2024-2025学年高二数学上学期期中+期末高效复习课第五章一元函数的导数及其应用新定义文化高观点必刷必过题含解析

Page1第五章一元函数的导数及其应用新（定义，文化）高观点必刷必过题一、单选题1．（2024·江西·南昌市第八中学高三阶段练习（理））设函数在区间D上的导函数为，在区间D上的导函数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数，，若对满意的任何一个实数m，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【详解】由可得，设在区间上的导函数为，，当时，恒成立等价于即时，关于m的一次函数恒成立，所以且，即，解得，从而，故选：C.2．（2024·江苏省江浦高级中学高三阶段练习）长征五号B运载火箭是特地为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载实力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天爱好小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱高的比为，则该模型的体积最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设圆锥的高为，则圆柱的高为，底面圆半径为，则该模型的体积，令，则，由得，当时，当时，则在上单调递增，在上单调递减，当时，，故选：C3．（2024·福建省龙岩市永定区坎市中学高三期中）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经探讨发觉全部的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，若函数，则（

）A．8082 B．2024 C．-8082 D．-2025【答案】C【详解】由，可得，令可得，又，所以的图像的对称中心为，即，所以，故选：C4．（2024·四川省隆昌市第七中学高三阶段练习（文））最近公布的2024年网络新词，我们特别熟识的有“”、“内卷”、“躺平”等．定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，的“躺平点”分别为，，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵，则，由题意可得：，令，则为的零点，可知在定义域内单调递增，且，∴；又∵，则，由题意可得：，令，则为的零点，，令，则或，∴在，内单调递增，在内单调递减，当时，，则在内无零点，当时，，则，综上所述：；故.故选：D.5．（2024·北京朝阳·高三阶段练习）对于二元函数，若存在，则称为在点处对x的偏导数，记为；若存在，则称为在点处对y的偏导数，记为．已知二元函数，则下列命题为假命题的是（

）A． B．C．的最小值为 D．的最小值为【答案】D【详解】依据偏导数的定义，在求对偏导数时，中可作为常数，即函数可看作是的一元函数求导，同理在求对偏导数时，中可作为常数，即函数可看作是的一元函数求导，所以，，A正确；，，B正确；，当且仅当时，等号成立，设，则，或时，，时，，又，所以时，递减，时，递增，，所以(时取得)，C正确．，最小值是，D错；故选：D．6．（2024·重庆南开中学高三阶段练习）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其旁边取值的公式.假如函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的状况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在一点的邻域中的值，常见的公式有：；.则利用泰勒公式估计的近似值为（

）（精确到）A． B． C． D．【答案】B【详解】依据题意，求导可得，因为，，，，所以，故选：B.7．（2024·广东广州·高二期末）若存在实数，对随意，成立，则称是在区间上的“倍函数”．已知函数和，若是在的“倍函数”，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，存在实数，对随意，恒成立，即在上恒成立.设，则，故当时，，当时，，故在处取得最小值，故，所以的取值范围是故选：B8．（2024·全国·高三专题练习（理））声音是由物体振动产生的．我们平常听到的声音几乎都是复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．不同的振动的混合作用确定了声音的音色，人们以此辨别不同的声音．已知刻画某声音的函数为，则其部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：令，求导得，所以，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；由于，所以，时，，且单调区间改变不具有对称的性质，所以，只有C选项满意.故选：C9．（2024·江西·模拟预料（文））定义方程的实数根x叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，，由题意得：，即，解得，所以，，，令，所以为单调递减函数，，可得，所以，，，令，则，得或，当或时，单调递增，当时，单调递减，所以当时有极大值为，当时有微小值为，因为，，所以，.故选：D.10．（2024·江西·南昌市试验中学一模（理））对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】依题意，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，即方程有两个根，即：，令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；又在出的切线方程为，如图，由图可知，要使方程有两个根，则或.故选：B.11．（2024·广东广州·高二期末）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发觉：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（

