高中数学讲义微40 利用函数性质与图像解不等式

微专题40利用函数性质与图像解不等式

高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集(如二次不等

式，分式不等式，指对数不等式等)；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。

相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能

力，难度较大。本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。

一、基础知识：

(-)构造函数解不等式

1、函数单调性的作用：/(X)在可单调递增，则

VX,,X2G[a,句,2<龙2。/(%)</>在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数

值大小关系的桥梁)

2、假设“X)在[a,目上连续且单调递增，叫)€(。力),〃玉))=°，则xe(a,Xo)时，

/(x)<0;x€(%,力)时，/(x)>0(单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号)

3、导数运算法则：

⑴(/(x)g(x))=/(x)g(x)+/(x)g'(x)

(2)J(x)g(2--(x)g<x)

4、构造函数解不等式的技巧：

(1)此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合

着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可

以确定入手点

(2)在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关

系的函数。在构造时多进行试验与项的调整

(3)此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。所以如果能够

确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。那么问题便易于解决了。

(-)利用函数性质与图像解不等式：

1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系。

通常可作草图帮助观察。例如：/(x)的对称轴为x=l,且在但增。则可以作出草图

(不比关心单调增的情况是否符合/(X),不会影响结论)，得到：距离X=1越近，点的函数

值越小。从而得到函数值与自变量的等价关系

2、图像与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是

如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个

函数的大小关系如〃x)<g(x),其中〃x),g(x)的图像均可作出。再由〃x)<g(x)可

知/(X)的图像在g(x)图像的下方。按图像找到符合条件的范围即可。

二、典型例题：

例1：定义在(0,+0。)上的可导函数/(x)满足：xf'(x)<f(x),/(1)=0,则"。<0的

解集为()

A.(0,1)B.(O,l)U(l,+°°)C.(l,+oo)D.0

思路：本题并没有了(X)的解析式，所以只能考虑利用函数的单调性来解不等式。由条件

xf'(x)</(x)可得4(x)-/(%)<0,进而联想到有可能是通过导数的乘除运算法则所得,

f(x]\t(A)-./(A)刚好与条件联系起来，故设

再结合所解不等式,发现

X

/⑴="6,则F(%)

=疗<on在(0,+8)上单调递减。

x

尸(1)=邛1=0,所以丛D<o的解集为(L+OO)

答案：C

小炼有话说：

(1)在解题过程中目标要明确：既然不能用传统方法解不等式，则要靠函数单调性，进而目

标为构造函数并求单调性，要确定单调性则要分析所构造函数的导函数的符号

(2)此题构造的关键点有二：一是/(x)</(x)轮流求导的特点，进而联想到导数乘除法

运算，二是所求不等式所给予的“暗示”。所以解此类题目一定要让条件与结论“对上话”

(3)体会条件/(1)=0的作用：提供零点以便配合单调性求解

例2：函数/(x)的定义域为R,/(-I)=2,对任意的xeR,有了'(x)>2,贝U/(x)>2x+4

的解集是:

思路：所解不等式化为/(x)—2x+4〉0,令g(x)=/(x)—2x+4,则g(x)=/'(x)—2

由尸(x)>2可得g'(x)>0(这也是为何构造g(x)的原因)，g(x)在R上单调递增。考虑

g(l)=/(1)—2x1+4=0,g(x)>0=>XG(1,+OO)

答案：(1,M)

例3：设定义在(―1,1)上的函数/(x)的导函数为f(x)=5+cosx,且/(0)=0,则不等

式/(%-1)+/(1-》2)<0的解集为

思路：由f(x)=5+cosx可得原函数/(x)=5x+sinx+C(注意由导函数反求原函数时

要带个常数C),再由〃0)=0可得C=0,.•./(x)=5x+sinx(看到函数解析式的反应：

定义域？奇偶性？)显然/(x)是奇函数，且在(一1,1)单调递增。进而不等式可利用单调性解

出X的范围。/(x-l)+/(l-x2)<0=>/(x-l)<-/(l-x2)=/(x2-l),所以

<-l<x2-l<l=>xe(l,V2)

X—1<x~—1

答案：xe(l,V2)

小炼有话说：(1)本题尽管求出的/(x)的解析式，但由于靠解析式所解得不等式过于复杂，

所以依然选择利用单调性

(2)要掌握一些能直接判断了(x)单调性与奇偶性的方法，常见的判断方法如下：

奇偶性：①奇+奇T奇②偶+偶T偶③奇X奇T偶④奇X偶T奇⑤偶火偶T偶

单调性：①增+增T增②减+减T减③增X(T)T减

④1/增T减(仅在函数值恒正或恒负时成立)

