高二年级上册期中【常考60题考点】（选修一全部内容）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选修第一册）（解析版）

高二上学期期中【常考60题考点专练】

(选修一全部内容)

空间向量及其线性运算(共2小题)

1.(2022春•东湖区校级期中)如图，空间四边形。ABC中，水=彳，丽=石，沃=「点M为。4的中点,

点N在线段BC上，旦CN=2NB,则谣=()

B

1-*2-L

【分析】根据条件可得出血」之，AB=b-a,BN=^-(c-b),然后代入MN=MA+AB+BN进行向量的数

23

乘运算即可.

【解答】解：・・・"为。4的中点，点N在线段5c上，且CN=2NB,且丞=之，沃=%

,,MA^yOA^a>AB=OB-OA=b-a,BN^BC^(OC-OB)=7-(c-b)f

乙乙00o

.*—♦—♦—•1———1—T1-9—1—

=

,,MN=MA+AB+BN—a+b-a+y(c-b)=至a+yb+yc，

故选：D.

【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.(2022春•天宁区校级期中)设■《是两个不共线的空间向量，若瓦=2百_可正=3g[+3司，CD

=T+k/，且A，C,。三点共线,则实数k的值为2.

elKe2-5一

【分析】先由正=正+前求出正，在根据A,C,。三点共线，waACIICD.从而得至IJ2-5%=0,解出k

即可.

【解答】解：AB=2e[-e?，BC=3e।+3eCD=e]+k@2，

AC=AB+BC=5局+2可

又C,D三点共线，；.ACHCD，

.♦.2-5k=0,:.k=2,

5

故答案为：2.

5

【点评】本题考查了三点共线和向量共线定理，考查了方程思想和计算能力，属基础题.

二.共线向量与共面向量(共1小题)

3.(2022春•舒城县校级期中)已知向量2=(2,-1,3),b=(-4,2,x),若a〃b，则x=-6.

【分析1由于之〃E，可得存在实数人使得Z=入联利用向量相等即可得出.

【解答】解：〃4，

...存在实数入使得之=人总

2=-4入

.*.<-1=2X,解得x=-6.

.3=入x

故答案为：-6.

【点评】本题考查了向量共线定理、向量相等，属于基础题.

三.空间向量的数量积运算(共3小题)

4.(2022春•湾里区期中)已知空间向量标=(0,1,-2),|正|=2，<AB-AC>=--则标•证=

3

()

A.—^5-5B.-5C.-+5D.y/s+5

【分析】根据已知条件，结合向量的数量积公式，求出标•菽=-依，再根据瓦•前=瓦•(菽-就)，

即可求解.

【解答】解：：标=(0,1,-2),

|AB|=VO2+12+(-2)2=V5，

,*•杷■AC=|研||AC|cos<AB,AC>=«X2Xcos-^—=-V5T

•••AB-BC=AB-(AC-AB)=AB-AC-|AB|2=-V5-5-

故选：A.

【点评】本题主要考查向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题.

5.（2022春•邻水县校级期中）已知两点A（1,2,3）,B（2,1,2）,PCl,1,2）点Q在直线。尸上运

动，则当QA：Q也取得最小值时,。点的坐标_伐，A3.\_.

—333

【分析】可先设Q（X,y,z）,由点。在直线。户上可得。（入，入，2人），则由向量的数量积的坐标表示可

求而而，然后根据二次函数的性质可求，取得最小值时的入，进而可求。点的坐标.

【解答】解：设QG,y,z）

（1,2,3）,（2,I,2）,P（1,1,2）,

则由点Q在直线OP上可得存在实数人使得OQ=X0P=（A,入，2人）

则Q（入,入，2人）

QA=（1-入，2-入，3-2人），瓦=（2-A）1-入，2-2入）

•*-QA»QB=（1-A）（2-A）+（2-A）（1-A）+（3-2A）（2-2入）=2（3入2-8人+5）

根据二次函数的性质可得当人=匡时，取得最小值-2此时Q点的坐标为：（国，里，区）

33333

故答案为：（里，A,1）

333

【点评】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，其中根据空间向量数量积的坐标运算公式，求出

赢•瓦的表达式，进而将问题转化为一个二次函数最值问题，是解答本题的关键.

