河南省濮阳市第一某中学2023届高三高考模拟质量检测理科数学试题（含答案与解析）

濮阳市一高2023届高三高考模拟质量检测

数学(理科)

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合"={1'3力，7},'=,则ADB中的元素个数为()

A.3B.4C.5D.6

2

2.在复平面内，复数z与一对应的点关于虚轴对称，则z等于()

1-i

A.1+iB.-1—iC.1-iD.-1+i

3.平面向量a与匕相互垂直，己知a=(6,—8),W=5,且人与向量(1,0)的夹角是钝角，则/,=()

A.(一31)B.(4,3)C.(-4,3)D.(-4,-3)

4.某高中高一学生从物化生政史地六科中选三科组合，其中选物化生组合的学生有600人，选物化地组合

的学生有400人，选政史地组合的学生有250人，现从高一学生中选取25人作样本调研情况.为保证调研

结果相对准确，下列判断错误的是()

A.用分层抽样的方法抽取物化生组合的学生12人

B.用分层抽样的方法抽取政史地组合的学生5人

C.物化生组合学生小张被选中的概率比物化地组合学生小王被选中的概率大

D.政史地组合学生小刘被选中的概率为」-

50

5.已知{q}是无穷等差数列，其前项和为S“，则”{%}为递增数歹F是“存在〃eN*使得S“>0”

()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D,既不充分也不必要条件

6.焦点为尸的抛物线y2=2px（p>0）上有一点尸（2,2p）,。为坐标原点，则满足=的

点M的坐标为（）

j_3、

A.B.D.

(rl)1M2,2,GT

7.将函数/（x）=sin（；/x+q[（0>O）图象上所有点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变，得到函

7T[%））三点，"为尤|,々的

数g（x）的图象，直线/与曲线y=g（x）仅交于A（%,yJ,8（孙必），P工，g

16

等差中项，则。的最小值为（）

A.8B.6C.4D.2

8.古希腊亚历山大时期数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一

平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体

的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即丫=.”（V表示平面图形绕旋转

轴旋转的体积，5表示平面图形的面积，/表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.如图直角梯形A8CD，已

知A。BC,AB_LAD,AO=4,BC=2,则重心G到A3的距离为（）

A.—B.-C.3D.2

93

9设a=1，Z?=21n|sin-+cos-|,c=-ln2,贝ij()

3I62

A.c>h>aB.c>a>b

C.a>b>cD.a>c>b

10.在正三棱柱ABC-431cl中，AB=朋=1,点尸满足=,其中2w[0,l],

4G[0,1],则下列说法正确的是（）

①当儿=1时，△A87的周长为定值；

②当〃=1时，三棱锥。一ABC的体积为定值;

③当义=；时，有且仅有一个点P,使得

IT

④若|AP|41，则点p的轨迹所围成的面积为A.

8

A.①②B.②③C.②④D.①③

11.已知耳，尸2分别是双曲线C：=1（4＞。力＞0）的左、右焦点，p为双曲线c上的动点，|与骂|=i（）,

阀H因=6,点尸到双曲线c的两条渐近线的距禺分别为4,d2,则J44=（）

12.函数"X）=In2x的图象与函数g（x）=e,-e-'+x—g的图象交点的横坐标与,则e”n2x0=

（）

A.-In2B.C.ID.In2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若（奴+2）的展开式中常数项为160,则/+〃的最小值为.

14.的内角A,B,C的对边分别为“，h,c,满足（sinB-sinCp=sin?A-sinBsinC.若

-ABC为锐角三角形，且。=3,则当一ABC面积最大时，其内切圆面积为.

15.已知点1）,3。,—1）,若圆（x—a）2+（y—2。+4）2=1上存在点M满足M4.M8=3,则实数“

的取值的范围是.

16.若函数/（X）=e'-ax1-a存在两个极值点%,与，且％=2%,则a=.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设S.是数列｛4｝的前〃项和，q=l,S；=a,（s“一g）,（n＞2）.

（1）求｛4｝的通项；

s

（2）设仇=一^,求数列也｝的前〃项和7；.

