高考数学二轮复习分层设计（全国I卷）学案第一层练悟篇　第5讲　数学文化

第5讲数学文化立体几何中的数学文化[题组练透]1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛解析：选B米堆的体积为eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8×4,2π)))2×5＝eq\f(320,3π)(立方尺)，从而这堆米约有eq\f(320,3×3×1.62)≈22(斛)．故选B.2．(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A．158 B．162C．182 D．324解析：选B如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S＝eq\f(2＋6,2)×3＋eq\f(4＋6,2)×3＝27，因此，该柱体的体积V＝27×6＝162.故选B.3．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱所在平面切开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵ABC­A1B1C1中，AA1＝AC＝5，AB＝3，BC＝4，则阳马C1­ABB1AA．25π B．50πC．100π D．200π解析：选B由题意得阳马C1­ABB1A1的外接球即为堑堵ABC­A1B1C1的外接球，球心在正方形ACC1A1的中心，所以外接球的半径R＝eq\f(5\r(2),2)，表面积为4πR2＝50π.故选B.4．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm，故V挖去的四棱锥＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.85．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．解析：先求面数有如下两种方法．eq\a\vs4\al(法一：)由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．eq\a\vs4\al(法二：)一般地，对于凸多面体顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2.(欧拉公式)由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝eq\f(\r(2),2)x.又AM＋MN＋NF＝1，即eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1.解得x＝eq\r(2)－1，即半正多面体的棱长为eq\r(2)－1.答案：26eq\r(2)－1[题后悟通]立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等.数列中的数学文化[题组练透]1．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…A．220 B．200C．180 D．162解析：选B由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，可得偶数项的通项公式为a2n＝2n2(n∈N*)．则此数列的第20项为2×102＝200.故选B.2．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马”．马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿()A.eq\f(50,7)斗粟 B．eq\f(10,7)斗粟C.eq\f(15,7)斗粟 D．eq\f(20,7)斗粟解析：选C法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a1，a1，a3，则这3个数依次成等比数列，公比q＝2，所以a1＋2a1＋4a1＝5，解得a1＝eq\f(5,7)，故a3＝eq\f(20,7)，a3－a1＝eq\f(20,7)－eq\f(5,7)＝eq\f(15,7).故选C.法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主人应赔偿5×eq\f(4,7)＝eq\f(20,7)(斗)，羊主人应赔偿5×eq\f(1,7)＝eq\f(5,7)(斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了eq\f(20,7)－eq\f(5,7)＝eq\f(15,7)(斗)．故选C.3．“斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的．数列中的一系列数字常被人们称为神奇数．具体数列为：1,1,2,3,5,8,13，…，即从该数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列{an}为“斐波那契”数列，Sn为数列{an}的前n项和，若a2021＝m，则S2019＝()A．2m B．eq\f(2m－1,2)C．m＋1 D．m－1解析：选D因为an＋2＝an＋an＋1＝an＋an－1＋an＝an＋an－1＋an－2＋an－1＝an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－2＝…＝an＋an－1＋an－2＋an－3＋…＋a2＋a1＋a2＝Sn＋1，所以S2019＝a2021－1＝m－1.故选D.[题后悟通]1．数列中的数学文化题一般以古代数学名著中的数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式及递推关系．2．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前n项和公式.算法中的数学文化[题组练透]1．公元三世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n为(参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)()A．12 B．24C．36 D．48解析：选B按照程序框图执行，n＝6，S＝3sin60°＝eq\f(3\r(3),2)，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝12，S＝6sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝24，S＝12sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S≥3.10，跳出循环，输出n的值为24.故选B.2．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”．至于如此简单明了的一个命题为什么能够开辟一个全新的领域，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果i分别为()A．a是偶数？6 B．a是偶数？8C．a是奇数？5 D．a是奇数？7解析：选D由已知可得，①处应填写“a是奇数？”．a＝10，i＝1；a＝5，i＝2；a＝16，i＝3；a＝8，i＝4；a＝4，i＝5；a＝2，i＝6；a＝1，i＝7，退出循环，输出的i＝7.故选D.[题后悟通]辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制和割圆术都是课本上出现的算法案例．其中，更相减损术和秦九韶算法是中国古代的优秀算法，课本上的进位制案例原本不渗透中国古代数学文化，但命题人巧妙地将烽火戍边的故事作为背景，强化了试题的“文化育人”功能.概率中的数学文化[题组练透]1．(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8解析：选Ceq\a\vs4\al(法一：)设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为eq\f(70,100)＝0.7.故选C.eq\a\vs4\al(法二：)用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图：易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为eq\f(70,100)＝0.7.故选C.2．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是()A.eq\f(π,15) B．eq\f(2π,5)C.eq\f(2π,15) D．eq\f(4π,15)解析：选C因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r，则eq\f(1,2)×5×12＝eq\f(1,2)(5＋12＋13)r，解得r＝2.由几何概型的概率公式，得此点取自内切圆内的概率P＝eq\f(4π,\f(1,2)×5×12)＝eq\f(2π,15).故选C.3．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D．eq\f(1,6)解析：选A从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，对阵情况如下表：齐王的马上上上中中中下下下田忌的马上中下上中下上中下双方马的对阵中，有3种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).故选A.4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为十步和二十步；正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田．若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为()A.eq\f(2,15) B．eq\f(2,5)C.eq\f(4,15) D．eq\f(1,5)解析：选B由题意可得邪田的面积S＝eq\f(1,2)×(10＋20)×10＝150，圭田的面积S1＝eq\f(1,2)×8×5＝20，则所求的概率P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(20,150)＝eq\f(2,15).故选B.5.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sineq\f(π,6)x的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,18)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,9)解析：选B函数y＝3sineq\f(π,6)x的图象与x轴相交于点(6,0)和点(－6,0)，则大圆的半径为6，面积为36π，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2π，所以所求的概率是eq\f(2π,36π)＝eq\f(1,18).故选B.[题后悟通]概率中的数学文化题一般以优秀传统文化为背景，考查古典概型和几何概型．解决此类问题的关键是从实际问题背景中概括出相关的概率模型求解.函数中的数学文化题[题组练透]1.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个；②函数f(x)＝ln(x2＋eq\r(x2＋1))可以是某个圆的“太极函数”；③正弦函数y＝sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”；④函数y＝f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形．其中正确的命题为()A．①③ B．①③④C．②③ D．①④解析：选A过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故①正确；函数f(x)＝ln(x2＋eq\r(x2＋1))的图象如图所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故②错误；将圆的圆心放在正弦函数y＝sinx图象的对称中心上，则正弦函数y＝sinx是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y＝sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”，故③正确；函数y＝f(x)的图象是中心对称图形，则y＝f(x)是“太极函数”，但函数