高中数学-数学建模：饮茶最佳时间问题教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计

数学建模：饮茶最佳时间问题

一、学习目标和核心素养

(1)学习目标

1.了解数学建模的概念；

2.了解数学建模的一般步骤.

3.理解运用运用已有函数模型或建立函数模型解决实际问题.

(2)核心素养

1.通过问题分析和模型假设，培养数据分析、数学抽象的数学素养.

2.通过数学模型建立检验分析求解实际应用问题，提升数学运算、

逻辑推理、直观想象和数学建模的数学素养.

二、数学建模简介

1.数学建模的概念

《普通高中数学课程标准(实验)》指出：“数学建模是运用数学思想、

方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和

基本的内容。

2.数学建模一般步骤

数学建模的一般步骤

模型应用

⑴模型准备。根据实际问题的情境,掌握所要解决实际问题的背景知

识和数据资料,找出影响实际问题的重要因。

⑵模型假设。在对实际问题进行分析的基础上,进行数学抽象，提出

合理的假设,这是一个化繁为简，化难为易的过程。

⑶模型建立。在合理假设的基础上，利用合适的数学方法、思想来表

示问题各数量之间的关系，建立数学模型。

(4)模型求解。建立模型后利用相关的数学知识和方法对模型进行解

答。

(5)模型分析。通过对模型求解，对结果进行分析、翻译、解释指出

结果的实际含义和模型的适用范围。

(6)模型检验。运用模型结果到实际问题中，对模型结果和实际相比

较,若符合实际情况即是可用的结果,若不符合实际情况,则返回模型

假设进行修改。

三、具体内容如下:

学习环

学习评价学习活动

-4-P

通过常见的例子

一、创设

引入主题，让学生茶叶起源于中国风靡于世界。茶叶大体共分为六

情境，引

对数学建模有初大类：绿茶、红茶、黄茶、白茶、黑茶、青茶。不

入主题

步的认识论哪种茶叶，为了最佳口感，既要考虑冲泡温度，

又要考虑饮用温度。茶水温多少的时候饮用口感最

佳？这其实跟许多因素都有关系，而核心内容就是

数学中的数学建模知识.

数学建模问题来自于生活、社会中的方方面面,在选择问题时，选择学生

设计意

身边发生的比较有趣的事情，不仅能够吸引学生的注意力，而且学生对

图

于实际情境比较熟悉，有助于模型的建立。

二、模型探究一

合理假学生能否抓住主要我以下面三个问题为载体，让学生探求新知：

设，实验因素，再合理假设问题1:影响水温的因素有哪些？主要因素是？

操作，收的情况下，实现由问题2：在收集数据的过程中，开水的温度是不是

集数据现实生活向数学建100°C?

（前期模的过渡。问题3：饮茶的最佳时间大约是？

已完成）（师生互动）

在数学建模教学教学过程中应设置合理的情境，符合学生的学习心理，

设计意

能激发学生探索、求知的欲望，让学生主动地动手操作或实践，更好的

图

体现学生的主体地位。

三、分析探究二

数据，初六人一组，分成九三个小组分别以一次函数、二次函数、指数函数

建模型，组，根据所学知识结为模型进行了数据分析，并用计算机对拟合效果

分组展合数据，自由选择模进行了分析。

示，教师型，关注学生能否用我分别从以下五个方面进行了师生互动：

讲解，优已学的函数模型来1、为什么选择这个模型？

化模型分析数据，处理实际2、数据如何筛选和利用？

问题,通过前期的准3、模拟效果如何？

备，进行小组成果展4、预测温度何时降至60℃,并估计40分钟之后

示，教师给予实时讲的水温。

解并提出问题，互动5、模型是否符合实际生活，能否推广应用？

交流，优化模型建立设计意图：开放性的问题，让学生自己寻找

合适的基本的数学模型，培养学生初步的建模思

想.

上述数学模型都是理想的基本初等函数型的模

型，实际生活中的函数模型都是对基本初等函数

变形之后的结果，为了引导学生用实际生活检验

并优化数学模型，开始探究三.