6.（2022春•连云港期中）已知空间三点4（-2,0,2）,B（-1,1,2）,C（-3,0,4）,设彳=标，b

=AC>

（i）求之和E夹角的余弦值；

（2）设|cl=3,c〃BC，求c的坐标.

【分析】（1）利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出；

_'x=-2入

（2）设3=（x,»z）,由于|3=3二〃箴，可得Jx2+y2+z2=3,存在实数人使得3=入皮,即,y=-人.

z=2入

【解答】解：（1）VAB=（I，1，0）,AC=（-1，o,2）,

a•b--1+0+0=-1,|al=V2>Ib|—V5>

*-、_=a・b=-]=_V73

，，cos<a,b>KTKT屈IT,

(2)BC=(-2,-1,2).

设c=(x，y，z),

：I3=3,C^BC.

__________jx=-2入

AVx2+y2+z2=3,存在实数人使得3=入前，即,y=-入，

z=2入

\=-2jx=2

y=-ly=l

联立解得y0或

z=2z=-2

X=1X=-1

Ac=±(-2,-1,2).

【点评】本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理、模的计算公式，考查了计算能力，

属于中档题.

四.空间向量的夹角与距离求解公式(共1小题)

7.(2022春•连云港期中)三棱柱ABC-481cl中，M、N分别是48、BICI上的点，且8M=2AiM,CiN

=2BiN.设AB=a，AC=b»AA1=c*

(I)试用Z,芯，3表示向量而；

(II)若NB4C=90°,NR44=NCAA1=6O°,AB=AC=AA\=\,求MN的长.

B

【分析】(I)由图形知而=可+A受；+而司+正小［C；再用Z,b,3表示出来即可•

(H)求MN的长，即求|而|，利用求向量模的方法，求lZ+E+3I即可求得MN的长.

3

【解答】解：(1)由图形知诵=福+人遇；+而5=［西+正小C=

(ID由题设条件

•・.―♦——•.222-♦2-♦--♦-*-♦-*__

,（a+b+c）=a+b+c+2a*b+2b•c+2a•c—1+1+1+0+2X1XIX—+2XIX1X—=5-

•**Ia+b+cI=V5>IMNI=Ia+b+c=I*

【点评】本题考查空间向量的夹角与距离公式，解题的关键是掌握向量加法法则与空间向量求线段长度的

公式，空间向量法求距离是空间向量的一个非常重要的运用.熟练运用公式是解题的知识保证.

五.空间向量基本定理、正交分解及坐标表示（共2小题）

8.（2022春•宁德期中）如图，在平行六面体ABC。-A1B1C1Q1中，M为4Ci,BiDi的交点.若靛=:，

AD=b-AA；=3则向量而=（）

1一•I——l—l-T1一[一一

A.--i-a+—b+cB.—+rC.-—a_—b+cD.—a_—b+c

22a22222

【分析】向量丽=两,百瓦=两卷（或+标），由此能求出结果.

【解答】解：：在平行六面体ABCO-481GO1中，例为4Ci,BiOi的交点.

AB=a，AD=b，AA.=c»

.•.向量而=两,B]D；

.1>•

=BB1号（BA+AD）

=-台亭+3

故选:A.

【点评】本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程

思想，是基础题.

（多选）9.（2022春•连云港期中）给出下列命题，其中正确的有（）

A.空间任意三个向量都可以作为一组基底

B.已知向量W//E，则之、E与任何向量都不能构成空间的一组基底

C.A,B,M,N是空间四点，若以，BM-厮不能构成空间的一组基底，则A,B,M,N共面

D.已知G，b,是空间向量的一组基底，若111=&+。贝iJ｛Z,t,、｝也是空间一组基底

【分析】根据空间向量基底是三个不共面的向量，对选项中的命题真假性判断即可.

【解答】解：对于A，空间中只有不共面的三个向量可以作为一组基底，所以选项A错误；

对于B,由向量W//E，则W、E与任何向量都是共面向量，所以不能构成空间的一组基底，选项B正确；

对于C,若裾，面j,而不能构成空间的一组基底，则忌，BM.困是共面向量，所以4,B,M,N共面,

选项C正确；

对于力，因为G，b,1｝是空间向量的一组基底，所以二、b>W不共面，所以之、b>W+W也不共面，

即寸，｛a,b,\｝也是空间一组基底，选项。正确.

