高中数学必修五正弦定理练习题含答案

高中数学必修五正弦定理练习题含答案

学校：班级：姓名：考号：

1.（河南六市一联）已知锐角△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若

b2=a（a+c）,则二口的取值范围是（）

A.（O，¥）B-G-T）C（?T）D-（°-T）

2.若AABC的内角A满足sin24=I，则sin/+cos4=（）

A迎B「反C：D—

3333

3.已知a,beR,A=a2+b2,8=ab+Q+b—l,那么（）

A.4>BB.A<BC.A>BD.A<B

4.在△ABC中，下列式子不正确的是（）

A.a2=62+c2-2bccosAB.a:b:c=sinA:sinB:sinC

C.SAABC=\\AB\\BC\s\r\AD.b=2RsinB

5.（长春监测一）在△力BC中，4B=2,AC=3,BC边上的中线AD=2,MUABC的

面积为（）

A.渔B.V15C,也D.辿

4416

6.（湖南十三校二联）在△48C中，0为三角形所在平面内一点，且易/+；前,

32

则也空2=（）

S“CD

1-—1

AA.-B.—C.—D

623i

7.（太原五中4月检测）在△力BC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若直线

bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosF+cosA=0平行，则4ABC一定是（）

A.锐角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰或直角三角形

8.在△ABC中，下列等式一定成立的是（）

A.QsinA=bsinBB.acosA=bcosBC.asinB=bs\r\AD.acosB=bcosA

9.在A4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2展,B=2A,

则cosA的值为（）

A.渔B.平c.四D.渔

368

10.（福建厦门一中下学期开学考）在AABC中,a,b,c分别为角4B,C的对边且

cosB

言，则角B的大小为（)

cosC

7T

AA-D号

4

11.（3分）（广东金山中学、广雅中学、佛山一中三校联考）如图，A/IBC中，。是

边BC上的点，且AC=CD,2AC=V5AD,AB=2AD,贝iJsinB等于.

12.已知a,b,c分别是A/IBC内角4,B,C的对边，且满足（a+b+c）（sinB+sinC-

sinA）=bsinC.

（1）求角A的大小；

（2）设。=旧，S为△ABC的面积，求S+WcosBcosC的最大值.

13.己知AABC中，AB=近,AC=1,=-,求△ABC的面积；13.

6

在△ABC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,己知△4BC的面积为3旧，b-

c=2,cos/l=-求a的值.

4

14.在△48C中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c.已知QHb,c=V5,cos2/1—

cos2^=V5sin4cosA—V3sinBcos^.

求角C的大小;

试卷第2页，总11页

若sinA=p求4ABC的面积.

15.在△ABC中，内角4、8、C的对应边分别为a、b、c,已知坟=QC,COSB=三，且

4

BABC=l，求a+c的值.

16.在锐角三角形AABC中，边a,b是方程/一28%+2=0的两根，角48满足：

2sin(4+B)一b=0,求

角C的度数；

c的长度和A4BC的面积.

17.(海口调研)△ABC的内角4B,C所对的边分别为a,b,c.已知2sinBsinC+

cosB+2cos(8+C)=0,且sinBH1.

求角C;

若5sinB=3sinA,且A4BC的面积为竺更，求△ABC的周长.

4

参考答案与试题解析

高中数学必修五正弦定理练习题含答案

一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

1.

【答案】

C

【考点】

余弦定理

正弦定理

三角恒等变换综合应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

由£>2=a(a+c)和余弦定理可得c—a=2acosB,由正弦定理得sinC—sinA=

2sin4cosB,sin(4+B)-sin/1=2sin力cosB,化简得sin(B—A)=sinA,因为△ABC是锐

(0<2A<-,7r7r

角三角形，所以B—4=4即B=24则2兀所以

[0<n-3A<-64

木念=sin4C(|，3,故选C.

本题的突破点是正弦定理、余弦定理的应用.

本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换.

2.

【答案】

A

【考点】

余弦定理

正弦定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

sin2A=2sin>lcoSi4>0,cosA>0.

sinA+cos4>0,sin力+cosA=J(sin4+cosA)2=<1+2sinAcos4=<1+sin24=

It,2Vis

y]33

3.

【答案】

C

【考点】

余弦定理

正弦定理

试卷第4页，总11页

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解析A-B=(a2+/)-(ab+a+b-1)

=—[(2a2+2b2)—(2ab+2a+2b—2)]

=1[(a-h)2+(a-l)2+(b-l)2]>0.

当a=b=1时，A=B.

4.

【答案】

C

【考点】

余弦定理

正弦定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

略

5.

【答案】

C

【考点】

余弦定理

正弦定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

由题意，设CD=80=x,根据余弦定理可得cosC=中手=誓?，可得x=竺且

2X3XX2x3x2%2

cosC=—,sinC=—,故S-Bc=工AC•BC-sinC=故选C.

4424

本题考查解三角形，以及利用余弦定理搭建三角形中边与角的关系式.

6.

【答案】

B

【考点】

正弦定理

向量在几何中的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

本题考查平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示.设直线40,BC交于

点E,且族=xG=：6+|品由E,B,C三点共线，得：+；=1,x=|,/.

T^T2TR12TTQ/TTT

AE=^AD=!715+!71C,J：(AE-4B)=：(4C-4E),/.2BE=3EC.设

S^CED贝BDE又S^ACD；・：：：：

=2y,US^=3y.■:AD=SDE,=10y,*5ZXziGL/=

=故选B.

lOy2

7.

