2025版新教材高考数学全程一轮总复习第四章三角函数与解三角形第八节正弦余弦定理应用举例学生用书

第八节正弦、余弦定理应用举例【课标标准】会运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．必备学问·夯实双基学问梳理1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的________和目标视线的夹角，目标视线在水平视线________的叫仰角，目标视线在水平视线________的叫俯角，如图(1)所示．2．方位角指从________顺时针转到目标方向线的水平角，如图(2)中B点的方位角为α.3．方向角相对于某正方向的________，如北偏东α，即由正北方向顺时针旋转α到达目标方向，如图(3)，其他方向角类似．4．坡角：坡面与水平面所成的二面角的正切值．夯实双基1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东南方向与南偏东45°方向相同．()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围是[0，π2(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角的大小范围一般是[0，π22．如图，两座灯塔A和B与海洋视察站C的距离相等，灯塔A在视察站C的北偏东40°，灯塔B在视察站的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°3．如图所示，D，C，B三点在地面的同始终线上，DC＝a，从点C，D测得点A的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB等于________．关键实力·题型突破题型一测量距离问题例1[2024·江西景德镇期末]江西浮梁地大物博，山清水秀．据悉某建筑公司在浮梁投资建设玻璃栈道、摩天轮等项目开发旅游产业，考察后觉得当地两座山之间适合建立玻璃栈道，现须要测量两山顶M，N之间的距离供日后施工须要，特请昌飞公司派直升机协助测量，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机测量的数据有在A处视察山顶M，N的俯角为：α1＝60°，β1＝30°，在B处视察山顶M，N的俯角为：α2＝45°，β2＝75°，飞机飞行的距离AB为500m，请问：用以上测得的数据能否计算出两山顶间的距离MN，若能，请帮助该建筑公司求出MN，结果精确到1m，若不能，请说明理由．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732，67≈8.2，2.68≈1.64)题后师说测量距离问题的求解策略巩固训练1[2024·河南南阳模拟]北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46km处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16.28°方向上，在天安门北偏东47.43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为________km.(结果精确到整数)(参考数据：sin16.28°≈0.28，sin47.43°≈0.74，sin31.15°≈0.52)题型二测量高度问题例2[2024·辽宁朝阳期末]大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们相识商丘、走进商丘的欲望．吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的学问测量一下该雕塑的高度(即图中线段AB的长度)．他在该雕塑塔的正东C处沿着南偏西60°的方向前进72米后达到D处(A，C，D三点在同一个水平面内)，测得图中线段AB在东北方向，且测得点B的仰角为71.565°，则该雕塑的高度大约是(参考数据：tan71.565°≈3)()A．19米B．20米C．21米D．22米题后师说测量物体高度的求解策略高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个三角形中，运用正、余弦定理或共他相关学问求出该高度．巩固训练2[2024·湖北襄阳五中月考]如图为2024年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点P距地面的距离，小明同学在场馆内的点A测得P的仰角为30°，∠ABO＝120°，∠BAO＝30°，AB＝60(单位：m)，(点A，B，O在同一水平地面上)，则大跳台最高高度OP＝()A．45mB．452mC．60mD．603m题型三测量角度问题例3[2024·山东东营期末]如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯塔底部C在北偏东15°方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯塔底部C在北偏东60°方向上，测得塔顶P的仰角为60°，已知灯塔高为23km.(1)求巡逻船的航行速度；(2)若该船接着航行10分钟到达D处，问此时灯塔底部C位于D处的南偏东什么方向？题后师说角度问题的解题方法首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再依据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要留意体会正、余弦定理“联袂”运用的优点．巩固训练3[2024·河北保定期末]一艘船航行到点A处时，测得灯塔C与其相距30海里，如图所示．随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点B，测得灯塔C在其北偏东25°方向，则sin∠ACB＝()A．23sin70°B．2C．32cos70°D．第八节正弦、余弦定理应用举例必备学问·夯实双基学问梳理1．水平视线上方下方2．正北方向3．水平角夯实双基1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：视察可知∠ACB＝90°－40°＋90°－60°＝80°，∵AC＝BC，∴∠CBA＝50°，依据平行线的性质可知∠CBD＝60°，∴∠ABD＝10°，∴灯塔A在灯塔B北偏西10°.故选B.答案：B3．解析：由三角形的外角和定理可知：∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，∴AC＝CD＝a，在Rt△ABC中，AB＝AC·sin60°＝32aA点离地面的高度AB等于32a答案：32关键实力·题型突破例1解析：在△AMB中，由正弦定理得AM＝500sinα2sinα在△ABN中，由正弦定理得AN＝500sinβ2sinβ在△AMN中，由余弦定理得MN＝AM＝5005-52巩固训练1解析：如图，由题意可得AC＝46km，∠ACB＝16.28°，∠BAC＝132.57°，由正弦定理可得BCsin∠BAC＝ACsin∠解得BC＝46sin31.15°答案：65例2解析：在△ACD中，∠CAD＝135°，∠ACD＝30°，CD＝72，由正弦定理ADsin∠ACD所以AD＝CD×在Rt△ABD中，∠BDA＝71.565°，所以AB＝AD×tan71.565°≈7×3＝21(米)．故选C.答案：C巩固训练2解析：在△ABO中，∠ABO＝120°，∠BAO＝30°，所以∠AOB＝30°，又AB＝60，由正弦定理可得，ABsin∠AOBAO＝ABsin∠ABOsin∠在Rt△APO中，tan30°＝OPAO＝OP603所以OP＝60(m)．故选C.答案：C例3解析：(1)在Rt△BCP中，tan∠PBC＝PCBC，故BC在△ABC中，∠BCA＝180°－15°－120°＝45°，由正弦定理得BCsin∠BAC＝ABsin∠从A到B共花20分钟，故巡逻船的航行速度v＝6(3＋1)km/h.(2)在△BCD中，BC＝2，BD＝3＋1，∠DBC＝60°，由余弦定