2025年高考数学一轮复习-第二章-第四节 幂函数与二次函数-课时作业【含解析】

2025年高考数学一轮复习-第二章-第四节幂函数与二次函数-课时作业（原卷版）[A组基础保分练]1.（2024·天津）已知幂函数f（x）＝（m2－3m＋3）·xm＋1为偶函数，则m＝（  ）A.1 B.2C.1或2 D.32.（2024·山东青岛）若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为（  ）A.－1＜m＜0＜n＜1B.－1＜n＜0＜mC.－1＜m＜0＜nD.－1＜n＜0＜m＜13.（2024·河北保定）已知a＝243，b＝323，A.b＜a＜c B.a＜b＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b4.（2024·广东汕头期末）“函数f（x）＝－x2＋2mx在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是（  ）A.2≤m＜3 B.12≤m≤C.1≤m＜3 D.2≤m≤55.（2024·新疆阿勒泰）已知函数f（x）＝x2，x≥0，1x，x<0，g（6.（多选）（2024·江苏南京）若函数f（x）＝x13，且x1＜x2A.（x1－x2）（f（x1）－f（x2））＞0B.x1－f（x1）＞x2－f（x2）C.f（x1）－x2＜f（x2）－x1D.f（x17.（多选）幂函数f（x）＝m2－5mA.m＝3B.函数f（x）在（－∞，0）上单调递增C.函数f（x）是偶函数D.函数f（x）的图象关于原点对称8.（多选）若二次函数f（x）＝ax2＋2ax＋1在区间[－2，3]上的最大值为6，则a等于（  ）A.－13 B.C.－5 D.59.已知函数f（x）为幂函数，且f（4）＝12，则当f（a）＝4f（a＋3）时，实数a＝    10.已知f（x）＝ax2－2x（0≤x≤1），求f（x）的最小值.11.已知幂函数f（x）＝xm2－2m－3（m为正整数）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是严格减函数，求满足（[B组能力提升练]12.（2024·安徽合肥质检）已知函数f（x）＝－2x2＋bx＋c，不等式f（x）＞0的解集为（－1，3）.若对任意的x∈[－1，0]，f（x）＋m≥4恒成立，则m的取值范围是（  ）A.（－∞，2] B.[4，＋∞）C.[2，＋∞） D.（－∞，4]13.（2024·江苏如皋）已知函数f（x）＝2x2－ax＋1，x∈[－1，a]，且f（x）最大值为f（a），则实数a的取值范围为（  ）A.（－∞，－4]B.（－∞，－1]∪[2，＋∞）C.[2，＋∞）D.[－4，＋∞）14.（多选）已知幂函数f（x）的图象经过点18，24，P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1A.x1f（x1）＞x2f（x2） B.x1f（x2）＜x2f（x1）C.f（x1）x1＞15.（多选）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2－4x，则下列选项正确的是（  ）A.函数f（x）的值域为[－4，＋∞）B.f（x）的零点有4个C.不等式f（x＋2）＜5的解集为（－7，3）D.方程｜f（x）｜＝4的根有4个16.已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），则f（x）的解析式为       .17.若函数φ（x）＝x2＋m｜x－1｜在[0，＋∞）上单调递增，则实数m的取值范围是    .18.已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根.（1）是否存在实数k，使得（2x1－x2）（x1－2x2）＝－32成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由（2）求使x1x2＋x2x12025年高考数学一轮复习-第二章-第四节幂函数与二次函数-课时作业（解析版）[A组基础保分练]1.（2024·天津）已知幂函数f（x）＝（m2－3m＋3）·xm＋1为偶函数，则m＝（  ）A.1 B.2C.1或2 D.3答案：A解析：因为f（x）＝（m2－3m＋3）xm＋1为幂函数，所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2.当m＝2时，f（x）＝x3，函数f（x）不是偶函数，舍去；当m＝1时，f（x）＝x2，函数f（x）是偶函数.2.（2024·山东青岛）若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为（  ）A.－1＜m＜0＜n＜1B.－1＜n＜0＜mC.－1＜m＜0＜nD.