）A．0 B．1 C． D．【答案】A【详解】依题意得，，，令，解得x＝1，∵，∴函数的对称中心为，则，∵∴．故选：A.12．（2024·河南·南阳市其次完全学校高级中学高二阶段练习（理））一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由函数求导得：，则，由解得，则有，，当或时，，当时，，则在，上单调递增，在上单调递减，因此，当时，取得极大值，当时，取得微小值，因函数有三个零点，即函数的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，，于是得，解得，综上得：，实数a的取值范围是.故选：A13．（2024·全国·高三专题练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：假如函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．依据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【详解】函数，则，由，得，即，解得，所以在，上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B.14．（2024·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））对于定义在R上的函数，若存在非零实数，使在和上均有零点，则称为的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A选项，，所以没有零点，从而没有“折点”，故A不符合题意；对于B选项，当时，，因为单调递增，所以在上有零点，又因为是偶函数，所以在上有零点，从而存在“折点”，故B符合题意；对于C选项，因为，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极大值，在处取得微小值，而，所以在上只有一个零点，所以C不符合题意；对于D选项，因为，令解得，只有一个零点，故D选项不符合题意；故选：B15．（2024·全国·高三专题练习）设函数在区间D上的导函数为，在区间D上的导函数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数，，若对满意的任何一个实数m，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【详解】由题设，，则，∴对随意，在上有恒成立，令在上恒成立，∴，可得，∴，故的最大值为4.故选：A二、多选题16．（2024·广东汕头·高三期中）对于定义在上的函数，假如存在区间，同时满意下列两个条件：①在区间上为增函数；②当时，函数值域也为，则称是函数的一个“递增黄金区间”．下列函数中存在“递增黄金区间”的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】对于A选项，函数在区间上为增函数，且当时，，A不满意条件；对于B选项，函数在区间上单调递增，且当时，，即函数存在“递增黄金区间”，B满意条件；对于C选项，假设函数存在“递增黄金区间”，因为函数在区间上单调递增，依据题意可得，所以，、为函数与函数的交点的横坐标，如下图所示：由图象可知，直线与函数的图象有两个公共点，C满意条件；对于D选项，假设函数存在“递增黄金区间”，则，因为函数在区间上单调递增，依据题意可得，所以，、为函数与函数的交点的横坐标，事实上，令，其中，则，令可得，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，故，故方程无解，D不满意条件.故选：BC.17．（2024·广东·执信中学高三阶段练习）若图像上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的值可以是（

）A．0 B． C． D．【答案】BD【详解】若有两个友情点对，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点.由时，；得其关于原点对称后的解析式为.问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，化简得，即与在上有两个交点.对于，求导，令，解得：，即：当时，单调递增；令，解得：，即：当时，单调递减，为其极大值点，，又时，；时，；画出其大致图像：欲使与在时有两个交点，则，即．故选：BD18．（2024·广东·佛山一中高二期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个特别重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔．对于连续函数，若存在一个数，使得，则称为该函数的一个不动点（重根只算作1个不动点）．依据不动点理论，下列说法正确的有（

）A．函数有3个不动点B．函数至多有2个不动点C．若定义在R上的奇函数存在有限个不动点，则不动点的个数可能是偶数D．函数有且只有1个不动点【答案】BD【详解】对A，令，则，所以在R上单调递增，又，所以在R上有且仅有一个零点，即有且仅有一个“不动点”，故选项A错误；对B，因为至多有两个根，所以函数至多有两个“不动点”，故选项B正确；对C，因为是R上的奇函数，则为定义在R上的奇函数，所以是y的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，其个数的和为偶数，所以肯定有奇数个“不动点”，故选项C不正确；对D，设，则，令有，易得在上单调递减，在上单调递增，故，故，故，当且仅当时取等，故有且只有1个不动点，故选项D正确；

故选：BD19．（2024·福建·莆田一中高二期末）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余全部的点均在的上方，故有．该结论可构造函数并求其最小值来证明．明显，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请依据以上材料，推断下列命题中正确的命题是（