(3)本题求解有一个重要细节：由于/(x)定义在(一1,1)上，所以/(x-1),/(1一/)要保

证X—1,1—厂均在(-1,1)上

(4)要培恭一个习惯：拿到函数，首先看定义域，其次看函数的三个性质是否有能直接判断

的(尤其奇偶性)，再根据条件分析。

例4：函数/(幻是定义在R上的奇函数，/(2)=0,当x>0时，有/‘(x)：/(x)<0成立,

x

则不等式x-7(x)>0的解集是()

A.(-2,0)U(2,+s)B.(-2,0)11(0,2)

C.(-00,-2)U(0,2)D.(-w,-2)U(2,+oo)

思路：;/⑺<0=(<o,令则尸(%)在(0,物)单调递增,

因为/(幻是奇函数，所以可判断尸(x)为偶函数。另一方面，心/(幻〉0的解集与」工。的

解集相同，进而只需求出厂(力>0的解集。F(2)=/^=0,由增函数可得xw(2,4w)时,

F(x)>0,由对称性可知xe(-oo,-2)时，F(x)>0

答案：D

例5：若函数/(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+8)上是单调增函数.如果实数行满

足/(lnf)+/[n；)<2/(l)时，那么f的取值范围是.

思路：根据函数J'(x)为偶函数，而Inr与Ini互为相反数的特点可化简所求不等式：

/(ln/)+/^ln^<2/(l)^/(lnr)</(l),由偶函数与

单调性作草图可得：距离y轴约近，函数值越小，所以可得

|lnr|<l,解出/的范围即可

解：所解不等式等价于：/(lnr)+/(-lnr)<2/(l)

•."(X)为偶函数/(lnf)=/(-Inf)

.-./(ln/)</(l):/(x)为偶函数，且[0,+8)上单增

/.|lnr|<1=^>-1<Inr<1.1./€[

答案：.re(一,ej

小炼有话说：遇到单调性与对称轴已知的函数，可以作草图并得到距离对称轴远近与函数值

的大小的等价关系。

例6：己知定义在R上的可导函数y=/(x)的导函数为了'(X),满足f(x)</(x),且

y=/(x+l)为偶函数，/(2)=1,则不等式/(%)<，的解集为

思路：考虑条件能够提供什么，y=/(x+l)为偶函数n/(x+l)的图像关于x=0轴对称

n/(x)的图像关于x=l轴对称；/(%)</(%)=>/(x)-/(%)<0,由轮流求导的特点

联想到导数的乘除运算法则(极有可能是除法，则要猜想分母)，观察所求不等式与条件的联

系小)<,=乌<1,而(阴=进而找到

联系。构造函数尸(x)=」^,则F(尤)==f(x)；“X)<0,得到/(力在

(fO,+8)单调递增，所解不等式也变为求尸(X)<1的解。考虑/(x)=l时X的值，再利用

单调性求解。/(2)=1,而尸(2)=/身=/声1,考虑F(0)=/兴=/(0),•.•/(%)

图像关于x=l轴对称，故〃0)=/(2)=1,.•.尸(0)=1

由尸(x)在(-oo,4W)单调递增可得F(x)<1的解集为(YO,0)

答案：(一8,0)

小炼有话说：

(1)本题所给条件比较零散。而解题思路则是像一根线把各个条件与求解联系起来。此类题

目在不知如何入手时不妨先将条件进行简单转化，看条件能提供什么，再与所求部分(或者

是选择题中的选项)进行对照。从对照中往往就能够得知如何构造函数。

(2)本题对条件/(2)=1的利用，以及猜想尸(x)=l的解是一个难点。对于指对数运算，

结果比较整齐时(尤其是0,1),要想到一些特殊结果，比如。°=1』08“1=0等。

例7：设函数/(x)是定义在(-0,0)上的可导函数，其导函数为/(X),且有

2f(x)+xf\x)>x2,则不等式(X+2014)2/(X+2014)—4/(—2)>0的解集为()

A.(—oo,—2012)B.(—2012,0)C.(-oo,—2016)D.(—2016,0)

思路：此题一入手便发现需用函数单调性解不等式，观察条件：4(x)+犷''(£)>%2出现轮

流求导，所解不等式中(X+2014)2/(x+2014),4/(—2)=(—2)2/(-2)均具备“/〃司”