故选：BCD.

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间基底的定义及性质应用问题，是基础题.

六.向量的数量积判断向量的共线与垂直（共1小题）

10.（2022春•南通期中）设x,y€R,向量彳=（x,1,1），5=（1,y,1）-c=（3,-6,3），且

b4c，则Ia+b1=（）

A.VTOB.3C.4D.2V2

【分析［利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出x,»再由空间向量坐标运算法则求出W+E，

由此能求出|Z+E|.

【解答】解：设X，），6R，向量Z=（X,1,1）,b=（I，y，I），c=（3,-6,3）,

且aJ_c,bIIc>

'3x-6+3=0

•*.<iy1，解得x=l,y--2,

•'-a+b=（1,1，1）+（1,-2,1）=（2,-1,2）,

，la+b|—V4+1+4—3.

故选：B.

【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量平行、向量垂直、空间向量坐标运算法则等基础知识，考查

运算求解能力，属于基础题.

七.直线与平面所成的角（共2小题）

11.（2022春•清远期中）如图，四棱锥P-ABC。的底面ABCZ）是平行四边形，雨，底面ABC。，ZPCD

=90°,PA=AB=AC^2.

（1）证明：AC±CD；

（2）若E是棱尸C的中点，求直线AQ与平面PC。所成的角.

【分析】（1）证明抬_LC£>.PCLCD,推出C£>_L平面3C.即可证明CDJ_AC.

（2）说明NEZM即为直线AO与平面PCD所成的角.通过求解三角形，推出结果即可.

【解答】（1）证明：因为粗，底面ABC。，CDu底面ABC。，所以附，CD

因为NPCQ=90°,所以PCLCD,

又如nPC=P,PA,PCu平面B4C,所以CD_L平面％C.

因为ACu平面％C,所以CQ_L4C.

（2）解：由（1）C£>1_平面用C,AC,AEu平面附C,所以AE_LCD.

因为以=AC=2,E为尸C的中点，所以AELPC

因为PCCCD=C,PC,C£）u平面PCD,所以AE_L平面尸CD,

所以NED4即为直线AD与平面PC。所成的角.

因为以=AB=AC=2,所以,WAC?@2=2^，PC=7AP2+AC2=2V2,

所以AE^PCW^，所以sinNEDA=^"=^^

因为NEDAC（0,—所以/EDA=三，即直线与平面尸8所成的角为三•

266

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，

转化思想以及计算能力，是中档题.

12.（2022春•金水区校级期中）如图，在三棱锥P-A8C中，PAYAB,PA1BC,ABA,BC,P4=2禽，AB

=BC=&,C为线段4c的中点，E为线段PC上一点.

（I）求证：PA1BD；

(II)求证：平面BQEJ_平面以C；

(III)当南〃平面2OE时，求直线E8与平面ABC所成的角.

【分析】(I)由线面垂直的判定和性质，可得证明；

(H)首先推得平面％C,由面面垂直的判定定理，可得证明；

(III)由线面平行的性质定理推得用〃。E,可得。£=向，由线面角的定义可得/EBO为直线EB与平面

ABC所成角，计算可得所求值.

【解答】解：(I)证明：因为南，43,PALBC,而ABCBC=B,

可得以，平面ABC,

又BDu平面ABC,所以E4_LBD；

(II)证明：由BDLPA,

又△ABC为等腰直角三角形，可得BQLAC,

而双CIAC=A,所以8£>_L平面布C,

而B£)u平面尸B。，可得平面BZ)EJ_平面FC；

(III)由以〃平面BDE,以u平面附C,

平面%CA平面。£B=Z)E,所以B4〃OE,

则DE=^PA=-/3,

2

由于以_L平面ABC,可得CE_L平面A8C,

所以NEBD为直线EB与平面A8C所成角.

因为BQ=LC=I,

2

所以tanZ£B£)=M=V3>

BD

所以NEBO=60°.即直线EB与平面ABC所成角为60°.

p

【点评】本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，以及线面角的

求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.