通过以上五个问题，发现所建的模型都与实际生

活有很大的差别

探究三

观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至

室温就不能再降的事实，选择函数模型为

y=ka'+b(keR,0<a<l9x>0)

1、引导学生发现b初始时刻的温度，即为室温

20°Co

2、利用指数型函数的意义，后比前为a,所以利

用excel计算出a,此时提出问题:a取哪个值呢？

（学生思考一会）a取所有值的平均值（减少误

差）。

3、k值怎么取呢？（学生思考一会）利用初始时

刻的数据（原因=

4、求解出结果利用计算机进行检验模拟（课上展

示）。

5、总结出此模型即为牛顿冷却定律，即如果物体

的初始温度是yl,环境温度是yO,则经过时间t

后物体的温度y将满足：y=yO+（yl-yO）e-kt.

设计意图：学生展示，教师引导，让学生学会结

合具体模型的意义来分析数据，建立模型，让每

一步都有理有据，培养学生数学建模的能力，并

能完善数学建模的过程.

问题2：你能根据以上问题，思考完善数学建模

的过程吗？

活动2：小组讨论并总结

数学建模的一般步骤

问题分析------------1模型假设---------■模型建立

尸

模型检验<-----------模型分析4-----------模型求解

模型应用

让学生通过探究活动的形式合作交流，一方面实现学生对数学建模的

设计意

过程完善并总结出数学建模的定义，一方面让学生在开放、民主的教

图

学氛围中发现问题、获取新知.

关注学生能否从学在这一环节中，我会给学生2分钟的时间进行小

四、师生

习方法上和态度上组交流，然后谈谈这节课的收获，引导学生不仅

交流、深

进行自我反思和总从知识上总结，还要从学习方法和学习态度上进

化反思

结行自我评价和反思，最后给予补充概括.