的形式，进而找到连结条件与所求的桥梁。下面对条件进行变形：

If(x)+xf(x)>x2=^>2xf(x)+x2/(x)<x3=>^x2f(x))</(注意x<0,不等式变

号)，令E(X)=X2/(X),则尸故Rx)在(ro,0)上单调递减。所解不等式

变为/(x+2014)>R(—2).-.x+2014<-2=>x<-2016

答案：C

小炼有话说：此题在处理条件(//(x))’<尤3时也有另一个选择，即

卜2/(力)一(；/)〈。0(//(同一；/)<0,但是这与所求不等式之间没有联系(不

1.2

等式中没有出现一公的形式)，所以此套方案舍弃，将V仅仅用于判断符号。在数学题目中，

4

条件就像树状图一样，一个条件可以引出很多种思路与想法。但是如何进行选取要借助其他

条件与所求带来的暗示

x+W

例8：(2015红桥一模)已知函数〃x)=,若/(x)vg(x),则实

1Pg⑴…2

数X的取值范围是()

(、

-1-⑹JT+石

A.-00,,+8

2}27

—1+y[51+A/5

C.

丁'〒

思路：本题如果按照传统不等式解法，则要通过零点分段

法去掉绝对值，再解不等式，过程较为复杂。分析

,1+1---,X>1,r.

,/Xx-\/\l+x,xNO拄

/W=.1/g(>l,x<。

-1+---,X<1I'

一1一x

段均可作出图像，而所解不等式〃x)<g(x)在图像上是

/(X)位于g(x)下方的部分。所以作出图像找到边界值：

g(x)=x+l]

A：41=>-1+---=X+1解得X与

/(x)=-l+----1-X

I1-x

g(x)=x+l

1=>1+----=X+1,解得:所以满足/(x)<g(x)的X

/(x)=l+--X-1

Ix-1

—1+V5..1+y/i

的范围是—8,,+oo

7

答案：B

例9：已知/(x)=m(x-2w)(x+m+3),g(x)=2l-2,若同时满足条件：①

VxwR/(x)<0或g(x)<0；②3x€(-oo,-4),/(x)g(x)<0,则m的取值范围是

思路：本题如果用代数方法求解，则由于/(X)本身含参，在解含参不等式时涉及分类讨论较

为复杂，同时对于条件①②，均可翻译为图像上的特点，①表示/(x),g(x)的图像在每一点

处至少有一个在x轴下方，②表示在(一8,一4)中至少存在一个位置，/(x),g(x)分居x轴两

侧：再考虑到/(x),g(x)图像便于作出，所以可用数形结合求出机的范围

解：因为g(x)为常系数函数，先做出g(x)图像

由图像可得：X>1时，g(x)>0,故/(X)图像必为开口向下的抛物线(否则不满足条件①),

可得〃2<0,/(x)与X轴有两个交点玉=2根,与=一(加+3),结合条件①②可得，较小的根

应小于-4,较大的根应小于1。故对机进行分类讨论:

27n>-(m+3)2m<-(m+3)

<2m<1或42m<-4

-(m+3)<-4一(m+3)<1

解得：-4<m<-2

答案：me(T—2)