八.二面角的平面角及求法（共9小题）

（多选）13.（2022春♦平湖市校级期中）如图，已知二面角a-/-0的棱/上有A,B两点,Cea,AC±l,

DGp,BDU,若AC=A8=8D=2,CD=26，则（）

A.直线AB与C£）所成角的余弦值为45°

B.二面角a-/-0的大小为60°

C.三棱锥A-8C。的体积为闵3

D.直线8与平面0所成角的正弦值为近

4

【分析】在给定图形中作出直线AB与CD所成角，二面角a-/-0的平面角，直线CD与平面0所成角,

再逐一计算判断即可.

【解答】解：过A作AE〃B£>,且连接CE,DE,如图，

则四边形ABDE是平行四边形，即。E〃AB且NCDE是直线AB与CO所成角或其补角，

因为AC_U,BD±l,则QE_LAE,DE1AC,而AEClAC=A,AE,ACu平面AEC,所以OE_L平面AEC,

CEu平面4EC,所以DE_LC£V.COSNC£)E=21=^=2£2,所以NCDE=45°,故A正确；

CDCD2

因为BQ_U,即AE_U,又AC_L/,则/CAE是二面角a-0的平面角，又CE=DE=2,

因此CE=DE=AC=2,即△ACE是等边三角形，所以NC4E=60°,故2正确；

因。E_L平面AEC,DEu。，则平面0_L平面AEC,在平面AEC内过C作C0_L4E于。，于是得CO_L0,

CO=Y^AC=J^,而SAABD=』AB，B£>=2,VA-BCD=VCABD——CO,S^ABD—2d3.,故C不正确；

2233_

连接。。，因CO，B，则NCO。是直线CO与平面B所成角，sinNCC0=C9=△竺=遮，故。正确；

CD2^/24

故选：ABD.

【点评】本题主要考查直线与直线所成角，线面角和面面角的求法，空间几何体的体积，属于中档题.

14.(2022春•广陵区校级期中)如图，在三棱锥A-BCQ中，△A8C是正三角形，平面A8C,平面8CD,

BD上CD,点、E,尸分别是BC,OC的中点.

(1)证明：平面ACQ_L平面AEF；

(2)若NBCC=60°,点G是线段8。上的动点，问：点G运动到何处时，平面AEG与平面AC。所成的

锐二面角最小.

【分析】(1)由面面垂直可得AE_L平面88,得出C£>_LAE,再由CO_LEF可得CO_L平面AEF,即可得

出平面ACO_L平面AEF；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求出锐二面角的余弦值，当y=0,cos。最大，0最小，即可得出此

时点G为8。的中点.

【解答】解：(1)因为AABC是正三角形，点E是BC中点，所以AE_LBC,

又因为平面ABC_L平面BCD,平面ABCC平面BCQ=BC,AEu平面ABC,

所以AE_L平面BCD,

又因为C£>u平面88,所以CZ)J_AE,

因为点E,尸分别是BC,C£>的中点，所以E尸〃B。，

又因为所以COJ_E凡又因为CDJ_AE,AECEF=E,

AEu平面4EF,EFu平面AEF,所以CQ_L平面AEF,

又因为CCu平面AC。，所以平面ACC_L平面AEF.

(2)在平面BC。中，过点E作EHLBD,垂足为H,

设8C=4,则EA=2«，DF=FC=l,EF=V3.

以丽，EF,直｝为正交基底，建立如图空间直角坐标系E-孙z,

则E(0,0,0),A(0,0,273),C(-l,V3,0),D(l,V3,0),

设G(l,y,O),则血=(o,0,2V3),AD=(1,V3,-2立)，而=(2,0,0),EG=(1»V，。>

设平面AEG的法向量为3=(xi,yj,z，

ni-EA=2V3z1=0

由，------，令yi=7,故肃=(y,-1,0)-

nj-EG=xj+yyt=0

设平面48的法向量为可⑶，y2,Z2>

nZ-CD=2x2=0

由一一厂r，令Z2=l，则E=(0,2,1)，

+=

n2-AD=X2V3y2~2V3z20

设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为6,

则cos8=|cos<n］，n2>|=|?I=—~?

