=舒

L\A)u./

5

7°

答案C

(2)据某高速公路收费站统计，“五一”前后，每天通行车辆

的数量。服从正态分布N(2000,/)，若尸(〈>2200)=a,P(1

41

800<^<2000)贝与+g的最小值为o

解析由己〜NQ000,4)，尸(。>2200)=a,P(1800<^<2000)

1141/41、

=b,得。=不一所以。+/?=5，又。>0,b>0,则一+工=2二+工

，LClD\ClDJ

(a+份=2(5+?+磬22(5+2、佟=18,当且仅当

\au)\au)

\^b_af_1

"=方。=孕41

<[即j]时取等号。所以z+g的最小值为18。

答案18

(3)(2020•广州市阶段训练)某种产品的质量指标值Z服从正态

分布NQ,^),且3CF<ZW〃+3。户0.9973。某用户购买了

10000件这种产品，则这10000件产品中质量指标值位于区间Q

—30,〃+3日之外的产品件数为o

解析10000件产品中质量指标值位于区间（//—3b,〃+35

之外的产品件数为[1一—3O<Z<[A+3a）]X10000^（1-0.997

3）X10000=27o

答案27

重I点I加I强I练

1.某次数学摸底考试共有10道选择题，每道题给的四个选

项中有且只有一个选项是正确的。张三同学每道题都随意地从中

选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P,则下列数

据中与尸的值最接近的是（）

A.3乂10-4B.3X10-5

C.3X10"D.3义10—7

解析由题意知本题是一个独立重复试验，试验发生的次数

是10,每题选择正确的概率是"，该同学至少答对9道题包括答

对9道题或答对10道题，根据独立重复试验的公式得到该同学至

少答对9道题的概率为P=C?oXR9x]+c际「3XIO'。

答案B

2.已知某高级中学高三学生有2000名，在第一次模拟考试

中数学成绩4服从正态分布N（120,〃），已知P（100<0<120）=0.45,

若学校教研室欲按分层抽样的方式从中抽出100份试卷进行分析

研究，则应从140分以上的试卷中抽（）

A.4份B.5份

C.8份D.10份

1一2尸(100＜。＜120)