2〃+1

18.如图1,在梯形A3CD中，AD//BC,于E，且DE=2BC=2BE,将梯形ABC。沿

3E折叠成如图2所示的几何体，/4£D=60。，/为直线AO上一点，且C/_LA£＞于尸，G为线段

的中点，连接尸G,CG.

A

AED

F

B©BC

图1图2

（1）证明：AD1FG；

（2）若图1中，AD=6,求当四棱锥A—BCDE的体积最大时，平面ABC与平面CFG所成锐角的正

弦值.

19.江西省作为全国第四批启动高考综合改革的7个省份之一，从2021年秋季学期起启动实施高考综合改

革，实行高考科目“3+1+2”模式。“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩：“1”指考

生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩：“2”指考生从政治、地理、化学、生

物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考

生原始成绩从高到低划分为A,B,C,D,£五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：

等级ABCDE

人数比例15%35%35%13%2%

赋分区间[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为

Y-YT-T

亡彳=亡不，其中X，匕分别表示原始分区间的最低分和最高分，（，心分别表示等级赋分区间的最

低分和最高分，y表示考生的原始分，7表示考生的等级分，规定原始分为乂时，等级分为石，计算结果四

舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50,最高分为98,呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：

（1）同一组数据以该组区间中点值作代表，求实数”的值并估计本次考试的平均分：

（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间；

（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为90,试计算其等级分.

22/T

20.已知椭圆。：3+方=l（a>b〉0）的离心率为券，左、右顶点分别为A、B,点、P、。为椭圆上异

于A、B的两点，.-加8面积的最大值为2.

(1)求椭圆C方程；

(2)设直线4>、BQ的斜率分别为占、k2,且3匕=5e.

①求证：直线尸。经过定点.

②设△PQB和的面积分别为加、邑，求B-Szl的最大值.

21.已知函数y(x)=a(x?-1)-lnx(x>0).

(1)若。=工时，求函数/(x)的极值；

2

,

(2)若0<以<(,设函数fa)的较大的一个零点记为看,求证：/(x0)<l-2a.

选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

［选修4-4：坐标第与参数方程］

22.在直角坐标系xOy中，曲线。的参数方程为〈(。为参数)，以坐标原点。为极点，x轴

y=sinla

的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求。的极坐标方程；

TTTT

(2)已知射线4=彳和&=w分别与c交于点(异于点。)，C与极轴交于点〃(异于点。)，求

四边形Q48M的面积.

［选修45不等式选讲］

23.已知函数f(x)=Ix-1I+|x-m|(m>l),若f(x)>4的解集是{xIxVO或x>4}.

(1)求m的值；

I|1fTI

(2)若正实数a,b,c满足一+1+—=—,求证：a+2b+3c29.

4283c3

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知集合，8={x|-l<x<2,xeN},则AuB中的元素个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】应用并运算求AuBA={1,3,5,7},即可得元素个数.

【详解】由题设8={1},所以AuB={l,3,5,7},故其中元素共有4个.

故选：B

2

2.在复平面内，复数z与——对应的点关于虚轴对称，贝ijz等于()

1-1

A.1+iB.-1-iC.1-iD.-1+i

【答案】D

【解析】

2

【分析】计算得一r=l+i,关于虚轴对称即关于V轴对称，得出结果即可.

1-1

2

【详解】由题意得——=l+i,

1-1

2

V复数z与一对应的点关于虚轴对称对称，

1-i

Az=-l+i.

故选：D.

3.平面向量a与b相互垂直，已知。=(6,-8),欠=5,且与向量(1,0)的夹角是钝角，则/?=()

A.(-3,-4)B.(4,3)C.(T,3)D.(T,-3)

【答案】D

【解析】

【分析】先设出向量人的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即可.

【详解】设T=(iy)

a_LZ?,/.a-b=(),，6x-8y=(),①，

忖=+y2=5,②，

B与向量(1,0)夹角为钝角，・,・元＜0,③，

[x=—4-

由①②③解得〈，."=(_4,一3),

[y=-3

故选：D.