V5Vy+1V5-Vy+1

当y=0,cos。最大，此时锐二面角。最小，

故当点G为BO的中点时，平面4EG与平面ACD所成的锐二面角最小.

【点评】本题主要考查面面垂直的证明，立体几何中的最值与范围问题等知识，属于中等题.

15.(2022春•肥东县期中)在长方体ABCD-4B1CID1中，AB=3,AD=4,A4i=5,点E,尸分别在AAi,

CC1上，HBELABi,BFLBiC.

(1)求证：&£>_L平面BEF：

(2)求平面BEF与平面A41CC所成角的余弦值.

【分析】(1)根据线面垂直的性质和判定可得证；

(2)以。为坐标原点，分以OA,DC,所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由面

面角的空间向量求解方法可得答案.

【解答】(I)证明：长方体ABC£)-48iCi41中，4力_1_平面44818,

又BEu平面A4iBi8,：.ADA.BE,

又BE_LABI,ADQABi^A,...BfLL平面ABiO,

又BiOu平面ABO,：.BELB\D.

同理可证BF1.B\D,

rfnBEHBF=B,BE,8Fu平面8EF,BEF.

(2)解：以。为坐标原点，分以D4,DC,力£>i所在直线为x,)，，z轴建立如图

所示的空间直角坐标系.从而。(0,0,0),A(4,0,0),CCO,3,0),Ai(4,0,5),Bi(4,3,5)

由(1)知，函=(4,3,5)为平面8跖的一个法向量，

设平面A41C1C的法向量为二=(x,y,z)，

则nJ_AC,nlAAfAC=(~4,3,0),AA[=(0,0,5>

AC-n=-4x+3y=0

则—，

AAj-n=5z=0

从而令x=3,则y=4,

可得平面A4C1C的一个法向量为二=(3,4,cos<DB7,=；7=耳乌•,•平面BEF

|DBj|n|25

与平面441CC所成的角的余弦值为空返■.

25

【点评】本题主要考查线面垂直的证明，面面角的计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题.

16.(2022春•霍林郭勒市校级期中)已知在多面体ABCOE中，DE//AB,ACLBC,BC=2AC=4,AB=2DE,

£M=QC且平面£>AC_L平面ABC.

(I)设点尸为线段8c的中点，试证明ERL平面ABC；

(II)若直线BE与平面ABC所成的角为60°,求二面角B-AD-C的余弦值.

【分析】(/)由。。_L4C,得。0_L平面ABC,证明四边形。EFO为平行四边形，.'.EF〃力0,所以EF_L

平面ABC.

(〃)以。为原点，0A所在直线为x轴，过点。与BC平行的直线为y轴，。。所在直线为z轴，建立空

间直角坐标系，求出平面AOC的法向量，和平面AO8的法向量，

利用向量的夹角公式求出即可.

【解答】解：(I)证明：取AC的中点。，连接EF,0F,

由在△D4C中D4=QC,所以。0_LAC,

由平面D4CJ_平面A8C,且交线为AC,得OO_L平面A8C,

因为。尸〃AB,且AB=20凡

XDE//AB,AB=2DE,所以0尸〃DE,S.0F=DE,

.•.四边形。EF。为平行四边形，C.EF//D0,

.，.EF_L平面A8C；

(II)解：由。。1.平面ABC,AC1.BC,

以。为原点，04所在直线为x轴，过点。与BC平行的直线为y轴，0。所在直线为z轴，建立空间直角

坐标系，如图，

则A(1,0,0),C(-1,0,0),B(-1,4,0),

由£•/=□_平面ABC,所以直线BE与平面ABC所成的角为NEBF=60°,

所以。O=EF=BFtan60°=2禽，：.D(0,0,2M),

取平面4DC的法向量i=(0,1,Q),

设平面ADB的法向量三=(x,y,z)，AB=(-2,4,0>AD=(-1,0,

n•AB=0得-2x+4y=0

由.'故W=(2^，«，

-x+2，§z=0

n*AD=0

V3=近,

,*cos<m，n>

1-V12+3+14

故二面角B-AD-C的余弦值为亚.

