高考总复习优化设计二轮用书数学(新高考)2.复数、平面向量

2.复数、平面向量1.(2023全国乙,文1)|2+i2+2i3|=()A.1 B.2 C.5 D.52.(2023广东广州二模)若a为实数,且7+ai3+i=2-i,则a=A.2 B.1 C.-1 D.-23.(2023新高考Ⅰ,2)已知z=1-i2+2i,则z-z=A.-i B.i C.0 D.14.(2023广东佛山二模)已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为()A.(1,4) B.(1,5) C.(2,4) D.(2,5)5.(2022新高考Ⅰ,3)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=()A.3m-2n B.-2m+3nC.3m+2n D.2m+3n6.(2022全国乙,理3)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则a·b=()A.-2 B.-1 C.1 D.27.(2023湖南郴州三模)若1+iz=2-i(其中i为虚数单位),则z在复平面上所对应的点在(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8.(2023新高考Ⅰ,3)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则()A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1C.λμ=1 D.λμ=-19.(2023河北邯郸一模)已知复数z是方程x2+4x+5=0的一个根,且复数z在复平面内对应的点位于第三象限,则z=()A.2-i B.2+i C.-2-i D.-2+i10.(多选题)(2023山东济南一模)已知平面向量a=(1,3),b=(-2,1),则()A.|a|=10B.(2a-b)⊥bC.向量a与b的夹角为钝角D.a在b上的投影向量的模为511.(多选题)(2023山东潍坊二模)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2+px+2=0的两根为x1,x2,其中x1=1+i,则()A.p=2 B.x2=1-iC.x1·x2=-2i D.x112.(2023广东一模)在复平面内,已知复数z满足|z-1|=|z+i|(i为虚数单位),记z0=2+i对应的点为点Z0,z对应的点为点Z,则点Z0与点Z之间距离的最小值为()A.22 B.2 C.322 D13.(多选题)(2023江苏南京、盐城一模)已知z为复数,设z,z,iz在复平面上对应的点分别为A,B,C,其中O为坐标原点,则()A.|OA|=|OB| BC.|AC|=|BC| D.O14.(2023广东深圳二模)已知△OAB中,OC=CA,OD=2DB,AD与BC相交于点M,OM=xOA+yOB,则有序数对A.12,1C.12,115.(2023全国乙,理12)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点,若|PO|=2,则PA·PD的最大值为(A.12+22 B.12+2 C.116.(多选题)(2023广东实验中学模拟)“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理,它包含三个结论,其中一个是相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.如图,已知圆O的半径为2,点P是圆O内的定点,且OP=2,弦AC,BD均过点P,则下列说法正确的是()A.PA·B.OA·OCC.当AC⊥BD时,AB·D.当AC⊥BD时,|AC|·|BD|的最大值为1217.(2023新高考Ⅱ,13)已知向量a,b满足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,则|b|=.

18.(2023湖南株洲模拟)若z=2+mi1-2i为纯虚数,则复数19.(2023山东青岛一模)已知O(0,0),A(1,2),B(3,-1),若向量m∥OA,且m与OB的夹角为钝角,写出一个满足条件的m的坐标为20.(2023江苏常州模拟)如图所示,边长为2的等边三角形ABC,以BC的中点O为圆心,BC为直径在点A的另一侧作半圆弧BC,点P在圆弧上运动,则AB·AP的取值范围为