4.某高中高一学生从物化生政史地六科中选三科组合，其中选物化生组合的学生有600人，选物化地组合

的学生有400人，选政史地组合的学生有250人，现从高一学生中选取25人作样本调研情况.为保证调研

结果相对准确，下列判断错误的是()

A.用分层抽样的方法抽取物化生组合的学生12人

B.用分层抽样的方法抽取政史地组合的学生5人

C.物化生组合学生小张被选中的概率比物化地组合学生小王被选中的概率大

D.政史地组合学生小刘被选中的概率为专

【答案】C

【解析】

【分析】根据分层抽样，计算各层抽取的人数以及抽样比，即可得出答案.

【详解】对于A项，用分层抽样的方法抽取物化生组合的学生为25x-------.............=12人，故A项

600+400+250

正确；

250

对于B项，用分层抽样的方法抽取政史地组合的学生为25x--------------------=5,故B项正确；

600+400+250

25I

对于C项，根据分层抽样的特征知，每位同学被选中的概率相等，均为/CC，二故C项

600+400+25050

错误；

对于D项，由C知，每位同学被选中的概率均为」故D项正确.

50

故选：C.

5.已知｛%｝是无穷等差数列，其前项和为S“，则”｛%｝为递增数列”是“存在〃eN*使得S“>0”的

()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D,既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】解：因为｛4｝无穷等差数列，若｛4｝为递增数列，

所以公差”>0,

令S=n%+—.......-d>0解得〃>1——

fl29d

［得］表示取整函数,

所以存正整数〃0=1+1--^-,有S“0>0,故充分;

设数列｛4｝为5,3,1,-1........满足S2=8>0,但。=一2<0,

则数列｛为｝是递减数列，故不必要，

故选：A

6.焦点为尸的抛物线？2=22犬（"0）上有一点尸（2,20,。为坐标原点，则满足1MH=|MO|=|M目的

点M的坐标为（）

A-（4B.（；，｛|C.（；,|）D.AQ

【答案】B

【解析】

【分析】将点P的坐标代入抛物线中，解得〃=1,从而得到点P和点〃的坐标，要满足|网=\M0\=\MF\,

则只需点M为0P的垂直平分线和OF的垂直平分线的交点，进而求解即可.

【详解】将点P的坐标代入抛物线中得（2〃）2=2〃X2,解得p=l,

则P（2,2）,所以。尸的斜率为1,且0P的中点为（1,1）,

则。尸的垂直平分线方程为y—1=—（x—1），即x+y-2=0,

又OF的垂直平分线方程为x=-,

4

又\MP\=\MO\=\MF\,则点M为OP的垂直平分线和OF的垂直平分线的交点，

（17）

所以点M的坐标为二，二.

故选：B.

7.将函数/（x）=sin（gs+；［（y>0）图象上所有点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变，得到函

数g（x）的图象，直线/与曲线y=g（x）仅交于4（不乂）,3（程必），「但，g但¥三点，$为“，々的

6

等差中项，则。的最小值为（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由三角函数图象的平移变换可得g（x）=sin（3］）,由题意推得尸/g《［|必为函数g（x）

的对称中心，可得口=6k—2#eZ,即可求得答案.

【详解】由题意将函数/（"=疝］；8+高（0〉0）图象上所有点的横坐标缩短到原来的3倍，

纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)=sin［0x+m

因为直线/与曲线y=g(x)仅交于4(%,凶),8(%2，%)P三点，■为的等差中项,

由于4(%,名),8(工2，%)，在直线/上，故g为乂,为的等差中项，

71兀

不妨设玉=--rj,x=-+r/,

626

7C7T兀兀7171

则sina)(——7)+—+sin以一+〃)+—=2sin(G—+一),

_63」63J63

口rc./兀刃兀、/、--/RCD兀、

即2sin(---1—)cos(6977)=2sin(---1—),

6363

若sin(理+二)。0,则cos(my)=l,即=此时直线/与曲线y=g(x)不止三个交点，

不合题意；

故sin(—+-)=0,结合g(x)=sin］蛆+孚的对称性，可得有直线/与曲线y=g(%)仅有3个交点，

63I3J

即「*g［］］必为函数8⑴的对称中心，

即g(四］=sin+女］=0,故鳖「=kit,kGZ,co=6k-2,k&Z,

JI63J63

因为。＞0,故k=l时，。的最小值为4,

故选：C

8.古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一

平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体

的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积"，即丫=.”(V表示平面图形绕旋转

轴旋转的体积，$表示平面图形的面积，/表示重心绕旋转轴旋转一周的周长).如图直角梯形ABCQ,已

知5。,45,4),49=4,8。=2,则重心3到43的距离为()

