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PAGEPAGE119第五章二次型1.二次型=的矩阵表达式=.4.若二次型的秩为2，则应满足什么条件？解二次型的矩阵表达式为因为,所以且，即且.1.求一个正交变换将二次型化为标准形.解二次型的矩阵为，其特征多项式为令，得矩阵的特征值为当时,解方程组，由.得基础解系.当时，解方程，由得基础解系.当时，解方程，由得基础解系.将单位化，得,,于是正交变换为.且标准形为．2.用配方法化下列二次形成标准形并写出所用变换的矩阵：（1）（2）；解（1）先将含有的项配方.=++－++=+++再对后三项中含有的项配方，则有令即所作变换为写成矩阵形式为，变换矩阵为在此变换下二次型化为标准形为（2）对二次型配方，得令即写成矩阵形式为，变换矩阵为在此变换下二次型化为规范形.1.判别下列二次型是否为正定二次型：（1）=；（2）；解（1）二次型的矩阵为.由于，，即的一切顺序主子式都大于零，故此二次型为正定的.（2）二次型的矩阵为,由于，，，故为负定．2.当t为何值时，下列二次型为正定二次型：（1）=；（2）=.解（1）二次型的矩阵为.此二次型正定的充要条件为,=>0,>0，由此解得.（2）二次型的矩阵为.此二次型正定的充要条件为,>0,；由此解得.一.单项选择题1.二次型的矩阵是（）.A.；B.；C.；D.答案：C解因为，所以二次型矩阵为，故答案C正确.3.设均为阶矩阵，且与合同，则（）.A.与相似；B.；C.与有相同的特征值；D.答案：D解因为与合同，所以存在阶可逆矩阵，使得，故故答案D正确.4.设矩阵，则与合同的矩阵是（）.A.；B.；C.；D.答案：A解两矩阵合同时，其正惯性指数相同，且负惯性指数也相同，只有答案A满足题意.故答案A正确.6.对于二次型，其中为阶实对称矩阵，下述各结论中正确的是（）.A.化为标准形的可逆线性变换是唯一的；B.化为规范形的可逆线性变换是唯一的；C.的标准形是唯一的；D.的规范形是唯一的.
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