－1＜n＜0＜m＜1答案：D解析：对于幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在（0，＋∞）上为增函数，且0＜α＜1时，图象上凸，∴0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在（0，＋∞）上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1＜2n，∴－1＜n＜0.3.（2024·河北保定）已知a＝243，b＝323，A.b＜a＜c B.a＜b＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b答案：A解析：由题意得b＝323＜423＝a＝243＝423＜4＜5＝2512＝c，所以4.（2024·广东汕头期末）“函数f（x）＝－x2＋2mx在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是（  ）A.2≤m＜3 B.12≤m≤C.1≤m＜3 D.2≤m≤5答案：C解析：由题意知，函数f（x）图象的对称轴是直线x＝m，则1＜m＜3.结合选项可知，函数f（x）＝－x2＋2mx在区间[1，3]上不单调的一个必要不充分条件是1≤m＜3.5.（2024·新疆阿勒泰）已知函数f（x）＝x2，x≥0，1x，x<0，g（答案：B解析：因为g（x）＝f（－x），所以g（x）图象与f（x）的图象关于y轴对称，由f（x）解析式，作出f（x）的图象如图所示.从而可得g（x）图象为B选项.6.（多选）（2024·江苏南京）若函数f（x）＝x13，且x1＜x2A.（x1－x2）（f（x1）－f（x2））＞0B.x1－f（x1）＞x2－f（x2）C.f（x1）－x2＜f（x2）－x1D.f（x1答案：AC解析：由幂函数的性质知，f（x）＝x13在R因为x1＜x2，所以f（x1）＜f（x2），即x1－x2＜0，f（x1）－f（x2）＜0，所以（x1－x2）（f（x1）－f（x2））＞0，故A正确；令x1＝0，x2＝1，则0－f（0）＝1－f（1）＝0，故B错误；令g（x）＝f（x）＋x＝x13＋由函数单调性的性质知，f（x）＝x13在R上单调递增，y＝x在所以g（x）＝f（x）＋x＝x13＋x在R因为x1＜x2，所以g（x1）＜g（x2），即f（x1）＋x1＜f（x2）＋x2，于是有f（x1）－x2＜f（x2）－x1，故C正确；令x1＝－1，x2＝1，则x1＋x所以f（1）＋f(−1）2＝7.（多选）幂函数f（x）＝m2－5mA.m＝3B.函数f（x）在（－∞，0）上单调递增C.函数f（x）是偶函数D.函数f（x）的图象关于原点对称答案：ABD解析：因为幂函数f（x）＝m2－5m+7x所以m2－5m+7=1，m2－6>0，解得m＝3，所以f（x）＝x3，所以f（－故f（x）＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f（x）在（－∞，0）上单调递增.8.（多选）若二次函数f（x）＝ax2＋2ax＋1在区间[－2，3]上的最大值为6，则a等于（  ）A.－13 B.C.－5 D.5答案：BC解析：显然a≠0，有f（x）＝a（x＋1）2－a＋1，当a＞0时，f（x）在[－2，3]上的最大值为f（3）＝15a＋1，由15a＋1＝6，解得a＝13当a＜0时，f（x）在[－2，3]上的最大值为f（－1）＝1－a，由1－a＝6，解得a＝－5，符合题意，所以a的值为13或－9.已知函数f（x）为幂函数，且f（4）＝12，则当f（a）＝4f（a＋3）时，实数a＝    答案：1解析：设f（x）＝xα，则4α＝12，所以α＝－1因此f（x）＝x－12，从而a－12＝4（a＋310.已知f（x）＝ax2－2x（0≤x≤1），求f（x）的最小值.解：（1）当a＝0时，f（x）＝－2x在[0，1]上单调递减，∴f（x）min＝f（1）＝－2.（2）当a＞0时，f（x）＝ax2－2x图象开口方向向上，且对称轴为x＝1a①当1a≤1，即a≥1时，f（x）＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]内，∴f（x）在0，1∴f（x）min＝f1a＝1a－2a②当1a＞1，即0＜a＜1时，f（x）＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f（x）在[0，1]∴f（x）min＝f（1）＝a－2.（3）当a＜0时，f（x）＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝1a＜0，在y∴f（x）＝ax2－2x在[0，1]上单调递减，∴f（x）min＝f（1）＝a－2.综上所述，f（x）min＝a11.已知幂函数f（x）＝xm2－2m－3（m为正整数）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是严格减函数，求满足（解：因为函数f（x）在（0，＋∞）上是严格减函数，所以m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.