144

A.—B.—C.3D.2

93

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，用式子分别表示出圆台体积、梯形面积以及重心绕旋转轴旋转一周的周长，进而求解答

案.

【详解】直角梯形绕A6旋转一周所得的圆台的体积为

128几〃

厂=§（16兀+4兀+8兀）//=工一；梯形A8CO的面积

s=；（4+2）。=3。，故记重心G到AB的距离为h',

贝ij.2,〃=（2兀/;'）•3%,则力'=那，

故选：A

9.设4=1,Z?=21n[sin—+cos—I，c=，ln2,则（）

3<66j2

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>b>cD.a>c>b

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数/（x）=x-sinx,g（x）=x-ln（x+l）,利用导数分析这两个函数在（0,+。）上的单调

性，可得出。、b的大小关系，再利用对数函数的单调性可得出。、。的大小关系，即可得出结论.

【详解】因为。=21nsin—4-cos—=lnsin—+cos—=Inl+sin-,

I66jI66)I3)

令/(x)=x-sinx,则,尸(%)=1一85%>°在[0卷)上恒成立,

所以，函数,f（尤）在（o,]）上单调递增，则〃x）=x-sinx>,f（0）=。，即光〉sinx,

因为则]〉所以,

3£[0,5),sin§,Ini1+sin-l<lnl1+-

1X

令g(尤)=%-4n(x+l),则g[x)=l一,当X£（0,+oc）时，

x+1x+\

所以，g（x）在（（）,+"）上单调递增，

故当x>0时，g（x）=x-ln（x+l）>^（0）=0,即冗>ln（l+x）,

所以，+故力，

又因为c=1In2=In=In我，-=InVe=InV?,

23

8＞e2，・'・c＞。，故。＞。＞力，

故选：B.

10.在正三棱柱ABC-44G中，AB=A4,=1,点尸满足8P=其中/Iw[。/],

则下列说法正确的是（）

①当/1=1时，△A&P的周长为定值；

②当〃=1时，三棱锥P-43C的体积为定值；

③当几=；时，有且仅有一个点尸，使得A/L8P；

④若|4尸区1,则点P的轨迹所围成的面积为;.

A.①②B.②③C.②④D.①③

【答案】C

【解析】

【分析】取BC的中点。，连接AO,以点。为坐标原点，。4、OB、AA的方向分别为x、，、z轴

的正方向建立空间直角坐标系，取〃=0和〃=（求△A8£的周长，可判断①；利用锥体的体积公式可判

断②；利用AP-BP=O求出〃的值，可判断③；求出点尸的轨迹所围成的面积，可判断④.

【详解】取BC的中点。，连接AO,

因为J3C为等边三角形，则AO1BC,且•平面ABC，

以点。为坐标原点，。4、OB、A&的方向分别为）、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐

标系,

则A（-^-,O,O、B（O,2,O）、c（o,—5,0）、a—0,1、4（o,g/}£（。，-；，1

BP=ABC+pBB,=2（0,-1,0）+//（0,0,1）=（0,-2,//）,其中;/e[0,l],

此时，△AgP的周长为1+2加；

若Y，则则网=值-。）+（。+[+（。-「邛，

同理可得„=弓，此时，△AqP的周长为0+2x^=&+6,

故当4=1时，/XABiP的周长不是定值，①错;

对于②，当〃=1时，Pl0,^-2,11,则点p到直线8c的距离为1，

所以，5ABPC=1x|5c|xl=i,且点A到平面PBC的距离也为定值,

故修-A}BC~VA「PBC为定值，②对;

对于③，当/1=，时，P（0,0,〃），\P=一当,0,〃一1,=

2i2jI2

因为APLBP,则AP-8P=M(M_1)=0,因为〃解得4=0或1，

所以，当4=g时，有且仅有两个点尸，使得4PLBF,③错；

对于④，设点P(0,y,z),其中y=；--g，；，z=//e[0,l],

2222

则网=Jo—等)+y+z=^+2+j<1，可得V+z?],

所以，点P的轨迹是平面BCG片内以点。为圆心，半径为!的半圆及其内部，

故点P的轨迹所围成的面积为，xTUX]，]=工，④对.

