高中数学人教A版2019选修第一册教案空间向量基本定理

专题11空间向■基本定理

★★★★学习目标★★★★

1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；

2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；

3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.

★★★★问题导学★★★★

知识点一空间向量基本定理

思考平面向量基本定量的内容是什.么？

答案如果e,，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量有且只有

一对实数2|,%2,使a=2ie/+%2e2,其中，不共线的e/,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

梳理(1)如果三个向量a,"c共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组y,z｝,使得p

=m+yb+zc,把｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间中任何三个不共面的

向量都可以构成空间的一个基底.

(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a,"c中，没有零向量.

(3)单位正交基底：如果｛4,即03｝为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度

为1;且向量ei，e2,e：有公共的起点.

知识点二空间向量的坐标表示

思考平面向量的坐标是如何表示的？

答案在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，对于平面

内的一个向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数％,y,使。=与+)力这样，平面内

的任一向量a都可由x,y唯一确定，我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y),其

中x叫做a在x轴上的坐标，)，叫做@在y轴上的坐标.

设0X=xi+W，则向量宓的坐标(x,>)就是点A的坐标，即若历i=(x,y),则A点坐标为(x,y),

反之亦成立(0是坐标原点).

梳理(1)设ei，%e3为有公共起点0的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)“

以e”e2,03的公共起点。为原点，分别以ei，62,03的方向为X轴、y轴、Z轴的正方向建立空间

直角坐标系Oxyz,那么对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移，使它的起点与原点。重合,

得到向量。A=p,由空间向量基本定理可知，存在有序实数组｛x,»z｝,使得p=xei+”2+ze3,

我们把x,y,z称作向量p在单位正交基底e”ei，e3下的坐标，记作p=(x,y,z),此时向量p的

坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(K,v,z).

(2)向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点0,则0A的终点P的坐标就是向量p的坐标，

这样就把空间向量坐标化了.

★★★★题型探究★★★★

类型一空间向量的基底

例1若｛a,b,c｝是空间的一个基底.试判断｛a+Z),b+c,c+a｝能否作为该空间的一个基底？

解假设a+方，b+c,c+a共面,则存在实数+、〃使得a+》=/(b+c)+〃(c+a),

+(zl+〃)c.

V｛a,h,c｝为基底，.;a,h,c不共面.

1=〃，

-1=/i,此方程组无解..,.a+b,b+c,c+a不共面.

0—+A,

：.｛a+b,b+c,c+a｝可以.作为空间的一个基底.

反思与感悟空.间向量有无数个基底.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是

要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判

断.

跟踪训练1以下四个命题中正确的是.

①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示：

②若｛a,b,c｝为空间的一个基底，则a,b,c全不是零向量；

③如果向量a，5与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有。与b共线；

④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.

答案②③

解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由

空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共

面的向量组成的，故④不正确.

类型二用基底表示向量

例2如图，已知正方体的4,夕C",且砺=a,OC^b,丽7=c.

(1)用a,b,c表示向量OB',AC'；

(2)设G,〃分别是侧面〃TCC和。'A'B'C的中心，用a,b,。表示丽.

【答案】⑴详见解析；⑵

【解析】(1)丽=砺+丽=砺+阮+而?=。+什C.

AC^AC+CC=AB+AO+AA,^OC+OOi-OA=b-\-c~a.

GG=GO+OH=-OG+OH=~+y(而+丽^=一；

(a+Z>+c+b)H—(a+ZH-c+c)=—(c-6).

22

反思与感悟求解空间向量在某基底下的坐标的关键：一是运用空间向量的基本定理，二是理解空

间向量的坐标表示的意义.

跟踪训练2在四棱锥P-A8CO中，四边形A8CO为平行四边形，AC与8。交于点0,G为BD上一

点，BG=2GD,而=小~PB=by定=。•，试用基底｛小方，c｝表示向量尸石.

_212

【答案】-a一二bT—c.

333

__2__

【解析】-：BG=2GD,:：BG^-BD

3

又丽=丽+觉=⑸一而+无一丽=a+c—28

________2212

:.PG=PB+BG=b+-(a+c-2b}=-a——b+-c

3V,333

212

故答案为一。—b-\—c

333

类型三应用空间向量坐标表示解题

例3（2020•黑龙江高二期末（理））｛£,反耳是空间的一个单位正交基底，万在基底｛£,£"｝下的

坐标为(2,1,5),则万在基底,+B出+&£+£}下的坐标为()

A.(-1,2,3)B.(1,-2,3)C.(1,2,-3)D.(-3,2,1)

【答案】A

【解析】由题意向量p=2a+B+5c,设向量p在基底｛a+B,B+c,a+c｝下的坐标为｛x,y,z｝

/.p=x(a+B)+y(B+c)+z(a+c),.\2a+h+5c=x(a+B)+y(B+c)+z(a+c)

x+z=2=

二.〈光+y=1y=2,所以向量方在基底,+及B+24+4下的坐标为｛-1,2,3｝故选A.

y+z=5Iz=3

反思与感悟（1）注意向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为｛ei,e2,

+22+&3,则a的坐标为（2,〃，k）.