由m为正整数，则m＝1或m＝2.又函数f（x）的图象关于y轴对称，得f（x）是偶函数，而当m＝2时，22－2×2－3＝－3，f（x）＝x－3为奇函数，不符合题意，当m＝1时，12－2×1－3＝－4，f（x）＝x－4为偶函数，于是m＝1.因为y＝x－13为奇函数，在（－∞，0）与（0所以（a＋1）－13＞（3－2a）－13等价于a＋1＜3－2a＜0或3－2a＞a＋1＞0或a＋1＞0解得－1＜a＜23或a＞3即a∈－1，2[B组能力提升练]12.（2024·安徽合肥质检）已知函数f（x）＝－2x2＋bx＋c，不等式f（x）＞0的解集为（－1，3）.若对任意的x∈[－1，0]，f（x）＋m≥4恒成立，则m的取值范围是（  ）A.（－∞，2] B.[4，＋∞）C.[2，＋∞） D.（－∞，4]答案：B解析：因为f（x）＞0的解集为（－1，3），故－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1，3，所以－c2＝－1×3，b2＝－1则g（x）＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2（x－1）2＋8＋m，由x∈[－1，0]可得g（x）min＝m.又g（x）≥4在[－1，0]上恒成立，故m≥4.13.（2024·江苏如皋）已知函数f（x）＝2x2－ax＋1，x∈[－1，a]，且f（x）最大值为f（a），则实数a的取值范围为（  ）A.（－∞，－4]B.（－∞，－1]∪[2，＋∞）C.[2，＋∞）D.[－4，＋∞）答案：C解析：函数f（x）＝2x2－ax＋1图象的对称轴方程为x＝a4，当－1＜a≤0时，易得函数在[－1，a]上单调递减，所以函数f（x）的最大值为f（－1），不满足条件.当a＞0时，要使f（x）的最大值为f（a），则f（a）≥f（－1），即2a2－a2＋1≥2＋a＋1，解得a≤－1（舍）或a≥14.（多选）已知幂函数f（x）的图象经过点18，24，P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1A.x1f（x1）＞x2f（x2） B.x1f（x2）＜x2f（x1）C.f（x1）x1＞答案：BC解析：设幂函数为f（x）＝xα，则有18α＝2－3α＝24＝2－32，解得α＝12，所以f（x）＝x（x≥0）.由其图象知图象上的点与原点连线的直线的斜率随x增大而减小，即f（x2）x2＜f（x1）x1，x15.（多选）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2－4x，则下列选项正确的是（  ）A.函数f（x）的值域为[－4，＋∞）B.f（x）的零点有4个C.不等式f（x＋2）＜5的解集为（－7，3）D.方程｜f（x）｜＝4的根有4个答案：ACD解析：对于A，由于函数f（x）是偶函数，所以其图象关于y轴对称，当x≥0时，f（x）＝x2－4x≥－4，故函数f（x）的值域为[－4，＋∞），故A正确；对于B，当x≥0时，由f（x）＝x2－4x＝0，得x＝0或x＝4.由于函数f（x）为偶函数，故f（x）还有一个零点x＝－4，f（x）的零点有3个，故B错误；对于C，当x≥0时，由f（x）＝x2－4x＜5，得0≤x＜5；当x＜0时，根据偶函数图象的对称性知不等式f（x）＜5的解集为{x｜－5＜x＜0}，所以不等式f（x）＜5的解集为{x｜－5＜x＜5}，所以不等式f（x＋2）＜5的解集为{x｜－5＜x＋2＜5}＝{x｜－7＜x＜3}，故C正确；作出函数y＝｜f（x）｜的图象（图略），易得方程｜f（x）｜＝4的根有4个，故D正确.16.已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），则f（x）的解析式为       .答案：f（x）＝x2－4x＋3解析：∵f（2＋x）＝f（2－x）对任意x∈R恒成立，∴f（x）图象的对称轴为直线x＝2.又∵f（x）的图象被x轴截得的线段长为2，∴f（x）＝0的两根为1和3.设f（x）的解析式为f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0），∵f（x）的图象过点（4，3），∴3a＝3，∴a＝1，∴所求函数的解析式为f（x）＝（x－1）（x－3），即f（x）＝x2－4x＋3.17.若函数φ（x）＝x2＋m｜x－1｜在[0，＋∞）上单调递增，则实数m的取值范围是    .答案：[－2，0]解析：当0≤x＜1时，φ（x）＝x2－mx＋m，此时φ（x）单调递增，所以m2≤0，即m≤0当x≥1时，φ（x）＝x2＋mx－m，此时φ（x）单调递增，所以－m2≤1，即m≥－综上，实数m的取值范围是[－2，0].18.已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根.（1）是否存在实数k，使得（2x1－x2）（x1－2x2）＝－32成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理