例10：定义在H上的可导函数/(x)满足：/(—x)+/(x)=d,当x<0时，

则不等式/(力+；2/(1-月+工的解集为

思路：不易入手时可先梳理条件与结论能提供什么：

①所解不等式/(x)+g2"1—x)+x=>/(x)—41—x)+g—xN0,令

F(x)=/(x)-/(l-x)+l-x,可猜出尸(；)=0,进而目标转向求下(力的单调性。

②尸(x)=/‘(x)+.r(i-x)-i(注：〃i—x)是复合函数，求导时要用复合函数求导法则：

(7(1-%)),=/(1_%)X(1-X)=-/(1-X)),想办法确定其符号

③/(—%)+.f(x)=%2：两边求导可得/(%)—/(―X)=2x

④当x<0时/(x)v%：此为f(x)用x表示的一个条件，进而有可能将F(%)中抽象的

/(X)，/(1—X)表示出来

由此发现，只要能确定当x>0时/'(X)与X的关系，即可处理尸(X)的符号，联系条件③

当X>0时，f(x)=2x+/(―X)<2x4-(—X))=x,.*./(x)<x

F(x)=/(%)—/(1-x)-1<x+(1—x)—1=0,进而E(%)单调递减

二.XW1—8,g时，尸(光)《尸(；)=0

答案：

小炼有话说：

(1)在解决此类条件零碎的问题时，除了将所给条件和结论进行进一步的分析外，还要在做

得过程中明确下一步需要做什么，需要得到什么。

（2）在考试中本题也可利用特殊函数得到答案。由/（一£）+/（》）=%2可构造一个符合条件

的函数如“；/+奇函数”的形式。在根据.r（X）＜x进行调整。例如/（力=；12,然

后求解不等式即可。（因为从题目上看可发现只要满足条件的函数/（X）均可使不等式的解集

相同）

三、历年好题精选

1、已知定义域为火的函数/（x）在（2,+8）上单调递减，且y=/（x+2）为偶函数，则关于x

的不等式/（2彳-1）一/（了+1）＞0的解集为（）

A.f-00,——U(2,+oo)B.f——,2^C.(―oo,§)U(2,+oo)D.f—,2

2、若关于x的不等式同一卜+1|＞归一2|有解，则实数a的取值范围是

'2ex'',x＜2

3、（2014,庆安高三期中）设/（x）=《，，则不等式/（x）＞2的解集为（）

2

log3（x-l）,x＞2

5、设不等式2办+。+2«0的解集为A,若Aq[l,3],则实数a的取值范围是（）

A.D.(-1,3]

6、设函数/（x）=ln（l+|x|）—■）：/，则使得/（%）＞/（2%-1）成立的x的取值范围是

()

7、(2015新课标ID设函数/'(x)是奇函数/(x)(xwR)的导函数，/(一1)=0,当x>0

时，V'(x)-/(x)<0,贝!J使得/(x)>0成立的x的范围是()

A.U(0,1)B.(-l,0)U(l,4w)

C.y,-I)U(-LO)D.(O,1)U(1,M)

8、(2014,新课标全国卷II)已知偶函数/(x)在[0,+oo)单调递减，/(2)=0,若

/(%-1)>0,则x的取值范围是

9、(2014,浙江)设函数/(x)={2'，若/卜(。)]<2,则实数。的取值范围是

10、(2016,重庆万州二中)已知定义在实数集R的函数“X)满足/(1)=4,且“X)导函

数〃力<3,则不等式/(lnx)>31nx+l的解集为()

A.(l,+oo)B.(e,+oo)C.(0,1)D.(0,e)

11、设偶函数/(x)满足/(x)=2x—4(x20),贝怀等式/(x—2)>0的解集为()

A.(-co,-2)U(4,+oo)B.(-OO,0)U(4,-K»)

C.(-oo,0)IJ(6,+oo)D.(^»,-2)U(2,+oo)

12、已知函数/(x)=lnL?+sinx,则关于a的不等式/(a—2)+/(/-4)<0的解集是

1-X

3若/(x)>9,贝U的取值范围是()

13、设函数/(九)=<

x\x>l

A.(r,-2)U(3,+oo)B.(-2,3)

C.(-w,-3)U(2,+oo)D.(F,-2]U[3,+QO)

14、设/(x)是定义在R上的奇函数，在(-oo,0)上有2V'(2x)+/(2x)<0且/(2)=0,

则不等式必1(2x)<0的解集为

15、设函数/(x)在R上存在导数f(x),对任意的xeR,有/(-x)+/(x)=f,且

xe(0,xo)时，f'(x)>x,若/(2—a)—/(。)22-2”，则实数a的取值范围是()

A.[l,4-oo)B.(-00,1]C.(-00,2]D.[2,+oo)

16、定义在R上的函数/(x)满足：/(%)+/'(》)>1,/(0)=4,则不等式//0)>婷+3(其

中e为自然对数的底数)的解集为()

A.(0,4-oo)B.(no,0)U(3,+℃>)C.(―oo,0)U(0,+oo)D.(3,+co)

2,x>1

17、已知函数/"(均二1,，则不等式/(I一/)9>/(2x)的解集是()

(X-1)2+2,X<1

A.UI-1<X<-1+A/2}B.{x[%<-1->yfi-1}

C.{xI-1-<x<1}D.{xIx<->-14~5/2}

18、定义在R上的函数/(x)满足：/(1)=1,且对于任意的xeR,都有尸(x)<；,则不

等式/(log2x)>腿；+1的解集为.