（2）油的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标.

跟踪训练3已知点A在基底他,瓦口下的坐标为（8,6,4）,其中々=『+j,b=j+k,c=k+T，

则点A在基底｛f,工格下的坐标是（）

A.(12,14,10)B.(10,12,14)

C.(14,12,10)D.(4,3,2)

【答案】A

【解析】•.•点A在基底丘瓦3下的坐标为(8,6,4),

•••丽=82+6^+42=8(7+力+6(]+2)+44+7)=127+14]+1(正,

点A在基底伍］,后｝下的坐标是(12,14,10)。故选：A

★★★★综合训练★★★★

一、单选题

1.(2020•延安市第一中学高二月考(理))如图，空间四边形04BC中，OA=a,OB=b,OC=c<

点“是OA的中点，点N在BC上，且函=2标，设丽=m+y5+z2,则x,y,z的值为()

112121

A.—,一,—B.—,—,—

233233

121112

C.----，—，—D.-----，—，—

233233

【答案】C

［解析］依题意丽=丽_丽=(O月+的)_；砺=(而+砺

=OB+-(OC-OB)--OA=--bA+-OB+-OC,所以x=y=2,z=L

3、>22332-33

故选：C.

2.(2020・九台市第四中学高二期末(理))如图，正四棱锥P—ABC。中，己知所=£,而=坂，

—.1__.

P(j=c，PE=-PD,则8豆=()

1-3-1-[一]一J-

C.——a——b+—cD.——a——b+-c

222222

【答案】A

【解析】如图所示:

连接AC、BD交点、为0,则而='£+4£

22

又用」而+，丽,

22

—.11-1-1-

所以互j=q+f_B，又PE=—PD=—ar—c—b,

2222

・所以82=8户+而—之行+!）.故选：A.

222

3.（2020・四川省绵阳南山中学高二月考（理））已知空间四边形Q45C,其对角线为03,AC,M，

N分别是边04,CB的中点，点G在线段MN上，且使MG=2GN,用向量砺，砺，无表

示向量诙是（）

_____2__2_____1__2__2__

A.OG^OA+-OB+-OCB.OG=-OA+-OB+-OC

33233

__1一1_1____1_1_2__

C.OG=-OA+-OB+-OCD.OG=-OA+-OB+-OC

633633

【答案】C

【解析】

__________2___

vOG=OM+MG=OM+-MN,

3

OG=-OA+-OB+-OC，故选：C.

633

4.（2020•四川省武胜烈面中学校高二开学考试（理））已知三棱锥O-ABC,点分别为AB,OC

的中点，且砺=瓦丽=反4=-用b）^表示丽，则而等于（）

A.—^/?+c—+—c^）

c.

【答案】D

【解析】MN=ON-OM=|dC-1(OA+dB)=|c-1a-^=1(c-a-^,故选D.

5.(2020•广东省普宁市华美实验学校高三月考(文))如图所示，在平行六面体ABCO-AgGA

中，设丽=G，AB=b>AD=c'N是3c的中点，试用3，b-"表示A河()

_1___1_

A.—a+Z?H—cB.—G+b+^C.—a—bH—cD.a—bH—c

222

【答案】A

【解析】QN是8c的中点,

二丽=丽+丽+丽=—a+—BC——a+Z?H—A,D——Q+Z?H—c.故选：A.

222

6.(2020.吴起高级中学高二月考(理))一个向量万在基底｛部,耳下的坐标为(1,2,3),则万在基

底｛,+瓦白一瓦"下的坐标为()

31八13八

A.—,一,3B.,3C一,——)3D.3

22)T4]-22J4T

【答案】B

【解析】因为向量,在基底｛2后,耳下的坐标为(1,2,3),

所以p=4+2B+3c,

设,在基底｛a+B,a—B,c｝下的坐标为(元,>,z),

所以p=x(Q+1)+y(Q-B)+zc=>(x+y)a+(x-y)B+zc,

x+y=1

-c3i

有〈x_y=2=>x=1,y=——，z=3,

'2'2

z=3

p在基底｛a+B,a-B,c｝下的坐标为（不一5,3）.故选：B.