【答案】

C

【考点】

余弦定理

正弦定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

由直线bx+ycos/1+cosB=0与直线ax+ycosB+COST!=0平行，得bcosB=acosA且

bcosAacosB,则由正弦定理得sin灰osB=sinAcosA,sinBcosA。sinAcosB,即

sin28=sin2i4,sin(/l-B)70,则24+2B=Tt,A+B=^,所以△A8C为直角三角形，

故选C.

【知识归纳】直线ax+by+c=0与直线ex+fy+g=0平行的充要条件为

af—be=0且ag—ce0.

本题考查两直线平行的性质、正弦定理.

8.

【答案】

C

【考点】

正弦定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解析：由正弦定理得二=二变形即得.

9.

【答案】

A

【考点】

正弦定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

由正弦定理及条件可知：煮=亮=高=焉=皿仁冬故选4

10.

【答案】

D

试卷第6页，总11页

【考点】

正弦定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

由正弦定理，条件巴我=——"变形可得上过=—三明一，2sinAcosB+sinCcosB+

cosC2a+ccosC2smA+sinC

cosCsinB=0,则2sin4cosB+sin(C+B)=0,由B+C=TT—4得2sin4cosB+

sinA=0,在三角形中，sinAH0,0<B<n,则cosB=—则B=筌故选D.

【方法归纳】三角形中边角混有的恒等式，一般解法是边角统一，常用正弦定理边化

角，本题也可利用余弦定理将角转化为边，只是运算量较大.

本题考查正弦定理、两角和与差的正、余弦公式、解三角形.

二、填空题(本题共计1小题，共计3分)

11.

【答案】

V5

T

【考点】

正弦定理

余弦定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

设AC=2,则AC=CD=V^,/1B=4,则在△AC。中，由余弦定理得cosC=学吃=

2XV5XV5

所以sinC=则由正弦定理得sin乙4DC=ACsmC=—,于是sin乙408=sin乙40c=

55AD5

2A/Sbi、］〜_ADs\nz.ADBxfs

一，所以在△480中，sinB=-------=二.

5AB5

灵活运用正弦定理和余弦定理是解答本题的关键.

本题考查正弦定理、余弦定理..

三、解答题(本题共计6小题，每题10分，共计60分)

12.

【答案】

解：(1)因为(a+b+c)(sinB+sinC—sinA)=bsinC,

所以根据正弦定理知(a+b+c)(b+c-Q)=be,

即/+c2—a2=—be.

所以由余弦定理，得cosA=空上贮=-i

又4€(0,7r),所以4=1兀.

(2)根据a=%,4=|兀及正弦定理

可得焉=竟=高2,

所以b=2sinB,c=2sinC,

所以S=-bcsinA=-x2sinBx2sinCx—

222

=V3sin5sinC,

所以S+V3cosBcosC=V3sin^sinC+V5cosBcosC

=bcos(B—C),

(B=C,

故当卜+。=(即8=。=之n时，

S+百cosBcosC取得最大值

【考点】

余弦定理

正弦定理

三角形的面积公式

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)因为(a+b+c)(sinB+sinC—sinA)=bsinC,

所以根据正弦定理知(a+b+c)(b+c-a)=be,

即炉+c2—a2=-be.

所以由余弦定理，得cosA=，*=->

2bc2

又AE(0,TT),所以4=|TT.

(2)根据Q=V5,4=|兀及正弦定理

可得上-=二=2=2,

sinBsinCsi"

所以b=2sinB,c=2sinC,

所以S=^besinA=|x2sinBx2sinCxy

=百sinBsinC,

所以S+V3cosBcosC=V3sin^sinC+V3cos^cosC

=V5cos(B—C),

(B=C,

故当卜+。=泮8=。=n/，

S+V^cosBcosC取得最大值百.

13.

【答案】

V3

~4

8

【考点】

余弦定理

正弦定理

【解析】

试卷第8页，总11页

此题暂无解析

【解答】

解析本题已知两边及一边的对角，需要求解两边AB,4c的夹角4由正弦定理得

sinC=萼=f,csinB=f<b<c,所以符合条件的三角形有两个，C=g或=，则

02233

A=患垮，由S0BC=|bcsinA=亨或*

所以当4=杂寸三角形ABC面积为卓，当4=肘三角形ABC面积为

2264

因为0V/<所以sin/=71_cos2A=—.

4

又SAABC="csinA=^^bc=3\/1豆，be=24,解方程组［匕一,一2，得

28(t)c=24

b=6,c=4,由余弦定理得a?=b2+c2-2bccosA=6?+4?—2x6x4x(―*)=

64,所以a=8.

14.

【答案】

re

C=3

8V3+18

~25~

【考点】

余弦定理

正弦定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

由题意得上詈-上等=ysin24-日sin2B,

即当sin24—|cos2A=当sin2B—|cos2B,sin（2A—：）=sin（2B—.

由aRb,得A大B,又4+Be（0,兀）,

得24—巳+28—囚=兀，

66

即4+8=生，所以C=3

33

由。=V5,sin4=-，-^―=得Q=

’5'sinAsinC5

.Q

由a<c,得4<C,从而cosA=故sinB=sin（4+C）=sin^cosC+cosAsinC=

4+3百

10

所以，△48。的面积为5=巳闻$访8=囚禁