故选：C.

22

11.已知6，F,分别是双曲线C:[-1=l(a>0力>0)的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，I耳居1=10,

a~b

|P用—I尸闾=6,点p到双曲线。的两条渐近线的距离分别为4，d2,则向%=()

512144

A.-B.—C.-----D.2

3525

【答案】B

【解析】

【分析】运用双曲线定义求得。、C的值，进而求得两条渐近线方程，结合点到直线的距离公式求解即可.

【详解】由忻闾=2c=10,得C=5.

因为|「耳|一|尸段=2=6,

所以。=3.

又因为。2=储+从,

所以人=4,

22

故双曲线C方程为工—匕=1,

916

4

所以两条渐近线的方程为y=±-x.

22

设P(x。,%)，则丛—生=1,

916

故嗒一尤=16・

9144

所以4d2=~25

所以J4d25

故选：B.

12.函数=In2x的图象与函数g(x)=e'-e-x+x-的图象交点的横坐标与,则e"In2x0=

()

A.-In2B.C.yD.In2

【答案】B

【解析】

【分析】由/(Xo)=g(x。)，代入整理变形可得e演—e』—七=e,(2⑹—构造函数

〃(x)=e"一b―x,求出导函数，根据导函数得出〃(x)在R上单调递增.即可得出x°=Tn(2xo),则

e'°=J—，代入即可得出答案.

2玉)

【详解】由已知可得，/(%)=8(%)，即e"—e-~+x°—《=1112x0,

A11121

即e'°-而-x0=In2x0-2x0+-e*^+In2x0

2%

令〃(x)=e,—eT-x,则=e'+/—1N2je*e*—1=1>0，

当且仅当e*=e-3即x=()时等号成立.

所以〃'(x)>0恒成立，所以〃(x)在R上单调递增.

所以有/?($)=〃(一111(2%))可得，与=-ln(2xo),则e"=,

所以e&ln2/=5x(_Xo)=_g.

故选：B.

【点睛】思路点睛：由/（Xo）=g（x。）得出6"-6-"+%-/一=1112%后，进行同构变形得到

zx。

e*,—e』—X。=1皿2与）一9限3+1112天）然后构造函数，根据导函数得出函数的单调性，得到关于吃的关

系式，即可得出答案.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若（公+2）的展开式中常数项为160,则/+〃的最小值为.

【答案】4

【解析】

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幕指数等于0,求出4的值，即可求出。力之间的关系，再结

合不等式的性质求解即可.

【详解】二项式（以+2）展开式的通项公式为：Tk+l=《（公）6-“§）&=。6-廿《》6-2人,

令6-2/=0,则氏=3,

所以卡因：=160,即a3b3C1=160,

所以曲=2,

因为"+/22。。=4,当且仅当a=b=时，等号成立.

所以/+〃的最小值为今

故答案为：4.

14.的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,满足（sin3—sinC）2=sir?A—sin8sinC.若

△ABC为锐角三角形，且a=3,则当_ABC面积最大时，其内切圆面积为.

【答案】-71##--

44

【解析】

【分析】先用正弦定理及余弦定理可得A,结合面积公式和基本不等式可得当ABC为等边三角形时，

ABC面积取到最大值，再利用等面积法求内切圆半径即可.

【详解】V（sinB-sinC）2=sin2A—sinBsinC,

则由正弦定理可得（b一C）2="一左，整理得b2+c2_a2=b（：f

/+c2一片

则cosA-

2bc2

•；_ABC为锐角三角形，则Aw0,5,故4=三,

c

由_ABC面积为SAABC=；/?csinA==~~^，

可得当,ABC面积取到最大值，即为。c取到最大值.

