人教版高中数学全册教案-09-直线、平面、简单几何体-05

平行直线

一、素质教育目标

(-)知识教学点

1.公理4,即平行公理.

2.等角定理及推论.

(-)能力训练点

1.利用联想的方法，掌握并应用由平面内引伸到空间中的平行公理.

2.充分利用构造的方法证明等角定理，为下一节两条异面直线所成的角的

定义提供了可能性与唯一性.

3.通过本节课的学习，让学生认识到在平面几何中成立的结论或定理等，

在用于非平面图形时，须先证明.

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1.教学重点：让学生掌握平行公理及其应用.

2.教学难点：等角定理证明的掌握及其应用.

3.教学疑点：正确理解等角定理中命题的条件：两个角的两边分别平行且

这两个角的方向相同.

三、课时安排

1课时.

四、教与学的过程设计

(-)复习两条直线的位置关系(幻灯显示)

师：空间中两条直线的位置关系有哪几种？

生：三种：相交、平行、异面.异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.相

交直线和平行直线也称为共面直线.

师：异面直线的画法常用的有哪几种？

生：三种.m1-38,a与b都是异面直线.

师：如何判定两条直线是异面直线？

生：（1）间接证法：根据定义，-一般用反证法.

图1-38

（2）直接证法：根据例题结论：过平面外一点与平面内一点的

直线，和平面内不经过读点的直线是异面直线.加图1-39,B奉a.

ACa,aua,Atfa.Ma与AB为异面直线.

图1-39

（二）平行公理

师：在平面几何中，如图1—40,若2〃13,c〃b,则a与c平行吗？

a

V

图1-40

图1-41

生：平行.

师：也就是说，在平面中，若两条直线a、c都和第三条直线b平行，则2〃g这

个命题在空间中是否成立呢？

师：实际上，在空间中，若2〃13,c〃b,则a〃c也成立.我们把这个结论作

为一个公理，不必证明，可直接应用.

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

如图1-41,三棱镜的三条棱，若AA'〃BB',CC'〃BB',则有AA，//CC.

下面请同学们完成下列的例题，巩固应用平行公理.

例已知四边形ABCD是空间四边形（四个顶点不共面的图1-41四边形），E、

H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD

上的点，且票■票■号.求证.四迦雅EF曲是魏.

师分析：要证明四边形EFGH是梯形，即要证明四边形EFGH的一组对边平行，

另一组对边不平行；或证明一组对边平行且不相等.具体用哪一种方法，我们来

分析一下题意：E、H分别是边AB、AD的中

直，由平面几何中的三角射中位线定理，特।EHjBDflEH=^BD;

又由票■票楣BT外吩哪阂创辿,可断EGABD,

2

且FG=苧BD.由上面这些条忤事可证明律形EFGH.

图1-42

证明:如图1-42,连结BD.

•••EH是4ABD的中位线，

，EH|BD,EH=JBD.

4

又SABCD中，署喑4

.'.FG|BD>FG=1BD.

根据公理4,EH〃FG,

又•••FG>EH,

四边形EFGH是柳形.

（三）等角定理

师：平行公理不仅是今后论证平行问题的主要依据，也是证明等角定理的基础.

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两

个角相等.

已知：NBAC和NB'A'C的边AB〃A'B',AC〃A'C,并且方向相同.

求证：ZBAC=ZB,A'C.

师分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了.在空间中，这个结论是否成立，

还需通过证明.要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角

相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等.根

据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为此需要构造两个三角形，这也是本题证明

的关键所在.

图1-43

证明：对于NBAC和NB'A'C'都在同一平面内的情况，在平面几何中已经

证明.下面我们证明两个角不在同一平面内的情况.

如图1-43,在AB、A'B',AC、A'C上分别取AD=A'D'、AE=A'E',

连结AA'、DD/、EE',DE、D'Ez.

•••AB〃A'B',AD=A/D',

.-.AA7DDZ是平行四边形.

.".AA,ILDDJ

国电AA1IcE7.

根据公理4,得：DD'〃EE'.

又可得：DD'=EE'

四边形EE'D'D是平行四边形.

••.ED=EZD',可得：ZXADE之Z\A'D'E'.

.".ZBAC=ZBzA'C.

师：若把上面两个角的两边反向延长，就得出下面的推论.

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或

直角）相等.

从上面定理的证明可以知道：平面里的定义、定理等，对于非平面图形，需要经过证

明才能应用.

下面请同学们完成练习.

（四）练习（P.14练习1、2.）

1.把一张长方形的纸对折两次，打开后如图1一44那样，说明为什么这些

折痕是互相平行的？

YIY

xl/Mz

图1-44

答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，每个矩形的竖边是

互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的.

2.JKCB1-45,AA‘・BB''8’不共面，fiBB'#AAf,

OC，2,AAf.李征：

△ABC^AA7B'C.

证明।•.BB',CCJ|_AAJ,

HOC1.

图1-45

.•.四边形BB'C'C是平行四边形.

.•.BC=B'C.

同理可证：AC=A'C,