4

【点评】考查线面垂直的判定，向量法求二面角的余弦值，培养学生的运算能力，中档题.

17.(2022春•荔湾区校级期中)如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和工个圆柱拼接而成，点G为弧而

4

的中点，且C、E、D、G四点共面.

(1)证明：平面平面BCG；

(2)若平面8。尸与平面4BG所成锐二面角的余弦值为求直线。尸与平面AB尸所成角的大小.

5

【分析】(1)连接CE,证明CELLCG.推出BFJ_CG.证明8C_L8F.即可证明平面BCG,然后证明

平面BFOJL平面BCG.

(2)以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设4尸=2,AD=t,求出平面8。尸的一个法向量，

求出平面ABG的一个法向量,利用平面8。产与平面ABG所成的锐二面角的余弦值为求出AD=2.说

5

明/。放就是直线OF与平面A8F所成的角，然后求解即可.

【解答】(1)证明：连接CE,因为NEC£)=N£)CG=45°,所以/ECG=90°,即CE_LCG.

因为BC〃E凡且8C=EF所以四边形8CE尸为平行四边形，所以B尸〃EC,

因此，BFLCG.

因为BC_L平面ABF,BFu平面A8F,所以BC_LBF.

又因为BCCCG=C,所以3口L平面BCG,

又因为8Fu平面8FD,所以平面BFQ_L平面8CG.

(2)解：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AF=2,AD^t,

则A(0,0,0),B(0,2,0),F(2,0,0),D(0,0,f),G(-1,1,t),

于是标=(0,2,0)，AG=(-1,1.t)，FB=(-2,2,0)，FD=(-2,0,t)-

设平面BOF的一个法向量为】=5，y,z)>

,fn*FB=-2x+2y=0

田，

n*FD=-2x+tz=0

令z=2,得W=(t,t,2>

设平面ABG的一个法向量为孟=(x，,y',z')，

m，AB=y'=0

由，

m，AG=-x'+y'+tz=0

——9

nrn_t+2

令z'=l，得\=(t,0,1)cos(m，n

|m||n|72t2+4Vt2+l

由平面BDF与平面ABG所成的锐二面角的余弦值为逗，得t2+2

5V2t2+4Vt2+l5

解得t—2,即AD=2.

因为D4_L平面ABF,所以NO阴就是直线。F与平面AB尸所成的角,

在△AOF中，因为/D4F=90°,AD=AF=2,所以/£＞必=45°,

因此直线。尸与平面A8F所成的角为45°.

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角以及直线与平面所成角的求法，考查空间想

象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.

18.(2022春•黄埔区校级期中)如图，在五面体ABC。所中，面ACEF为矩形，且与面A8CD垂直，ABCD

=90°,AD=CD=^LBC=},DE=^2-

2

(1)证明：AD//BC,

(2)求平面ACE与平面BCE尸所成的锐二面角的余弦值.

【分析】(1)利用线面平行的判定定理可证明4。〃平面EFBC,由线面平行的性质定理即可证明AO〃8C；

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面ACE

与平面BCEF的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【解答】(1)证明：因为面AOEF为矩形，则AO〃EF,

又AZX平面EF8C,EFu平面EFBC,

所以AO〃平面EFBC,

又ACu平面ABCD,平面ABC。C平面EFBC=BC,

所以A£)〃BC；

(2)解：由题意，平面平面ABC。，平面EfADn平面A8C£)=4O,

又EDLAD,EDu平面EFAD,

所以EDLABCD,

由(1)可知，AD//BC,又/BCZ)=90°,贝I]C£>_LAZ),

故E£>,AD,CD两两互相垂直，

以点。为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

则D(0,0,0),A(l,0,0),C(0,1,0),E(0,0,&),F(1,0,&),

所以正=(T,1,0),AE=(-1,0,V2),

CE=(0,-1,V2),EF=(L0,0)(

设平面ACE的法向量为［=(x,y,z>

则付.0,即回丹=0,

n*AE=0I-x+V2z=0

令z=l,贝!Jx=y=&,

故】=(&,五,1)'

设平面BCEF的法向量为％=(a,b,c>

则付g=。,则「bW^c=0,

m-EF=0Ia=0

令c=l,则b::VL

故\=(0,V2,1>

所以b°s<l*%，涌卜五篷二陪

故平面ACE与平面BCEF所成的锐二面角的余弦值为逗.