）A．， B．，，C．， D．，【答案】ABD【详解】对于A，当时，由得：，即；，A正确；对于B，由得：，即，，B正确；对于C，由得：；当时，，此时，则，即不成立，C错误；对于D，令，则，令，则，在上单调递增，又，，，使得，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，；由得：，，，，即，，D正确.故选：ABD.20．（2024·全国·高三专题练习）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，则l与x轴的交点的横坐标，称是r的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为，称是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称是r的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若运用该方法求方程的近似解，则（

）A．若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线B．若取初始近似值为1，则该方程解的三次近似值为C．D．【答案】ABD【详解】解：构造函数，则，取初始近似值，，，则，即，则A正确；，，，则B正确；依据题意，可知，上述式子相加，得，C不正确，则D正确.故选：ABD.三、填空题21．（2024·广东试验中学高三阶段练习）用数学的眼光看世界就能发觉许多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为______；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为______.【答案】

1【详解】（1）由题意得，，则，，则.（2）由题意得，，，∴，令，则，令，则，明显当t∈[1,2]时，，p（t）单调递减，所以，∴的最大值为1.故答案为：，1.22．（2024·江苏徐州·高三期中）剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一.如图，一圆形纸片，直径，须要剪去菱形，可以经过两次对折、沿裁剪、绽开后得到.若，要使镂空的菱形面积最大，则菱形的边长______cm.【答案】##【详解】设圆心为，由圆的性质可知，，，，，共线，，，，，共线，由菱形性质可知，，不妨令，，且半径为10，则，即，，故，不妨令，，则，从而；，故在上单调递增，在上单调递减，所以当时，在上取最大值，从而要使镂空的菱形面积最大，则，由可知，，则此时.故答案为：.23．（2024·湖南·长沙一中高三阶段练习）用符号表示不超过的最大整数（称为的整数部分），如，已知函数有两个不同的零点，若，则实数的取值范围是_____.【答案】【详解】函数有两个不同的零点，即函数与函数的图象有两个不同交点，当时，明显有唯一的交点，不适合题意；当时，画出二者图象，明显不符合；当时，画出二者图象；先考虑二者相切时，设切点为，则有，可得，即，即，记，明显此函数为增函数，且，说明，所以当两个函数有两个交点时，一个交点的横坐标必小于1，又，另一个交点的横坐标，依据上面的图象可得，，解得，，故答案为：24．（2024·江西·金溪一中高三阶段练习（理））记分别为函数的导函数.若存在，满意且，则称为函数与的一个“点”.已知：，若函数与存在“点”，则实数的取值范围为___________.【答案】【详解】函数与，则与，由题意得，则，令，则，令，则，所以时，则，故单调递增；时，则，故单调递减；所以在处取得微小值，也是最小值，，且时，，所以实数的取值范围为故答案为:25．（2024·甘肃省会宁县第一中学高二期中（文））对于函数图象上随意一点，都存在另外一点，使得函数的图象在这两个不同点处的切线相互平行，则称函数具有P性质，下列函数中不具有P性质的是___________.①②③④【答案】①②④【详解】函数具有性质，等价于对于导函数值域中随意的值，至少有两个不同的解．令，对于①，，当，即时，有唯一解，不合题意，①错误；对于②，，令，解得：，即有唯一解，不合题意，②错误；对于③，，当时，令，即有多数个解，符合题意，③正确；对于④，，当时，令，解得：，即有唯一解，不合题意，④错误.故①②④错误故答案为：①②④26．（2024·江西新余·二模（文））已知集合，.若存在，，使，则称函数与互为“n度零点函数”.若函数与函数互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为___________.【答案】【详解】由，得，由，得，设其解为，因为函数与函数互为“1度零点函数”，所以，解得，由，得，令，则，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，又，，所以实数a的取值范围为.故答案为：27．（2024·全国·高三专题练习）牛顿迭代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．详细步骤如下：设是函数的一个零点，随意选取作为的初始近似值，作曲线在点,处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；作曲线在点,处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的2次近似值．一般的，作曲线在点,处的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．设的零点为，取，则的2次近似值为_____．【答案】##0.75【详解】由题设，设切点为,，则切线斜率，切线方程为，令，可得，若，则，，即的2次近似值为．故