上海市嘉定区2025届高三数学上学期一模试题含解析

上海市嘉定区2024届高三上学期一模数学试题一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求干脆填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分.1.已知集合，是整数集，则________.【答案】【解析】【分析】先用公式法解肯定值不等式确定集合，再取交集即可.【详解】，故答案为：.2.已知复数，是虚数单位，则的虚部为________.【答案】【解析】【分析】先利用复数的除法法则计算得到，从而求出的虚部.【详解】，故虚部为-1.故答案为：-13.直线与直线的夹角大小为________.【答案】##【解析】【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【详解】因为直线的斜率不存在，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，故直线与直线的夹角为，故答案为：．4.已知，若关于的方程解集为，则的值为_________.【答案】【解析】【分析】结合题意，先令方程等号左右两边的常数项相等，求出，验证后得到答案.【详解】解集为R，先令等号左右两边的常数项相等，即，解得：，将代入方程可得：，解集为R，满意要求.故答案为：25.已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为________.【答案】【解析】【分析】求出圆锥的底面半径，底面周长，结合圆锥侧面积，列出方程，求出圆锥的母线长，由勾股定理求出圆锥的高，得到圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得：，则圆锥底面周长为，设圆锥的母线长为，则，解得：，由勾股定理得：，故圆锥的体积为.故答案为：.6.某果园种植了棵苹果树，随机抽取的棵果树的产量（单位：千克）分别为：242536272832202629302633据此预料，该果园的总产量为_______千克以及第百分位数为_______千克.【答案】①.②.【解析】【分析】先计算样本的平均数，然后再估计整体总产量，找出样本的第八与第九的均值表示第百分位数.【详解】（千克），所以总产量：千克；样本总共有12个数，所以，只需找出第9个数字和第10个数字取平均数即可，从小到大排列后第九个数字为30，第十个数字为32，所以第75百分位数为：31故答案为：2800；31.7.已知常数，在的二项绽开式中，项的系数等于，则_______.【答案】【解析】【分析】首先依据绽开式中存在一项可知，然后依据二项式绽开式的通式结合已知条件列出关于的方程，解方程即可求出参数的值.【详解】依据已知条件是二项式绽开式的某一项，故得.由，令，得.得，依据已知可得，解得，即.故答案为：.8.若函数的值域是，则此函数的定义域为___________．【答案】【解析】【分析】分类探讨分两种状况解不等式即可.【详解】当时，当时，故答案为：9.如图为正六棱柱.其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有______条.【答案】【解析】【分析】作出协助线，得到四点共面，不是异面直线，同理得到与共面，再由，与相交，得到与不是异面直线的面对角线，从而得到与异面的面对角线，求出答案.【详解】连接，因为六边形为正六边形，所以，故，所以四点共面，不是异面直线，同理可得：与共面，不是异面直线，而，又与相交，故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为，其余面对角线均与异面，分别为，共5条.故答案为：510.关于的方程的解集为_________.【答案】【解析】【分析】利用肯定值三角不等式，转化原方程，解不等式得到方程的解集.【详解】由肯定值三角不等式可得：，当且仅当，即时，等号成立，故的解集为.故答案为：.11.在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为_________.【答案】【解析】【分析】先求出和的坐标，再依据投影向量的定义可得答案.【详解】依题意：所以在方向上的投影向量为：故答案为：12.已知抛物线，动点A自原点动身，沿着轴正方向向上匀速运动，速度大小为.过A作轴的垂线交抛物线于点，再过作轴的垂线交轴于点.当A运动至时，点的瞬时速度的大小为___________.【答案】【解析】【分析】依据进行求解.【详解】不妨取点B为第一象限的点，则点C位于x轴正半轴，由可得：，，当当A运动至时，B点的纵坐标为100，将其代入上式，，即点的瞬时速度的大小为.故答案为：二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13.已知，那么“”是“为钝角三角形”的（）A.充分条件但非必要条件 B.必要条件但非充分条件C.充要条件 D.以上皆非【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案.【详解】，即，由余弦定理得：，因为，所以，故为钝角三角形，充分性成立，为钝角三角形，若为钝角，则为锐角，则，必要性不成立，综上：“”是“为钝角三角形”的充分条件但非必要条件.故选：A14.已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（）①开口最为开阔；②的开口比的更为开阔；③和的开口的开阔程度相同.A.只有一个正确 B.只有两个正确 C.均正确 D.均不正确【答案】D【解析】【分析】分别计算出四条双曲线的离心率，依据离心率越大开口更开阔进行比较.【详解】依题意，依次计算出各自的离心率可得：，比较大小知：可知：三个结论均为错误；故选：D15.甲、乙两人弈棋，依据以往总共次的对弈记录，甲取胜次，乙取胜次.两人进行一场五局三胜的竞赛，最终胜者赢得元奖金.第一局、其次局竞赛都是甲胜，现在竞赛因意外中止.鉴于公允，奖金应当分给甲（）A元 B.元 C.元 D.元【答案】C【解析】【分析】我们须要计算出接着竞赛甲获胜的概率依据比例给甲分得奖金.【详解】依题意知：甲乙输赢的概率都是假设竞赛接着，甲只需三场中赢得一场即获得全额奖金，甲获胜的概率（元）故选：C16.中国古代数学家用圆内接正边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值.若据此证明，则正整数至少等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出圆内接正边形的周长，与直径之比与3.14进行比较即可.【详解】如图，圆内接边形，为中点，半径为，圆周率，由计算器可得：故选：C三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必需写出必要的步骤．