2023-2024学年北京市海淀区高二下学期期末学业水平调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京市海淀区高二下学期期末学业水平调研数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(x−1)5的展开式中，所有二项式的系数和为A.0 B.25 C.1 D.2.已知函数f(x)=sinxcosx，则f′(0)A.0 B.1 C.−1 D.π3.若等比数列an的前n项和Sn=2nA.12 B.−12 C.24.下列函数中，在区间−1,0上的平均变化率最大的时(

)A.y=x2 B.y=x3 C.5.将分别写有2，0，2，4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数(首位不为0)，则组成的不同四位数的个数为(

)A.9 B.12 C.18 D.246.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为X，则(

)A.EX=2.4 B.EX=4.8 C.7.已知一批产品中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合格的比例为90%，A、B两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合格的概率是(

)A.37 B.23 C.348.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1<0、则“Sn有最大值”是“公差A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.设函数fx=ln1−x+asinx.若A.a=0 B.a≥1 C.0<a≤1 D.a=110.在经济学中，将产品销量为x件时的总收益称为收益函数，记为Rx，相应地把R′x称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数R′(x)=1000−x(注：经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).①当销量为1000件时，总收益最大；②若销量为800件时，总收益为T，则当销量增加400件时，总收益仍为T；③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500．其中正确结论的个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.(1+2x)4的展开式中含x2项的系数为12.某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目(其中只包含1个球类项目)，每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为X，则X的所有可能取值为

，数学期望EX=

．13.已知数列an+1是公比为2的等比数列，若a1=0，则a114.甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为0.5,0.4，且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为

.若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为0.2；若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6，那么无人机被击落的概率为

15.已知数列an的前n项和为Sn，满足a1=1，当n≥2时，Sn2−an2②当λ=−3时，S2024③当λ=4时，∀n≥2，Sn④当λ>1时，an其中所有正确结论的序号为

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（12分）已知函数fx=(1)判断fx在−∞,0(2)求fx在0,+∞上的零点个数．17.（12分）某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A、B的两项质量指标值，记为qA,qB甲生产线抽样产品编号指标12345678910q0.980.961.071.020.990.930.920.961.111.02q2.011.971.962.032.041.981.951.992.072.02Q0.030.070.110.050.050.090.130.050.180.04乙生产线抽样产品编号指标12345678q1.020.970.950.941.130.980.971.01q2.012.032.151.932.012.022.192.04Q0.030.060.200.130.140.040.220.05假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立．(1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足qA>1且(2)从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设X表示这两件产品中满足qB>2的产品数，求X的分布列和数学期望(3)已知Q的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由．18.（12分）已知f(x)=x(1)当a=−3,b=−1时，求曲线y=fx在点1,f(2)已知fx有两个极值点x1,x2(3)在(2)的条件下，若fx≥−x+1在1,+∞上恒成立，求a19.（13分）已知数列A:a1，a2，⋯，a100满足a1<a2<⋯<(1)若an=n,，请直接写出(2)若an=2(3)若b2025=ai20.（13分）设函数f(x)=sinωx+3(1)求fx(2)若对于任意的x∈π2,π，都有f条件①：函数fx的图象经过点−条件②：fx在区间−条件③：x=π12是注：如果选择的条件不符合要求，第(1)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．21.（13分）设n为正整数，集合An=αα=t1,t2,...,tn,t(1)若n=5，α=1,1,1,0,1，α∗β=0,1,1,0,1，β=4(2)若n=9，α1,α2,...,αkk≥2均为(3)若α0,α1,α2,...,αkk≥2均为A参考答案1.B

