2023-2024学年重庆市忠中教育联盟九年级（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆市忠中教育联盟九年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列实数−1，0，2，−3，其中最小的是(

)A.−1 B.0 C.2 D.2.如图，下列几何体由5个大小相同的正方体组成，从左面看到该几何体的形状图是(

)A.B.C.

D.3.如图，直线m//n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C.若∠1=55°，则∠2的度数为(

)A.35° B.45° C.55° D.60°4.已知点A(a,−1)，点B(2,b)关于原点对称，则a+b的值为(

)A.−1 B.1 C.−3 D.35.用放大镜将一个△ABC的面积放大为原来的4倍，则放大后的(

)A.∠A，∠B，∠C是原来的4倍 B.周长是原来的2倍

C.对应边长是原来的4倍 D.对应中线长是原来的4倍6.估计(22+3A.6和7之间 B.7和8之间 C.8和9之间 D.9和10之间7.观察这两组数：①1，2，4，8，16，…；②1，3，6，10，15，….取每组数的第7个数，计算这两个数的和是(

)A.60 B.85 C.92 D.1008.如图，点A、B、C是⊙O上不重合的三点，则下列结论一定正确的是(

)A.∠AOB=∠A+∠B

B.∠AOB=2(∠A+∠B)

C.∠AOB=90°−(∠A+∠B)

D.∠AOB=180°−2(∠A+∠B)9.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC=4，DE=32，则AF的长为(

)A.4

B.5

C.10

D.210.对于多项式：a−b−c−m+n，只选取两个字母，并交换它们的位置(符号不参与交换)，称这种操作为一种“交换操作”.然后再运算，并将化简的结果记为X.例如：a，b交换后X=b−a−c−m+n；c，a交换后X=c−b−a−m+n.下列相关说法正确的个数为(

)

①存在一种“交换操作”，使其运算结果为X=a−b−c+m+n；

②共有三种“交换操作”，使其运算结果与原多项式相等；

③所有的“交换操作”共有八种不同的运算结果．A.3 B.2 C.1 D.0二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。11.(π−3.14)0−312.一个正多边形的内角和为720°，则这个多边形的外角的度数为______．13.现有三张正面分别标有数字1，2，4的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P(m,n)在函数y=4x图象上的概率为______．14.某出版社为支持“乡村图书馆”建设，购买了两批次的书，每次降价且降价比例一样，每本书的售价由50元降为32元，设每次降价的百分率是x，则根据题意，可列方程为______．15.在等腰直角△ABC中，已知∠ABC=90°，BC=1.如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′.则图中阴影部分面积为______．16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，M是AD边上的一点，AM：MD=1：3，将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则△DMN的面积为______．17.若关于x的不等式组6x+5≤7xx+2<a无解，且关于y的分式方程13=2y−a+1y−318.一个四位自然数M的千位为a，百位为b，十位为c，个位为d，其中a、b、c、d互不相同且均不为0，若满足ad+bc=99，则称这个四位数为“归一数”.例如：四位数3627，∵37+62=99，∴3627是“归一数”.最小的“归一数”是______；去掉百位数字b得到新三位数M′，则满足M+M′−3c三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

计算：

(1)4x(x+y)+(x−2y)2；

(2)(3a−120.(本小题10分)

在学习了平行四边形后，小高和小新进行了拓展探究：如图，AD//BC，E是AD上一点，且AE=AB．

(1)作∠BAD的平分线AF交BC于点F，连接EF(尺规作图，保留痕迹，不写作法)；

(2)根据(1)中作图，小高和小新猜测四边形ABFE是菱形，请你帮助她们把证明过程或者推理依据补充完整．

证明：∵AF平分∠BAE，

∴______，

∵AD//BC，

∴______，

∴∠BFA=∠BAF，

∴AB=BF，

∵AE=AB，

∴______，

∴四边形ABFE为平行四边形，

∵AE=AB，

∴四边形ABFE为菱形(______).21.(本小题10分)

某校开展学生科技活动，为了解学生的科技知识水平组织了知识竞答活动，从七年级和八年级各随机抽取20名学生的竞答成绩(单位：分)，进行整理、描述和分析(比赛成绩用x表示，共分成4组：A：90≤x≤100，B：80≤x<90，C：70≤x<80，D：60≤x<70).下面给出了部分信息：