【点评】本题考查了立体儿何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理和性质定理的应用，二面角的求解,

在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进

行研究，属于中档题.

19.（2022春•临夏县校级期中）如图，在直三棱柱ABC-48ICI中，AC=3,2C=4,AB=5,441=4.

（1）证明：ACIBCi；

（2）求二面角C\-AB-C的余弦值大小.

G为

【分析】(l)根据AC,BC,C。两两垂直，建立如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C-孙z,写

出要用的点的坐标，根据两个向量的数量级等于0,证出两条线段垂直.

(2)根据所给的两个平面的法向量一个可以直接看出另一个设出根据数量级等于0,求出结果，根据两个

平面的法向量所成的角求出两个平面所成的角.

【解答】解；直三棱柱ABC-A181C1,底面三边长AC=3,BC=4,A3=5,

：.AC,BC,CCi两两垂直.

如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系c-wz,则C(0,0,0),A(3,0,0),Cl(0,0,4),B(0,

4,0),Bi(0,4,4).…(2分)

证明：(1)VAC=(-3,0,0),跖=(0,-4,4),

AC*BC^=0,

故AC_LBCr“(4分)

解：(2)平面ABC的一个法向量为7=(0,0,1),

设平面CM8的一个法向量为3=(x,y,z),

雨=(-3,0,4),AB=(-3,4,0),

由付画=0得:r-3X+4z=o...(6分)

n-AB=01-3x+4y=0

令x=4,贝!]z=3,丫=3则口=(4,3,3).…(7分)

故cos<7，n>=.

V3434

所求二面角的大小为arccos^ZR

34

【点评】本题考查直线与平面平行的判断，本题的关键是在平面上找出与直线平行的直线，根据有中点找

中点的方法来解答.

20.(2022春•浙江期中)如图，在三棱柱ABC-4B1C1中，ZBAC=90°，AB=AC=2,AiA=4,4在底

面A8C的射影为BC的中点，。是田。的中点.

(1)证明：Ai£>_L平面A1BC；

(2)求二面角A}-BD-Bi的平面角的余弦值.

【分析】(1)以BC中点。为坐标原点，以OA、OB、。4所在直线分别为x、y、z轴建系，通过

=本•前=0及线面垂直的判定定理即得结论；

(2)所求值即为平面A\BD的法向量与平面B\BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可.

【解答】解：(1)证明：如图，以BC中点。为坐标原点，以04、OB、所在直线分别为x、y、z轴建

系.

则BC=&AC=2&,4O=JAA12T02=1,

易知Ai(0,0,Fi),B(0,&,0),C(0,0),

A(&,0,0),D(-V2.0,V14),Bi(-&,近,774),

豆=(-&，0,0),BD=(-&，-衣，V14).

率=(0,0),BC=(0,-2&,0),西=(0,0,Vl4).

:不•西=8•••Ag°4'

又,.•刀5•皮=0,.\AiOJ_BC,

又♦.•O4inBC=O,...Ai。！.平面AiBC；

（2）设平面4B力的法向量为ir=（x,y,z）,

m*AiD=0得|事x=0

由」

,m*BD=0.-V2x-V2y+'/liz=0

取z=l,得ir=(0,W，1),

设平面81B。的法向量为r）=（x，y，z）,

fn-BpD=0f-V2x-V2y-H/14z=0

田,一，，

n-BD=0-Vl2v=0

取z=i,得益=（V7，0,1）,

/.cos<n，/>=F1!=—尸」—

ImlIni2V2X2V28

又•.•该二面角为钝角，

...二面角Ai-BO-Bi的平面角的余弦值为-工.

8

【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于

中档题.

21.（2022春•金坛区期中）如图，已知正方形ABC。和矩形AC£尸所在的平面互相垂直，AB=&,AF=1,

M是线段EF的中点.

(1)求证：AM〃平面BDE；

(2)求二面角A-DF-B的大小；

(3)试在线段AC上一点P,使得尸产与BC所成的角是60°.