2.B

3.C

4.B

5.A

6.B

7.C

8.C

9.D

10.D

11.24

12.0，1；

2313.2n14.0.7

；；0.22

15.①③④

16.(1)fx在−∞,0因为fx所以f′x又因为x∈−∞,0，从而e所以f′x所以fx在−∞,0(2)由(1)知：f′x因为x∈0,+∞令f′x=0，得fx与f′x在区间x0,lnlnf′−0+f↘极小↗因为f0=0−1所以由零点存在定理及fx单调性可知，fx在17.(1)记A表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足qA>1且用频率估计概率，则PA所以该产品满足qA>1且qB(2)由表格数据，用频率估计概率，可得“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足qB>2”的概率为“从乙生产线上随机抽取一件产品，该产品满足qB>2”的概率为由题意，X的所有可能取值为0,1,2．PX=0PX=2所以X的分布列为X012P117所以X的数学期望为EX=0×1(3)甲生产线上的产品质量更好，因为甲生产线上Q值的平均值Q甲乙生产线上Q值的平均值Q乙所以甲生产线上Q值的平均值明显比乙小，所以甲生产线上的产品质量更好．其它理由：从甲乙两生产线的样本中各随机取一件，则甲生产品的Q值小于乙的概率为7+4+4+5+5+4+3+5+2+68×10所以甲生产线上的产品质量更好．18.(1)当a=−3,b=−1时，fx所以f′x所以f′1所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为(2)因为fx所以f′x因为fx有两个极值点x所以f′x有两个大于0所以方程x2所以Δ=a2又因为fx即有x1整理得x1代入x1可得−a+aln−b又因为a2>−4ba<0经检验，符合题意．(3)由(2)可知b=−1且a<−2，从而fx因为fx≥−x+1在令g则有gx≥0在1,+∞上恒成立，易得因为g′x=2+a令ℎx=2x①当−3≤a<−2时，ℎ1所以ℎx在1,+∞单调递增，从而ℎ所以g′x=ℎ所以gx在1,+∞单调递增，从而g②当a<−3时，ℎ1所以2x2+ax+1=0有两个不等实根x所以x3<1<x4，且当x∈1,所以gx在1,所以gx4<g1=0综上，a的取值范围是−3,−2．19.(1)由题意可知a1所以可知b1所以S=3,4,5,⋅⋅⋅,199所以m=197,b(2)因为对任意1≤i<j≤100，都有ai所以b1b1b2b4b7bb16=所以b20(3)j先证明：j≥25．方法1：考虑从aj−1,aj,…,a100因为ai+aj≤因为C772=2926，所以102−j≤76方法2：假设j≤24，则i≤23．则b2025因为满足am+ak<a23+a所以小于a23a1a2……a22共99+98+…..+78=99+78其次，证明存在符合要求的数列．构造：令ak显然满足a1且ak此时，b2025=a20.(1)因为fx若选①②：由①函数f(x)的图象经过点−π则−πω6+π3=π由②f(x)在区间−5π12,π12又ω>0且T=2πω，即2πω≥π，所以选条件②③：由②f(x)在区间−5π12,π12又ω>0且T=2πω，即2πω由③x=π12是f(x)的一条对称轴，则π12所以ω=2+12k，k∈Z，所以ω=2，所以f(x)=2sin2x+π3，则由π2+2kπ≤2x+π所以f(x)的单调递减区间为π12若选①③：由①函数f(x)的图象经过点−π则−πω6+π3=π由③x=π12是f(x)的一条对称轴，则π12ω+π3=此时ω不存在；(2)由(1)可知f(x)=2sin因为x∈π2,π所以sin2x+π3因为对于任意的x∈π2,π，都有f(x)≤c即c的取值范围为321.(1)设β=y1,y2,y所以y1,y而β=4，故0+1+1+y4所以β=0,1,1,1,1(2)由已知有αi=31≤i≤k这些条件的含义是，α1,α2,...,αk由于n=9，故一共只有9个分量，这表明全体α1,α2,...,而显然一共有3k个1，故3k≤9，得k≤3．显然α1=1,1,1,0,0,0,0,0,0，α2=这就说明k的最大值是3．(3)由α0=0，αk=n，知而条件αi⊙αi+1=