七年级学生B组的竞答成绩为：81，81，82，84，82，86，82，86．

八年级被抽取学生的竞答成绩为：83，60，66，62，68，83，71，92，90，76，91，94，83，75，84，83，77，90，91，81．

七、八年级抽取的竞答成绩统计表年级七年级八年级平均数8080中位数a83众数82b请根据以上信息，解答下列问题：

(1)填空：a=______，b=______，n=______；

(2)根据以上数据，你认为哪个年级学生的竞答成绩更好？请说明理由(写出一条理由即可)；

(3)该校七、八年级学生共有2000人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的有多少人？22.(本小题10分)

为迎接端午节的到来，某工厂计划安排甲车间生产16000个艾草香包，根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产400个艾草香包，甲车间单独先工作10天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产200个艾草香包．

(1)从开始加工到完成这批艾草香包一共需要多少天？

(2)由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产10天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间.改进后甲、乙两车间每天生产的艾草香包数量之比为3：2，且改进工艺后两个车间完成剩下生产任务的天数之和为10天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个艾草香包？23.(本小题10分)

如图1，△ABC中，∠C=30°，AC=8，AD是BC边上的高，点E是AD的中点，连接BE.∠EBD=30°，若动点P分别以每秒2单位长度的速度从点B(含端点出发，沿折线B→E→A→C方向运动，当点P运动到点C(含端点)时停止运动.设运动时间为x秒，点P到BC的距离为y．

(1)直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

(2)在图2平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质：______；

(3)若一次函数y=−25x+b与y的函数图象有两个交点，直接写出b的取值范围．24.(本小题10分)

某商业区为了提升地下停车库入口的安全性能，拟将坡比为i=1：1的斜坡AC改造成斜坡AD，使得∠ADB=37°．

(1)若AB=5m，求斜坡底部增加的长度CD为多少米？(结果确到0.1米)

(2)入口处水平线AE=6m，且AE//BD，地下停车库坡道入口上方点E处有悬挂广告牌EF，EF⊥BD，EF=0.5m.若一辆满载货物高为3m的货车沿斜坡AD驶入车库，行进中是否会碰到广告牌的下端F？请说明理由.(参考数据：tan37°≈34，sin37°≈25.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，且满足OB=OC=3OA.连接BC、AC．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，点D是线段BC上一点，过点D作DE//AC交x轴于点E，连接CE.求△CDE面积的最大值及此时点D的坐标；

(3)如图2，在(2)△CDE的面积取得最大的前提下，将该抛物线沿射线BC的方向移动2个单位长度，得到新的抛物线y1，在新抛物线y1上是否存在一点P，使得26.(本小题10分)

已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，D为平面内的一个动点．

(1)如图1，点D在△ABC内部，将△CDB绕点C顺时针旋转90°恰好得到△CEA，若B、D、E三点共线且BD=DE=3.求△ABE的面积；

(2)如图2，将△ABC绕点A旋转一定角度得到△AED，连接EB，点F为EB中点，连接DF.在DE左侧作直角△EGD，∠DGE=90°，取DB中点H，连接GH.若BE=BD，DE平分∠GDB.求证：DF=GH；

(3)如图3，CA=CB=3，∠ADC=120°，且点D在AC右侧，分别作∠DAC和∠DCA的角平分线交于点M，过点M分别作MP⊥BC于点P，MQ⊥AB于点Q，请直接写出线段PQ的最小值．

参考答案1.D

2.B

3.A

4.A

5.B

6.C

7.C

8.B

9.D

10.D

11.2312.60°

13.1314.50(1−x)15.3816.24517.20

18.1827

3654

19.解：(1)4x(x+y)+(x−2y)2

=4x2+4xy+x2−4xy+4y2

=520.(1)解：作∠BAD的角平分线如图所示：

；

(2)证明：∵AF平分∠BAE，

∴∠BAF=∠EAF，

∵AD/​/BC，

∴∠BFA=∠EAF，

∴∠BFA=∠BAF，

∴AB=BF，

∵AE=AB，

∴AE=BF，

∴四边形ABFE为平行四边形，

∵AE=AB，

∴四边形ABFE为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)．

21.(1)81.5，83，40；

(2)八年级学生的竞答成绩更好，

理由：因为七年级和八年级的平均数一样，八年级的中位数和众数都比七年级的高，所以八年级学生的竞答成绩更好；

(3)2000×4+620+20=500(人)，

答：估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的有22.解：(1)设从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要x天．