7.（2020・四川省绵阳南山中学高二月考（理））给出下列命题：

①已知£_L〃，则。・（石+<?）+0（3-。）==<?；

②A6,M,N为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么A8,M,N共面;

③已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；

④若£花共线，则［4所在直线或者平行或者重合.

正确的结论的个数为（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【解析】对于①，若£，人则£4=0，

故a•（5+c）+c•（B-a）=a•B+a•c+c•B-c•a

-0+c-b=b-c>故①正确；

对于②，若不构成空间的一个基底，丽，的，丽这3个向量•共线面，

故共面，故②正确；

对于③，当打行时，若"与£石不共面，则,瓦斗可构成空间的一个基底，

故③不正确;

对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确;

故选：C

8.(2020.六盘山高级中学高二期末(理))己知向量收,瓦叶是空间的一组基底，则下列可以构成基

底的一组向量是()

—•—•—,—._—•—•—•—._

A・a+b，a-bD.。+8，b，a-b

_—•—•—•_—•—•—•-*_

C・Q+Z?，c，〃一〃D・Q+。，2a—b»a-h

【答案】c

【解析】•••R+B)+R-5)=%，：.a，a+b>B共面，不能构成基底，排除A；

■,■^+b)-[a-b)=2b,:，b，a+b>力共面,不能构成基底,排除3；

'.'2a—b=^a—b^+—^a+b^,,a-b<2a-B共面,不能构成基底，排除。；

若3a+b>£-石共面，贝代=/1(£+4+5(£-5)=(/1+”痴+(/1-加历，贝帽、b>"为共面向量，

此与｛£,6,2｝为空间的一组基底矛盾，故£、a+b>可构成空间向量的一组基底.故选：C.

9.(2020•陕西省西北工业大学附属中学高二月考(理))若｛工瓦寸为空间的一组基底，则下列各项

中能构成基底的一组向量是()

C.^a+b,a-b,2a+B}

【答案】C

【解析】A：因为(々+3)+(〃一方)=2。，所以向量+是共面向量，因此这三个向量不能

构成基底;

B：因为(〃+。)+(-1)(〃-。)=2/7,所以向量。,Q+。,。-。是共面向量，因此这三个向量不能构成

基底；

C：因为｛£,6,2｝为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.

若Q-B不构成一组基底，则有c=x(a+B)+y(a一B)=c=(x+y)a+(x-y)b,所以向

量£花,工是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此工,£+瓦£-B能构成一组

基底，

__3--_________

D：因为2。+力=e(a+Z?)+5(a+b),所以向量。十瓦〃一瓦2Q+B是共面向量，因此

Q+瓦a-瓦2Q+B不能构成一组基底.故选：C

10.(2020•广东省深圳中学高二期中(理))以下命题

①I万1-|6|=除+万|是万,B共线的充要条件；

②若伍，瓦口是空间的一组基底，则他+'B+口万+町是空间的另一组基底；

③I伍石兄|=|利.出|.|初.

其中正确的命题有o

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【解析】①|a|-|5|=|a+5|=a,5共线，反之不成立，

I刈-出|=|a+5|是万，日共线的充分不必要条件，因此不正确；

②若｛G,B,即是空间的一组基底，假设G+反6+己0+］共面，

则存在唯---组实数》，y，使々+B=x(5+c)+y(c+a)成立,

即方+/?=xb+(x+y)c+ya，

所以x=l,y=l,x+y=O,显然无解,

假设不成立，即2+&5+己,5+万不共面,

则出+5,b+c,e+码是空间的另一组基底，正确；

（g）|（a«£>）cHc|cos<«,6>,而cos<a,h>不一定等于1,

因此不正确.其中正确的命题有一个.故选：B.

11.（2020•上海市七宝中学高三开学考试）如图，在斜三棱柱A用G-A3。中，BC的中点为M，

福=&，时'=瓦不=树则丽可用£、人工表示为（）

1_1一_1_1_-1_1一

A.——ad—,ZJ+cB.一ciH—hcC.—■a—6+cD.——a—■b-i-c

222222222

【答案】A

【解析】因为即0=4瓦+；矿=中+3（箱一石；）=一；耳瓦+；而"中

1一17一

—aH—匕+c.故选：A.

22

12.（2020•湖北省高二期中）已知向量£,石，£是空间的一个单位正交基底，向量1+反1-51是

空间的另一个基底，若向量,在基底£,五，2下的坐标为（3,2,1）,则它在下的坐标

为o

【答案】D

【解析】设向量£=(1,(),()),^=(0,1,0),c=(0,0,1)；

则向量£+〃=(1,1,0),a-/j=(l,-l,o),

又向量万=(3,2,1),

不妨设p=x(a+b)+y(a-b)+zc-

则(3,2,l)=(x+y,x_y,z),

5

x=—

'x+y=32

即,x-y=2,解得，y=一,

z=l,2

所以向量p在“+B,a-5,c下的坐标为故选：D.