习题答案：

1、答案：C

解析：由y=/(x+2)为偶函数可知"X)关于x=2轴对称，因为/(x)在(2,+00)上单调递

减，所以结合对称性与单调性，数形结合可知距离尤=2越近的点，函数值越大。则

/(2x-l)>/(x+l)^»|2x-l-2|<|x+l-2|,即|2x-3|<|-V-1|，可解得：

xef-oo,-|j|J(2,+oo)

2,答案：tZG(-oo,-l)U(l,4oo)

2x-3,x>2

解析:不等式变形为：同>归一2|+归+1|,设y(x)=|x-2|+k—1|=<1,1<尤<2

3—2x,x<—1

结合图像可知：若不等式同>|x—2|+|x+l|有解，则〃x)的图像有位于y=|《下方的部分,

所以同>1,解得aG(-8,-1)U(1,+8)

3、答案：C

解析：若x<2,则2/T>2=x—l>0=x>l,所以有(1,2)

若xN2时，可得：log3(d-l)>2nf-i>9解得：xe(J15,+oo)U(-°o，—Ji可，所

以X€(A/I5,+00)

综上所述：不等式的解集为(1,2)U(、丽,+8)

4、答案：1

解析：由图像可知：当x+r的范围应该在(0,3),即不等式的解集为：(T,3—依题意可

得：t=1

5、答案：A

解析：分两种情况，若A=0,则Av0=4/—4(a+2)v0解得一1VQV2,当Aw0设

方程幺一2以+。+2=0的两根为4马，则问题转化为不々£0,3),从而用根分布进行求

/⑴2。3-a>0

/（3"。一ll-5a>0

解，设=f-26+4+2,则：<2解得：Xe2,—,

A>0'4a-4（a+2）>0'

1<。<3l<a<3

综上所述，可得：xe^-l,y

6、答案：A

解析：由/(x)=ln(l+|x|)―」可知"X)为偶函数，当x>0时，可判断出“X)单调

递增，由对称性和单调性通过作图可知：距离y轴越近，则函数值越小。所以

/(x)>/(2x-l)<=>|x|>|2x-l|,解得：<尤<1

7、答案：A

解析:设g(x)=/iD,所以g(x)为偶函数，且g(力=总工当由已知可得：x>0

XX

时，g'(x)>0,所以g(x)在(0,+8)单调递减。由“X)为奇函数可知/⑴=一/(一1)=0,

所以g⑴=0,所以可得X€(0,l)时，g(%)="D>0,从而"x)>0,同理X€(1,4W)

时，/(%)<0,再由“X)奇函数的特点可得X€(—。。,—1)时，/(x)>0o综上所述:

xe(-<»,-l)U(O,1)B'J',/(x)>0

8、答案：(—1,3)

解析：令，=x-l,则先解/(。>0,•."(X)在［0,一)单调递减，/(2)=0

.•.问0,2)时,/(f)>0

•."(X)是偶函数

.•./«)>0的解集为fe(—2,2)

了.一2<x—1<2—1vxv3

9、答案：oo,5/2J

解析：通过数形结合处理，/(x)的图像如图所示，令.=/(a),

则先解/(r)W2,由图可得：2即/(a)N—2,再由图可

知aW0

10、答案：D

解析：由/(x)<3可得：/'(x)-3=[/(x)-3x],<0,设g(x)=/(%)_3x,可得g(x)

为减函数，g(l)=/(l)—3=1。所解不等式中令r=lnx,则/(。―3f>1,即解g(r)>l,

由g(x)为减函数及g(l)=1可知/<1。苏哟哟lnx<l=xc(O,e)

11、答案：B

思路：“X)是偶函数，在(0,+8)中可得xe(2,+8)时，f(x)>0,由对称性可得：

xe(2,4w)U(F,-2)时，f(x)>0,所以对于不等式〃尤一2)>0,只需

X-2G(2,+OO)|J(-OO,-2),解得：XG(4,+oo)U(-^o,0)

12、答案：ae(V3,2)

思路:虽然/(另有具体解析式，但/(。-2),/("一4)若代入解析式，则形式过于复杂，

所以考虑利用函数性质求解。分析/(x)可得以下性质：①定义域②

“x)=ln[—l+匕)+sinx可判定/(力单调递增；③/(—x)+/(x)=0可判定〃x)

为奇函数，从而f(a-2)+f(a2-4)<0=>/(«-2)<-/(«2-4)=/(4-a2)

-1<tz-2<1

进而可得：J-1<4Z2-4<1,解得：ae(百,2)

a—2>4—a~

注：本题解题时要注意。-2,/-4应在定义域之中，也是本题的易错点

13、答案：A

解析：方法一：当X<1时，/(x)=3-x>9,解得：x<—2,当XN1时，〃x)=f>9,

解得：x>3,综上可得：XG(-OO,-2)U(3,4W)

方法二：本题分段函数易于作图，可以考虑