400x+200(x−10)=16000，

解得x=30，

答：从开始加工到完成这批布艺红包袋，一共需要30天．

(2)设甲车间每天生产3m个，乙车间每天生产2m个布艺红包袋．

16000−400×102=6000(个)，

60003m+60002m=10，

解得：m=500，

经检验：m=500是原分式方程的解，且符合题意．

∴改进后甲每天产量：500×3=1500(个23.(1)∵∠C=30°，AC=8，

∴AD=4，

又∵E是AD的中点，

∴AE=ED=2，

又∵∠EBD=30°，

∴BE=2DE=4，

如图1.1，当0≤t≤2时，点P在BE上时，BP=2x，

又∵∠EBD=30°，

∴y=PQ=x；

如图1.2，当2<t<3时，点P在AE上时，y=PD=2(x−2)+2=2x−2；

如图1.3，当3≤t≤7时，点P在AC上时，y=PQ=12PC=12[8−2(x−3)]=−x+7；

故y=x(0≤t≤2)2x−2(2<t<3)−x+7(3≤t≤7)；

(2)函数图象如图2：

性质：当0<x<3时，y随x的增大而增大，3≤x≤7时，y随x的增大而减小；

(3)当一次函数y=−25x+b过点(3,4)时，即−25×3+b=4，

解得：b=325；

当一次函数y=−25x+b过点(7,0)时，即−224.解：(1)在Rt△ABC中，i=1：1，

∴BC=AB=5m，

在Rt△ABD中，∠ADB=37°，

∵tan∠ADB=ABBD，

∴BD=ABtan∠ADB=5tan37∘≈203(m)，

∴CD=BD−BC=203−5=53≈1.7(m)；

(2)若一辆高度为3米的货车沿斜坡AD驶入车库，行进中不会碰到广告牌的下端F，理由如下：

如图，延长EF交AD于G，过F作FH⊥AD于H，

由题意得：∠AEG=90°，AE/​/BD，

∴∠EAG=∠ADB=37°，

∵tan∠EAG=EGAE，AE=6m，

∴EG=AE⋅tan37°=6×34=9225.解：(1)当x=0时，y=−3，

∴点C的坐标为(0,−3)，

又∵OB=OC=3OA，

∴OB=OC=3，OA=1，

∴点B的坐标为(3,0)，点A的坐标为(−1,0)，

把(3,0)和(−1,0)代入y=ax2+bx−3得：

9a+3b−3=0a−b−3=0，

解得a=1b=−2，

∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；

(2)∵点B的坐标为(3,0)，点A的坐标为(−1,0)，

∴S△ABC=12AB⋅OC=12×4×3=6，

设点E的坐标为(m,0)，则BE=3−m，

∵DE//AC，

∴S△BEDS△BAC=(EBBA)2=(3−m4)2，

∴S△BED=(3−m4)2S△BAC=(3−m)216×6=3(3−m)28，

∴S△CDE=S△BEC−S△BED=12(3−m)×3−3(3−m)28=−38(m−1)2+32，

∴当m=1时，S△CDE最大，最大为32，

这时点E为AB的中点，即点D为BC的中点，

根据中点坐标公式可得点D的坐标为(32,−32)；

(3)∵抛物线y=x2−2x−3沿射线BC的方向移动2个单位长度，

即向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度，

解析式为y1=(x+1)2−2(x+1)−3−1=x2−5，

∵点E的坐标为(1,0)，点C的坐标为(0,−3)，

∴CE=OC2+OE2=32+12=10，

如图2.1，当点P在BC的上方时，设BP与CE交于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

又∵∠PBC=∠ECO，

∴∠ECB=∠EBF，

又∵∠CEB=∠BEF，

∴△BEF∽△CEB，

∴EFBE=BEEC，即EF2=210，

解得EF=2105，

∵FG//y轴，

∴△EGF∽△EOC，

∴EFEC=EGEO=FGOC=25，

∴EG=25，GF=65，

∴OG=35，

∴点F的坐标为26.解：(1)∵将△CDB绕点C顺时针旋转90°恰好得到△CEA，

∴∠EAC=∠DBC，AE=BD=3，

∵∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠DBC+∠DBA=90°=∠CAB+∠EAC+∠DBA，

∴∠AEB=9