让学生自己总结，既能够回顾建模的基本步骤巩固新知，又能够锻炼

设计意

提高他们整合知识形成思维导图的能力，还能提高口头表达能力，提

图

升自信。

学情分析

结束了九年义务教育的高一学生，是最富有创造潜力的群体，他们

对学习、社会有着强烈的求知欲和好奇心,他们不但向书本学习，也注

意向社会学习，积极参加各种活动和社会公益活动，他们不只是增加知

识的数量，而且开始重视把书本知识和实践活动结合起来，形成知识、

能力和个性的协调发展。因此，培养学生创新精神和实践能力的数学

建模能吸引学生，并且他们也有足够的潜力来完成数学建模的任务。

学生刚刚步入高||」生活,对于周围的一切有好奇心。我对高一年

级新入学两个班的110名学生做了问卷调查，以了解在本地区初中数

学建模活动开展情况。在初中，儿乎没有开展数学建模活动，只有6%的

同学在初中了解数学建模，因此人多数同学对数学建模没有听说过，但

是大约有27%的同学对“数学建模”很感兴趣,64%的同学一般感兴趣。

并且对于学校开展数学建模活动,39%的同学很愿意参加，对于在学校

开展数学建模活动的时间、方式等提出了看法和建议,这为数学建模

的开展奠定了基础。

数学思维方法的建立，是数学模型存在的灵魂”交流合作是学生学

习数学的重要方式之一，同伴之间的交流与合作,更有利于学生交换思

想，通过初中基础以及高中一段时间的学习锻炼，学生具备了一定的

交流与合作经验，有主动参与数学活动的意识和小组合作学习的团队

精神，好奇心强，学习比较积极主动。

本节课是数学建模的启蒙课，对学生来说是是探索也是挑战，在

认知方式和思维难度上对学生有较高的要求，而学生的抽象思维概括

能力比较薄弱，难以把实际问题数学化，不懂怎样处理复杂数据之间

的关系，学生在建立数学模型及优化数学模型的过程中会比较困难,

但是学生也应该在数学建模中培养锻炼勇于迎难而上的精神。

效果分析

通过这堂数学建模启蒙课的学习，学生已经对建模有了初步的了

解，引发了强烈的好奇心和用数学方法解决实际问题的探索兴趣，培

养了能为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、自主解决问

题的机会，培养学生的数学观念、科学态度和合作精神，激发学生的学

习兴趣，培养学生认真求实、崇尚真理、追求完美、讲究效益、联系

实际的学习态度和学习习惯。它能提高学生应用所学的数学知识解决

实际问题的能力，从过去强调数学知识的“有用、可用”到使学生所

学知识的“想用、能用和会用”，让学生更多自主的实践，把学习知识、

应用知识、探索发现、使用器材、培养良好的科学态度与思维品质更

好地结合起来，使学生在问题解决的过程中得到学数学、用数学的实

际体验，加深对数学的理解。

相信在以后的数学学习中，学生有了更强的内在驱动力。

教材分析

依据《普通高中数学课程标准（2017年版）》对数学建模的要求,

我国高中数学新教材大幅度调整了教材中的建模内容，凸显了数学建

模在数学课程中的地位。厘清新教材对数学建模内容的处理，是有效

把握建模教学的前提。

数学建模以学生为主，教师利用一些事先设计好问题启发，引导

学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生积极开展讨论和辩

论，培养学生主动探索，努力进取的学风，培养学生从事科研工作的

初步能力，培养学生团结协作的精神、形成一个生动活泼的环境和气

氛，教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望、培养他

们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，提高他们的数学素

质，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与

结果。它是一种独立的数学素养，却又是一种综合程度最高的素养,

因为建模的过程离不开抽象概括、逻辑推理、直观想象、数学运算、

数据分析。中学数学建模首先突出表现了数学学科的特点，主要是数

学应用的广泛性，理性精神和文化内涵。其次强调了学生的自主性和

实践性，强调“问题”和“问题意识”，强调学习、实践过程的开放

性和活动性。

统计表明新教材必修一中有关数学建模的主要内容分布在教材

的第三、四、五章，就篇幅而言共占30页，共计35道题（包括专题），体

现了《新课标》要求的贯穿必修课程始终的要求.通过分析可以发现,

新教材中有关建模的内容都在某个函数模型学习之后,且多数是以例

习题的形式呈现,遵循了《新课标》对能够选择适当的函数构建数学

模型、解决简单实际问题的要求新教材介绍了利用函数模型解决实际

问题的思想后，设置了数学建模专题，较为系统、完整地介绍了数学建

模的实际操作过程，给出了与《新课标》一致的数学建模过程线性框

图，说明了数学建模活动的要求和研究报告形式通过这一部分的学习,

学生能完整经历数学建模活动过程，深刻感受数学模型的重要作用和

意义,提高实践与探索能力.且新教材设置了专门的信息技术应用栏,

介绍信息技术软件的使用,为数学建模的学习提供了技术知识.总之,

新教材中数学建模的整体内容求是逐步提升，综合性逐步加强。

此外新教材中绝大多数建模内容为学生提供了完整（封闭）的数学

信息，尽管问题的解答可以用几种不同的方式进行，如利用函数图像或

统计数据表格求解,但所有必要的数据都是明确给定的仅有少量建模

问题提供的数学条件及数据不足,需要学生学会自己辨析、筛选所需

数据并自主收集处理，如寻找符合北京日出日落的函数模型、为当地

电力部门设计电价方案等新教材对于数学建模内容的情境类型使用

丰富，组织编排合理,既能保证传达基本的数学建模内涵，又设置有对

建模内容进一步提升的习题，总体上有助于培养学生利用数学模型解

决实际问题的能力，符合《新课标》对数学建模的要求。

评测练习

1.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、

有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

2.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼

的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照

测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种妒鱼，并且得

到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）:

身

33433433

长

6.81.83.86.82.15.15.92.1

(cm)

重74174164

量(g)658216237823895254

胸

22222322

围

4.81.37.94.81.61.82.91.6

(cm)

先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。

参考答案：

1.设圆盘半径为单位1,矩形板材长a,宽b；可以精确加工，即

圆盘之间及圆盘与板材之间均可相切。

方案一：圆盘中心按正方形排列，如下图1,圆盘总数为乂

=[a/2][b/2]

方案二：圆盘中心按六角形排列，如下图2,行数m满足2+(m-1)

+1

百"a,于是m=

^888

OOOOO

图1图2

列数(按图2第1行计数)n满足：若[b]为奇数，则各行圆盘数

相同为([b]-l)/2；若闻为偶数，则奇数行圆盘数为网/2,偶数行圆

盘数为血/2-1。

NJ机(网-1)/2(1)

圆盘总数为2~Wl-l)/2+l/2(2)