Vb2+c2—a2=bc»即从+C2=0c+9N»c，即历W9，

当且仅当Z?=c=3,即工ABC为等边三角形时等号成立.

故当A5C为等边三角形时，面积取到最大值立x9=»叵，

44

设，A8C的内切圆半径为，则竽，解得r=等，

.3

故内切圆面积为兀产=一兀.

4

3

故答案为：一兀.

4

15.已知点若圆(x—a)2+(y—2a+4>=l上存在点M满足M4.MB=3,则实数。

的取值的范围是.

'12'

【答案】0,y

【解析】

【分析】设M(x,y),由数量积的坐标表示求得M点轨迹是一个圆，然后由圆与圆的位置关系可得。的范围.

【详解】设M(x,y),贝==-

MAMB=(-l-x)(l-x)+(-i-y)2=3,BPx2+(y+1)2=4,

M在以(0,-1)为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆(x—。y+⑶―2a+4)2=l有公共点，

____________________12

所以2-1<J(0—a)2+(—1—2a+4)242+1，解得0<。<二.

12

故答案为：［0,彳］.

16.若函数/(x)=e'一加一。存在两个极值点对.，且々=2%，则。=.

【答案吗

【解析】

xv22r

［分析】求导得到/'(x)=e-2ax,e'_2axt=0,e'-2ax2=0,%=2%，贝Ue'-4ax1=0,解得

答案.

【详解】〃x)=e'-以2一明定义域为R,所以r(x)=e*-2公，

r,V22x,

故e-2ax1=0,e-2ax2=0；又％=2%，所以e-4ax]=0.

又eA|>0，故e*=2,所以再二In2,所以。=——=-—.

12%In2

故答案为：-~—

In2

【点睛】关键点睛：本题考查了函数的极值点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力,

其中利用消元的思想解方程是解题的关键.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设S,,是数列｛4｝的前"项和，q=l,S；=%(S“—(n>2).

(1)求｛《,｝的通项；

s

(2)设d=―—,求数列也｝的前〃项和小

2〃+1

1,n=1

【答案】⑴4=-2

(2〃f(2〃-3)'一

【解析】

【分析】(1)将/转化为化简后利用配凑法得到告)是以2为公差的等差数列，其首项为

1，求得s.，再根据s；=a,(s“—g),(n>2),求得｛4｝的通项公式：

(2)根据(1)化简％=((丁二一丁二1，利用裂项求和法求得方.

212〃-12n+lJ

【小问1详解】

解：S；=a“(s,-g)(〃22),

.•.让2时，S；=(S“-S,I)(S“一£|,展开化简整理得，S-S吁鬲,

若S“=0,(n>2),则见=0,此时S“=4+4++。“=1，显然不成立，所以S,产0,

-=2,所以数列丁｝是以2为公差的等差数列，其首项为三=1,♦.・不=1+2(〃-1),

1

S〃

2n-\

2（n2s2-2

又〃"所以40=（2…（2〃一,显然当〃=1时

%=（2〃一虚一3）不满足题意，

21〃=1

所以《，=；S?'-、，=，|（2»-l-）（22n-3）,n>2.

【小问2详解】

；s“=1=1（1_____J_]

解：由于H~2n+l~（2n-l）（2n+l）~?X2n-\~2n+\）'

1IY（iiy

1-

数列也｝的前〃项和*=3-+---+---+•••+-一~-0.

213yy35y\57）[2〃—12〃+1y

=Ui__1〃

2v2/2+1）2〃+1，

18.如图1,在梯形ABC。中，AD//BC,BE_LAD于£，且DE=2BC=2BE,将梯形ABC。沿

3E折叠成如图2所示的几何体，ZA£D=60°,/为直线AO上一点，且C/_LA£＞于尸，G为线段

EZ）的中点，连接尸G,CG.