解析因为尸（令）所以应从

140=2=0.05,

、,，、上.」，0.05X2000、

140分以上的试卷中抽一了面一义1°0=5（份）。

答案B

3.（2020•浙江高考）盒中有4个球，其中I个红球，1个绿球,

2个黄球。从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红

球为止。设此过程中取到黄球的个数为。，则尸e=o）=

E8=O

解析。=0表示停止取球时没有取到黄球，所以P（4=0）=：

+（x；=；。随机变量4的所有可能取值为0,1,2,则％=l）=|x；

2111211211121211

+4X3X2+4X3X2=3,W=2）=4X3X2+4X3X2+4X3X2

+TX^X1=1,所以E©=0X；+lX?+2X；=1。

IJ乙JJJJ

答案I1

重点增分专练（十二）统计与统计案例、概率

A级基础达标

一、选择题

1.（2020•成都诊断性检测）某校随机抽取100名同学进行“垃

圾分类”的问卷测试，测试结果显示这100名同学的得分都在

[50,100]内，按得分分成5组:[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,

[90,100],得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的

得分的中位数为（

A.72.5B.75

C.77.5D.80

解析频率分布直方图中左边第一个小长方形的面积为

0.010X10=0.1,左边第二个小长方形的面积为0030X10=0.3。

设这100名同学的得分的中位数为％,则（%—70））＜0.040=0.5—0.3

-0.1,所以％=72.5。

答案A

2.（2020•合肥市教学质量检测）“一带一路”是“丝绸之路经

济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与

沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包

容的命运共同体。自2013年以来，“一带一路”建设成果显著。

如图是2013—2017年,我国对“一带一路”沿线国家进出口情况

统计图，下列描述错误的是（）

A.这五年，2013年出口额最少

B.这五年，出口总额比进口总额多

C.这五年，出口增速前四年逐年下降

D.这五年，2017年进口增速最快

解析由题图可知，这五年，2013年出口额最少，出口总额

比进口总额多，2017年进口增速最快，故A,B,D正确；而这

五年，出口增速2013年到2014年是递增的，故C错误。故选C。

答案c

3.（2020・全国川卷）在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分

4

别为Pl，P2,P3,〃4，且＞i=l，则下面四种情形中，对应样本

/=1

的标准差最大的一组是（）

A.P1=P4=O.1,22=必=0.4

B.pi=p4=0.4,〃2=P3=0.1

C.pi=p4=0.2,p2=p3=0.3

D.pi=p4=0.3,p2=p3=0.2

解析观察法，比较A,B,C,D四项，B数据最分散，所

以B的标准差最大。故选B。

答案B

4.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一

局就能获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军，若两队每局

获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）

解析解法一：由题意知，再打一局甲能获得冠军的概率为;,

再打两局甲能获得冠军的概率为:X；=：,故甲获得冠军的概率尸

=；+；=撩。故选D。

乙tI

解法二：设乙获得冠军的概率为外，则丹=；x；=；,故甲

3

获得冠军的概率P=l—Pi=j。故选D。

答案D

5.意大利数学家斐波那契的《算盘全书》中记载了一个有趣

的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生

后在第三个月就开始生小兔子。假如没有发生死亡现象，那么兔

子对数依次为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,这就是著名的斐

波那契数列，它的递推公式是如=。〃一1+“〃一2（〃23,〃£N*）,其

中0=1,<22=lo若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，

则这个数是偶数的概率为（）

133

A-3B,100

167

C-2D-loo

解析由题意知，斐波那契数列从第1项起每3项有1个偶

数，且偶数是3项中的最后一项，所以前100项中有33个偶数,

33,

所以所求概率尸=而^。故选B。

答案B

6.（2020・武昌区调研考试）某学校成立了A,B,C三个课外

学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习。申请

其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，

恰有2个申请A学习小组的概率是（）

33

A.B.

6432

D&

J「-2-7u.27

解析依题意4位学生申请A,B,。三个课外学习小组的方

法有34种，这4位学生中，恰有2人申请A学习小组的方法有

©X22种，所以这4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概率

,,CiX228…

为^4=2,1°故选Do

答案D

7.（2020•江西红色七校联考）下表是鞋子的长度与对应码数的

关系

长度/cm2424.52525.52626.5

码数383940414243

已知人的身高y（单位：cm）与脚长％（单位：cm）线性相关且回

归直线方程为y=7%—7.6。若某人的身高为173cm,据此模型,

估计其穿的鞋子的码数为（）

A.40B.41

C.42D.43

解析当j=173时，x="3[7"=25.8,对照表格可估计码

数为42o

答案C

8.某道数学试题含有两问，当第一问正确做对时，才能做第

二问，为了解该题的难度，调查了100名学生的做题情况，做对

第一问的学生有80人，既做对第一问又做对第二问的学生有72

人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率，已知某个学生

已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率为（）

A.0.9B.0.8

C.0.72D.0.576

解析做对第一问的学生有80人，则做对第一问的频率为

瑞=0.8。既做对第一问又做对第二问的学生有72人，则两问都

72

做对的频率为范=0.72。设“做对第一问”为事件A,“做对第

二问”为事件8,则尸(A)=0.8,P(AB)=0.72,某个学生已经做对

第一问，则该学生做对第二问的概率PGBIA)=，^=粽=0.9。

故选A。

答案A

9.某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似

服从正态分布N(84,4)，且P(78<XW84)=0.3。该市某校有400

人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为()

A.60B.80

C.100D.120

解析根据正态分布曲线的对称性可知P(84<X<90)=0.3,

所以P(X290)=0.2。所以该校数学成绩不低于90分的人数约为

400X0.2=80o

答案B

io.已知随机变量x,y满足x+y=8,若x〜8(io,0.6),

则风r),Q(r)分别是()

A.6和2.4B.2和2.4

C.2和5.6D.6和5.6

解析因为随机变量x,y满足x+y=8,x〜3(io,0.6),所

以风X)=10X0.6=6,D(X)=10X0.6X0.4=2.4,则比7)=夙8—

X)=8-E(X)=8-6=2,£>(r)=D(8-X)=r)(X)=2.4o故选B。

答案B

二、填空题

11.已知随机变量X服从正态分布N(2,l),若P(XWa—2)=

P(X22a+3),则&=o

解析因为随机变量X服从正态分布N(2,l),所以〃=2,即

正态曲线的对称轴为〃=2,因为尸(XWa—2)=P(X>2a+3),所

以a—2+2。+3=4,所以。=1。

答案1

12.若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在

已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品

的概率为o

解析设事件”从8件产品中取出的2件产品中有1件不是

一等品”为A,事件“从8件产品中取出的2件产品中有1件是

一等品，，为'则尸所哭誓=£尸甯4H，

5Zo5Zo/

所以在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下另1件是一

3

等品的概率为P（5|A）=\（A））=F=丁。

28

12

答案13

13.（2020•天津高考）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为:

和;。假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子

的概率为;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为

解析依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为:

4JU

（n（ni

甲、乙两球都不落入盒子的概率为1—5x1-T则甲、乙

1?

两球至少有一个落入盒子的概率为1—

答案上4

oJ

14.某市去年外出务工返乡创业人员中有1000人收入（单位:

万元）在区间［1,41］内，从这1000人中随机抽取100入，得到这

100人年收入的频率分布直方图如图所示。这些数据区间是[L5],