其中（1）为：m为偶数。（2）为：m为奇数，血为偶数。

两个方案的比较见下表（表中数字为M/M）：

b

040

248112

4

/2/4/70/94/130/19

361123

7

/3/62/115/141/200/29

512235

10

/50/100/185/235/330/48

712347

15

/84/168/285/369/520/76

1

12457

2000/10

0/110/220/390/500/72

5

当a,b较大时，方案二优于方案一。

其它方案，方案一、二混合，若a=b=20,3行正方形加8行六角

形，圆盘总数为106。

2.对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相

同，所以重量w与身长/的立方成正比，即卬=%"\匕为比例系数。

常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和

瘦鱼同等看待。如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼

身最大周长的平方成正比，于是卬=心1/,左2为比例系数。

利用数据估计模型中的系数可得々=0.014,^=0.0322,将实际数

据与模型结果比较如下表:

实

74174164

际重量

658216237823895254

(g)

模

74174164

型

276922627833397583

卬=

模

74174164

型

306510030834710783

2

w=k2dl

基本上满意。

课后反思

数学建模问题属于开放型题，没有唯一的答案，在完成数学建模全

过程需要多方面的能力，应如何对数学建模学习进行评价呢？

一、数学建模教学评价注重学生学习过程的评价。高中数学建模

教学除了要学生重视数学知识、技能的掌握和运用外，还重视在解决

实际问题中学会使用数学知识，在学生经历用数学建模思想解决问题

的过程中，逐步发展学生的应用意识和创新意识，体会数学的应用价值,

在解决问题的过程中养成与人交流的习惯，提高学生的综合能力。

二、数学建模教学评价注重学生学的参与度。在用数学建模思想

解决问题的过程中会遇到很多问题，这需要他们从社会，从自己的生活

中收集数据，得到信息，从而锻炼自己与人交流，与人合作的能力，因此

教师在评价的过程中应该关注学生是否积极主动参与这些活动。

三、数学建模教学评价注重学生学习能力的评价。在数学建模过

程中，运用了大量的数学知识和数学能力,这是进行数学建模的基础。

因此教师在评价学生时关注学生提出问题的新颖性，从现实生活中收

集数据的能力，运用现代信息技术处理数据的能力，判断建模合理性的

能力，解释建模结果的能力,等等。

四、在评价过程巾注意不同程度的学生评价标准不同。在进行数

学建模过程中，要允分发挥学生的综合能力,每个同学的长处不同，有

的同学观察能力强，有的同学计算能力强,有的同学社会适应能力强,

有的同学口头表达能力强,有的同学论文写作能力强学生的这些优点

只要一项做的好就应该予以定在高中开展数学建模学习的目的之一

是培养学生学习数学的兴趣，提高学生学习数学的热情，因此在评价学

生的时候以鼓励、激励为主，同时注重学生的自评和互评。

数学建模教学关注学生的参与度，因此，数学建模教学应始终贯彻

着激励鼓励的原则。

课标分析

数学建模作为数学最重要的三种基本思想之一，是数学与外部世

界联系的桥梁。数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表

达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模主要表现为，

发现和提出问题，建立和求解模型,检验和完善模型，分析和解决问题。

一、数学建模的基本原理和特点

它是一种数学思考方法，运用数学的语言和方法，是一种能够解

决数学实际问题的有效教学手段，是对实际事物的一种数字简化。把

现实生活中的一些实际问题进行加工，然后概括成一个数学问题，在

运用数学的语言表达出来，选取适当的方法来解决问题。新课标对数

学建模的定义是数学建模实际上是运用数学的思想和数学的方法，来

解决实际问题的一个过程，对数学教育有着深刻的影响。教师把这种

方法传授给学生，对学生的数学学习有很大的帮助。

高中阶段，数学建模作为一种新的数学学习方式，对学生自主学

习能力的提高有很大的帮助。学生在运用数学建模的方式解题时•，能

够体会到数学和实际生活是相互联系的，从而提高学生数学的实践能

力和创新意识，一举多得。高中数学建模有如下几个特点。

1.高中数学建模没有统一的方法。高中建模的题目都是来源于生

活，解决的都是生活中的实际问题，所以学生可以选择不同的方法,

根据自身的数学水平，选择方法、建立模型。

2.建模的答案不唯一。在解答数学题时，题目的答案往往是唯一

的。但是在解决生活中的实际问题时，我们会建立不同的数学模型,

也会得出不同的结果。这些模型往往都符合实际