2.复数、平面向量1.C解析|2+i2+2i3|=|2-1-2i|=|1-2i|=12+(-22.C解析由题意得a=(2-i3.A解析∵z=1-i2+2i=(1-i)22(1+i)(1-i)=(1-4.B解析因为A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),所以由平行四边形可得DC=AB=(4,1),设D(x,y),则(5-x,6-y)=(4,1),即5-x=4,6-y=1,所以x=1,y=5,即D的坐标为5.B解析如图.∵BD=2DA,∴AB=3AD,∴CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(CD又CA=m,CD=n,∴CB=-2m+3n.故选B.6.C解析由已知得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=1+12-4a·b=9,解得a·b=1.7.D解析因为1+iz=2-i,所以z=1+i2-i故z在复平面上所对应的点为15,-38.D解析(方法一)由题意,得a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,解得λμ=-1.故选D.(方法二)由题意,得a2=12+12=2,b2=12+(-1)2=2,a·b=1×1+1×(-1)=0.∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(a+λb)·(a+μb)=a2+(λ+μ)a·b+λμb2=2+0+2λμ=0.解得λμ=-1.故选D.9.D解析由题可得,复数范围内方程x2+4x+5=0的根为x=-2±i.因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限,所以z=-2-i,则z=-2+i.10.AD解析|a|=12+32=2a-b=(2,6)-(-2,1)=(4,5),故(2a-b)·b=(4,5)·(-2,1)=-8+5=-3≠0,故2a-b与b不垂直,故B错误;cos<a,b>=a·b|a||b|=(1,3a在b上的投影向量的模为|a·b||b|=11.BD解析因为x1=1+i且实系数一元二次方程x2+px+2=0的两根为x1,x2,所以x1x2=2,可得x2=2x1=21+i=1-又x1+x2=1+i+1-i=2=-p,所以p=-2,故A错误;由x2=1+i,所以x1·x2=(1+i)2=2i≠-2i,故Cx1x2=1+i1-i=(12.C解析由题可得,z0=2+i对应的点为Z0(2,1).设z=x+yi(x,y∈R),代入到|z-1|=|z+i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y+1)i|,即(x整理得y=-x,即点Z在直线y=-x上,所以点Z0(2,1)与点Z(x,y)之间的距离的最小值即Z0(2,1)到直线x+y=0的距离d,由点到直线的距离公式可得d=|2+1所以点Z0与点Z之间距离的最小值为3213.AB解析设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,iz=i(a+bi)=-b+ai,∴A(a,b),B(a,-b),C(-b,a),故OA=(a,b),OB=(a,-b),OC=(-b,a),AC=(-b-a,a-b),BC=(-b-a,对于A,∵|OA|=a2+b2,|OB|=a2+(-b)2对于B,∵OA·OC=a(-b)+ba=0,∴OA对于C,|AC|=(-b-a)2+当ab≠0时,|AC|≠|BC|,故选项C错误;对于D,∵a(a-b)-(-b)(-b-a)=a2-2ab-b2,a2-2ab-b2不一定为0,∴OB不一定平行于AC,故选项D错误.故选AB14.D解析由已知得OC依题意A,M,D三点共线,故AM=λAD,所以OM=OA+AM=OA+λAD=OA+λ(OD-OA)=OA+λ23OB-OA=2λ3OB+(1-λ)OA.又C,M,B三点共线,故CM=μCB,又OM=xOA+yOB所以有序数对(x,y)=1415.A解析设∠DPO=α,由题可知α∈0,∵|OP|=2,|OA|=1,∴∠OPA=∴|PD|=|PO|cosα=2cosα图1当PD,PA在PO两侧时,如图1,PA·PD=|PA||PD|cos(α+π4)=2cosαcos(α+π4)=2cosα(22cos=cos2α-sinαcosα=1+cos2α2-12sin2α=-22sin(2α-π4)+∴-π4≤2α-π4<π4,∴-22≤sin(2α∴0<-22sin(2α-π4)+12≤1,∴0<PA图2当PD,PA在PO同侧时,如图2,PA·PD=|PA||PD|cos(α-π4)=2cosαcos(α-π4)=cos2α+=1+cos2α2+12sin2α=22sin(2α+π4)+12.∵α∈0,∴22≤sin(2α+π4)≤1,∴1≤综上,PA·PD最大值为2+1216.ACD解析如图,连接PO,OC,OA.设直线PO与圆O交于点E,F,则PA·PC=-|PA||PC|=-|EP||PF|=-(|OE|-|PO|)(|OE|+|PO|)=|PO|2-|OE取线段AC的中点为M,连接OM,则OA·OC=(OM+MA)·(OM+MC)=(OM-MC)·(OM+MC)=|OM|2-|MC|2=|OM|2-(4-|OM|2)=2|OM|2-4,而0≤|当AC⊥BD时,AB·CD=(AP+PB)·(CP+PD)=AP·CP+PB·PD=-|AP||CP|-|PB||PD当AC⊥BD时,圆O半径r=2,取AC中点为M,BD中点为N,则|AC|2|BD|2=4(r2-|OM|2)·4(r2-|ON|2)≤16(4-|OM|2+4-|ON|2)24=4[8-(|OM|2+|ON|2)]=4(8-|OP|2)=4×(8-2)2=144,当且仅当|OM|故选ACD.17.3解析由|a-b|=3,得a2-2a·b+b2=3,即2a·b=a2+b2-3①.又由|a+b|=|2a-b|,得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,即3a2-6a·b=0,即2a·b=a2,代入①,得a2=a2+b2-3,整理,得b2=3,所以|b|=3.18.1解析由题得,z=2+mi因为z为纯虚数,所以2-2m=0,且4+m≠0,解得m=1,则z=i,所以虚部为1.19.(-1,-2)(答案不唯一)解析根据题意可得,OA=(1,2),OB=(3,设m=(x,y),因为向量m∥OA,且m与OB所