（2）若图1中，AD=6,求当四棱锥A-BCDE的体积最大时;平面ABC与平面CR7所成锐角的正

弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵叵

7

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直即可证明线线垂直,

(2)根据体积公式表达出体积，利用导数求解最值，进而根据空间向量求解面面角.

【小问1详解】

由已知得6石，田，BELAE,且AEED=E,u平面AED,

所以BE,平面AED，因为ADu平面AE£>，所以

在梯形£88中，DE=2BC=2BE,

因为G为线段的中点，所以CG〃BE,故CG，A£>，

又因为CELA。，且CGCCF=C,CG,CFu平面CFG,所以平面CFG,

因为FGu平面CFG,所以ADJ.EG.

【小问2详解】

过点A作AM_L£>E于点M,又因为BEJ_平面A£D,AMu平面AE。，所以BEL40，

又AMIDE，BEDE=E,BE,DEu平面BCDE,所以AM工平面BCDE,

所以线段AM的长度为点A到平面BC0E的距离.

设DE=2BC=2BE=2x,则AE=6—2x(()<x<3),

则四棱锥A—3CDE的体积V=Jx3xx2x《l(6—2x)=—且d+WI/,

322''22

令/(尤)=+^^彳2,XG(0,3),+35/3%=3-V3xfl-,

则XG(O,2)时,制x)>0,函数单调递增；

%«2,3)时,r(x)<0,函数/(x)单调递减，

所以/(力,皿=/(2),即当x=2时，四棱锥A—BCD£的体积最大，此时AE=2，DE=4,

以点£为坐标原点，直线£B，££)分别为x轴、)轴，在平面AED内过点E作与。E垂直直线为z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(O,1,6),3(2,0,0),C(2,2,0),。(0,4,0),

则A0=(0,3,-A6=(2,-1,-浅=(0,2,0),

n-AB=2x-y-y/3z=Q

设平面ABC的法向量〃=(x,y,z),则有,可取〃=(6,0,2卜

n-BC=2y=0

因为AD，平面CFG，所以A。=(0,3,-6)即为平面CFG的一个法向量,

n-AD

则cos(n,ADcos2AD^=

n\\AD

所以平面ABC与平面CFG所成锐角的正弦值为—.

7

19.江西省作为全国第四批启动高考综合改革的7个省份之一，从2021年秋季学期起启动实施高考综合改

革，实行高考科目“3+1+2”模式。“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩：“1”指考

生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩：“2”指考生从政治、地理、化学、生

物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考

生原始成绩从高到低划分为A,B,C,D,E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：

等级ABCDE

人数比例15%35%35%13%2%

赋分区间[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

将各等级内考生的原始分依照等t匕例转换法分别转换到赋分区叵内，得到等级分，转换公式为

-YT,—T

-7=工才，其中毛，八分别表示原始分区间的最低分和最高分，1,72分别表示等级赋分区间的最

低分和最高分，丫表示考生的原始分，了表示考生的等级分，规定原始分为毛时，等级分为工，计算结果四

舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50,最高分为98,呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：

频率

0.04-------——

0.03---.........——

0.02.......-............

a5060708090100成绩

(1)同一组数据以该组区间的中点值作代表，求实数。的值并估计本次考试的平均分；

(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间；

(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为90,试计算其等级分.

【答案】(1)。=0.005,73

(2)[85,98]

(3)91分

【解析】

【分析】(1)先利用频率分布直方图频率之和为1,求出a的值，再利用频率分布直方图平均数的求法，将

每一个组区间的中点值乘以对应的频率然后求和即可求出答案.

(2)由等级A所占的人数比例为15%,由频率分布直方图可知原始分成绩位于区间［90,100］的占比为5%,

位于区间［80,90］的占比为20%,等级A的最低原始分在区间［80,90］中，可设最低原始分并结合该区间所

占比例为10%即可求出等级A的最低原始分，再结合题意最高原始分可得出结果.

(3)由化学成绩的原始分为90分，落在4等级中，根据题意得出原始分的最高和最低，4等级中赋分区间

的最低分和最高分，代入公式即可求出等级分.

【小问1详解】

由频率分布直方图可知，频率之和为1,得(2a+0.04+0.03+0.02)x10=1,

解得a=