【分析】(1)要证AM〃平面8OE,直线证明直线AM平行平面BOE内的直线OE即可；

(2)在平面4/7)中过A作ASJ_D尸于S,连接BS,说明NBSA是二面角A-。尸-B的平面角，然后求二

面角A-QF-B的大小.

(3)设出线段AC上P点的坐标，由PF与8c所成的角是60°,得到向量夹角的余弦值为工，得到关于f

2

的等式，由此可求得P点的坐标

【解答】解：(1)记AC与80的交点为O,连接OE,

；0、M分别是4C、EF的中点，ACE尸是矩形，

四边形AOEM是平行四边形，

J.AM//OE

：OEu平面BDE,AMC平面BOE,

〃平面BDE

(2)在平面AFQ中过A作ASLLD尸于S,连接BS,

'JAB1.AF,ABA.AD,ADHAF=A,

.,.AB_L平面AZ)凡

.MS是8S在平面尸上的射影，

由三垂线定理得BSLOF

，ZBSA是二面角A-DF-B的平面角

在RtZ!\AS8中，4S=AD"AF=®,AB=42,

DF3

/.tanZASB=V3，ZA5B=60°,

...二面角A-OF-B的大小为60°；

(3)如图设P(f,t,0)(0WWa),

则由=(V2-1,近_t,1),BC=(O，-V2.0)

又：有，前夹角为60。，：.---------|-2啦1|---------=1

V(V2-t)2+(V2-t)2+l*V22

解之得.=返■或r=(舍去)，

22

【点评】本题考查直线与平面平行，二面角的知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题；(1,2

也可以利用空间直角坐标系)

九.确定直线位置的几何要素(共1小题)

22.(2022春•杨浦区校级期中)己知点4(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ox+b(a>0)将△ABC

分割为面积相等的两部分，则人的取值范围是()

A.(0,1)B.(IJ工)C.f1J工1D.「L.1)

ZL,Z2L3,32，

【分析】解法一：先求得直线y=«x+b(a>0)与x轴的交点为M(-上，0),由-tW0可得点M在射线

aa

04上.求出直线和8C的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得②若点M在点O和点A之

_3

间，求得工<匕<工；③若点”在点A的左侧，求得工〉〃>1-亚.再把以上得到的三个匕的范围取并

3232

集，可得结果.

解法二：考查临界位置时对应的6值，综合可得结论.

【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为/.皿.℃=1，

由于直线丫=以+匕(a>0)与x轴的交点为M,0),

a

由直线y=«x+h(«>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，可得6>0,

故-上W0,故点M在射线OA上.

a

设直线y=ax+6和BC的交点为N,则由(k窈+匕可得点7的坐标为(上”，a+b).

\x+y=la+1a+1

①若点M和点A重合，则点N为线段8c的中点，故N(』，-1),

22

把4、N两点的坐标代入直线>=办+6,求得”=匕=」.

3

②若点M在点。和点4之间，此时b>L点N在点B和点C之间，

3

由题意可得三角形NMB的面积等于工，

2

2

即工・MB・y”=工，即上又(1义)・匹也=工，可得——>0,求得h<—,

2yN22kiaa+12l-2b2

故有工</；<▲.

32

③若点M在点A的左侧，则〃<上，由点M的横坐标-电V-1,求得b>a.

3a

设直线)，=«%+/，和AC的交点为P,则由[y-x+b求得点p的坐标为(上空，旦二旦),

(y=x+la-1a-l

此时，由题意可得，三角形C/W的面积等于工，即工•(1-b)・pw-xp尸工，

222

即2(1--I”产工,化简可得2(1-b)2=|"2_]|

2a+1a-l2

由于此时b>a>0,0<«<1,；.2(1-6)2=|/-i|=i"2.

两边开方可得&(1-b)=Ji_a2<l,；.1-匕<」，化简可得心1-1，

_V22

故有1-退_<匕<

23_

再把以上得到的三个匕的范围取并集，可得6的取值范围应是(1平，

故选：B.

由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得(牛)2=微，b=l-与趋于最小.

由于a>0,；.6>1-1•.

2

当a逐渐变大时，b也逐渐变大，

当6=工时，直线经过点(0,.1),再根据直线平分△