17.如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，.（1）求证：平面平面；（2）求点A到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明出平面，从而得到面面垂直；（2）等体积法求解点到平面的距离.【小问1详解】因为四棱柱为正四棱柱，所以⊥平面ABCD，且AC⊥BD，因为平面ABCD，所以⊥BD，因为，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】设点A到平面的距离为，AC与BD相交于点O，连接，因为正方形的边长为，，所以，，由三线合一可得：⊥BD，且，由勾股定理得：，所以，故，又，平面故，由，故点A到平面的距离为.18.若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.（1）求和的调和中项；（2）已知调和数列，，，求的通项公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案；（2）依据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出，得到的通项公式.【小问1详解】设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列，所以，解得：，故和的调和中项为；【小问2详解】依题意，是等差数列，设其公差为，则，所以，故.19.李先生属于一年工作天的上班族，安排购置一辆新车用以通勤.大致推断每天早八点从家动身，晚上六点回家，来回总距离为公里.考虑从两款车型中选择其一，款车是燃油车，款车是电动车，售价均为万元.现供应关于两种车型的相关信息：款车的油耗为升/百公里，油价为每升至元.车险费用元/年.购置税为售价的.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里；款车的电耗为度/百公里，电费为每度至元.车险费用元/年.国务院年出台文件，宣布保持免除购置税政策.电池运用寿命为年，更换费用为万元.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里.（1）除了上述了解到的状况，还有哪些因素可能须要考虑?写出这些因素（至少个，不超过个）；（2）为了简化问题，请对相关因素做出合情假设，由此为李先生作出买车的决策，并说明理由.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）李先生要考虑生活中得各类费用以及车身本身的因素，列出几条即可（2）通过数据的分析，得出相关的结论对买款或买款车进行分析.【小问1详解】李先生可能还须要考虑的因素有：1、考虑非通勤时段的车辆运用状况；2、油价和电价的改变；3、工作单位能否供应免费充电；4、电动车的国家减免政策的改变；5、车辆的外观、内饰与品牌效应.6、车牌费用【小问2详解】假设仅考虑通勤时车辆费用，油价和电价保持相对稳定，电动车的免购置税政策保持不变.计算时取价格区间的中位数即电价元/度、油价元/升.车辆费用为车价、能源费用、税费、车险费用、保养费用，并扣除车辆残余价值.运用年数够车费里程数油耗油费车险费用购置税保养费车辆残值总费用130000010000600510040003000020002640007710023000002000012001020080003000040002323201198803300000300001800153001200030000600020444215885843000004000024002040016000300008000179909194491530000050000300025500200003000010000158320227180630000060000360030600240003000012000139321257279730000070000420035700280003000014000122603285097830000080000480040800320003000016000107890310910930000090000540045900360003000018000949443349561030000010000060005100040000300002000083550357450运用年数够车费里程数电耗电费车险费用购置税保养费车辆残值电池更换费总费用1300000100002000130060000100025500005330023000002000040002600120000200021675009985033000003000060003900180000300018423801406634300000400008000520024000040001566020176598530000050000100006500300000500013311202083886300000600001200078003600006000113145100000336655730000070000140009100420000700096173100000361927830000080000160001040048000080008174710000038465393000009000018000117005400009000694851000004052151030000010000020000130006000001000059062100000423938写出至年随意一年中的一组对比数据，例如：款车运用年的总费用为：款车运用年的总费用为：所以，假如李先生准备开年就按二手车卖掉，可以选款车.再写出至年随意一年中的一组对比数据，结论：运用年数不超过年，建议买款车；运用年数超过年，建议买款车.20.如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点.若点分别为曲线的圆心.（1）求的方程；（2）若点分别在上运动，求的最大值，并求出此时点的坐标；（3）若点在曲线上运动，点，求的取值范围.【答案】（1）（2）最大值为6，，（3）【解析】【分析】（1）由圆心的横坐标确定的值，再用可得方程；（2）将运用几何法放缩到过两个半圆的圆心时最大，再依据特别三角形的角度计算出点的坐标；（3）须要分状况探讨，在圆上和在椭圆上分开计算，计算圆锥曲线上一点到某定点的最值问题可以用参数方程计算.【小问1详解】依题意，，所以，于是的方程为【小问2详解】由对称性，不妨设，，，当三点共线，同时三点共线，，此时，.【小问3详解】曲线关于轴对称，不妨设点在曲线或曲线的右半部分上运动.①当点在曲线上运动，设，.，；②当点在曲线上运动，设，.，，综合①②，.【点睛】圆锥曲线的组合曲线的问题，一般都须要采纳分类探讨的方法，与圆有关系的问题一般都考虑几何法优先.21.已知，（1）求函数的导数，并证明：函