二、填空题

13.(2020•西宁市海湖中学高二月考(理))下列关于空间向量的命题中，正确的有.

①若向量3,5与空间任意向量都不能构成基底，则》/力；

②若非零向量a，h'c满足坂_LC，则有山/C；

—.1—.1__I-.

③若砺，砺，说是空间的一组基底，且OQ=§OA+§O8+g。。，则A，B,C,。四点

共面；

④若向量£+B，b+c>c+a<是空间一组基底，则7，b."也是空间的一组基底.

【答案】①③④

【解析】对于①：若向量£,B与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即:〃力，

故①正确;

对于②：若非零向量£,B，£满足则£与"不一定共线，故②错误；

―.I—1__I―.

对于③：若砺，0B>反是空间的一组基底，且。。=§。4+耳。8+3。。，贝I]

0万一。4=；(0分一R)+g(沅-0乂)，即4方=^4月可得到A，B,C,O四点共

面，故③正确；

对于④：若向量Z+B，力+。，"+£，是空间一组基底，则空间任意一个向量2,存在唯一实数组

(x,y,z),使得2=x(a+B)+y(B+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)B+(y+z)c,则£,b,c

也是空间的一组基底，故④正确.

故答案为：①③④

14.(2020.湖北省高二期末(理))已知S是△A8C所在平面外一点，。是SC的中点，若丽=x

SA+ySB+zSC,则x+y+z=.

【答案】一不

2

【解析】如图，根据条件：

而=g阿+丽)=((豆—兖—阚=—豆+g豆=0面一丽+(无，

_.一——.11

又8D=xSA+ySB+zSC,•••由空间向量基本定理得%+丁+2=0-1+万=-5，

故答案为：-大

2

15.(2020・上海中学高三其他)在平行六面体A5CD—A4GA中，AC=a,BD=b,AC^=c,

试用a>b>c表示BD]=.

【答案】b+c-a

【解析】

瓯=防+西=而+忑=BD+AQ-AC^h+c-a>故答案为:力+二工.

16.（2020•内蒙古自治区高二月考）已知向量｛M,5,*｝是空间的一个单位正交基底，向量｛2+5，

31

a-b>E｝是空间另一个基底，若向量力在基底｛M+5，展5，E｝下的坐标为（5,-万，3）则力

在基底｛G,b-3｝下的坐标为.

【答案】（1,2,3）

31

【解析】I•向量方在基底｛1+5>a-b，d｝下的坐标为（一，--,3）

22

3_1__

，向量万=5（5+）--（d-b）+3c=J+2^+3c,

故P在基底｛万，b-e｝下的坐标为（1,2,3）,故答案为：（1,2,3）.

三、解答题

17.（2020•绵竹市南轩中学高二月考（理））如图，在平行六面体ABC。-A4GA中，以顶点A为

端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°,M为4G与耳。的交点.若荏=£,AD=b>

A4]=c>

（1）用a,B,c表示BM；

（2）求对角线的长；

(3)求cos(A8,AC)

【答案】(1)—dH—5+c；⑵A/6；(3)——

223

【解析】(1)连接AB,AC,4G，如图：

AB=a,AD=b>—c

在根据向量减法法则可得：BAi=AAf-AB=c—a

•••底面ABC。是平行四边形

AC//4G且|Aq=|AG|

又M为线段AG中点

在AAMB中

(2)•.•顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60。

由(I)可知前=£+B

・•.平行四边形A46C1中

故：ACt-AC+AA^-a+b+c

=|«|+问+|c|+2p|-1^1cos60°+2|a|•|c|cos600+21^|•|c|cos60°

故：对角线4G的长为：瓜.

(3)AG=a+Z?+c,A8=ci

y..coJAB痈W福宿。•伍+上0

又(，心网网一1.76

18.(2020•三亚华侨学校高二期中)如图，在平行六面体A6CO—A百G2中，A8,4Q,A4,两两夹

角为60。，长度分别为2,3,1,点P在线段BC上，且33P=BC,记£=而工=而,"=丽.

（1）试用”,瓦c表示RP；

（2）求"尸模.

【答案】（1）京-2；⑵75.

【解析】（1）D}P=AP-AD,=（AB+BP）-（AD+AA.）,

=（a+；〃）-（6+c）=a-^b-c.

（2）因为A8,