全国初中数学竞赛预赛试题

全国初中数学竞赛初赛试题(一)

一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)

1.要使方程组的解是一对异号的数，则。的取值范围是()

2x+3y=2

444

(A)—<a<3(B)a<—(C)a>3(D)a>3^a<—

333

2.一块含有30。角的直角三角形(如图)，它的斜边AB=8cm,

里面空心ADEF的各边与AA5C的对应边平行，且各对应边的

距离都是1cm,那么ADEF的周长是()

(A)5cm(B)6cm(C)(6-73)cm(D)(3+百)cm

3.将长为15cm的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边,

则不同的截法有()

(A)5种(B)6种(C)7种(D)8种

4.作抛物线A关于x轴对称的抛物线B,再将抛物线B向左平移2个单位，向

上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2(x+l/—1,则抛物线

A所对应的函数表达式是()

(A)j=-2(x+3)2-2(B)y=-2(x+3)2+2

(C)y=-2(x-l)2-2(D)y=-2(x+3)2+2

5.书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两

册，恰好组成一套教材的概率是()A

(A)j(B)|(C)|(D)|

6.如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG的顶点处，卜/t

现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第左次

依次移动左个顶点。如第一次移动1个顶点，棋子停在E

(第6题)

顶点B处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D。依

这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是()

(A)C,E,F(B)C,E,G(C)C,E(D)E,F.

7.一元二次方程ax2+/>x+c=0（a，0）中，若a,〃都是偶数，C是奇数，则这个

方程（）

（A）有整数根（B）没有整数根（C）没有有理数根（D）没有实数根

8.如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形,

那么在由4x5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案个数是

（）

（A）16（B）32（C）48（D）64

二、填空题：（共有6个小题，每小题5分，满分30分）

9.已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm,那么以两直角边为直径的两

圆公共弦的长为cm.

10.将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列，处于最中间位置的数（当数

据的个数是奇数时），或最中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这

组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数

之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小

12.设直线？=区+左一1和直线y=（左+l）x+左（左是正整

数）及X轴围成的三角形面积为sk,则S1+$2+$3…+$2006的值是

13.如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是口

E

2和3,且点B、C、G在同一直线上，M是线段AE的

A厂

中点，连结MF,则MF的长为__________o

14.边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为

1;2的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的BCG

（第13题）

三角形的面积是______________0

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分）

15.(12分)已知a,Z>,c都是整数，且a-28=4,aZ>+c2-1=0,求a+Z>+c的值。

16.做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售

出A,B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，

甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36

元。某日王老板进货A款式服装35件，B款式服装25件。怎样分配给每

个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺毛利润不小于950元的前提下，王

老板获取的总毛利润最大？最大的总毛利润是多少？

17.如图所示，<30沿着凸n边形AiA2A3…AiAn的外侧(圆和边相切)作无

滑动的滚动一周回到原来的位置。

(1)当。O和凸n边形的周长相等时，证明。O自身转动了两圈；

(2)当。O的周长是，凸n边形的周长是时，请写明此时。O自身转动的圈

数。

18.已知二次函数y=/+2(加+》/+1。

(1)随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如

果是，请求出该抛物线的表达式；如果不是，请说明理由；

(2)如果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2(m+l)x-m+1图象的顶点

P,求此时m的值。

全国初中数学竞赛初赛试题(一)参考答案

一、选择题

1.答案D

3d—4

解：解方程组，得,5要使方程组的解是一对异号的数,

6—2〃

3ci—4<0p3d-4>04、

只需＜6-2八。或,即〃<—或Q>3

6-2a<03

2.答案B

解：连结BE,分别过E,F作AC的平行线BC于点

M和N,则EM=1,BM=百，MN=4-6一1=3-百

二小三角形的周长是MN+2MN+V3MN=6cm

3.答案C

解：能组成三角形的只有(1,7,7)、(2,6,7)、(3,5,7)、(3,6,6)、

(4,4,7)、(4,5,6)、(5,5,5)七种

4.答案：D

解：将抛物线C再变回到抛物线A：即将抛物线y=2(x+l)2-l向下平移1个

单位，再向右平移2个单位，得到抛物线y=2(x-l)2-2,而抛物线y=2(x-l)2-2

关于x轴对称的抛物线是y=-2(x-l)，2

5.答案：A

解：四册教材任取两册共有6种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有

4种不同的取法，故所求概率是34=3?

6.答案：A

解：经实验或按下方法可求得顶点C,E和F棋子不可能停到

设顶点A,B,C,D,E,F,G分别是第0,1,2,3,4,5,6格，因棋

子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=：左伏+1),应停在第

:左(左+1)—7p格，这是P是整数，且使0忘g左(上+1)-7“46,分别取k=l,

(第6题)

2,3,4,5,6,7时，夕伏+1）—7p=l,3,6,3,1,0,0,发现第2,4,

5格没有停棋，若7<k10,设k=7+t（t=l,2,3）代入可得，

^k（k+l）-7p=7m+^t（t+l）,由此可知，停棋的情形与k=t时相同，故第

2,4,5格没有停棋，即顶点C,E和F棋子不可能停到。

7.答案B

解：假设有整数根，不妨设它的根是2k或2k+l（k为整数），分别代入原方

程得方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除A；若a,b,c分别取4,

8,3则排除C,D

8.答案C

解：每个2义2小方格图形有4种不同的画法，而位置不同

的2X2小方格图形共有12个，故画出不同位置的L形图

形案个数是12X4=48

（第8题）

二、填空题

17

9.答案：y

解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高（设为h）,则5h=3X4,h=—

10.答案：35%或65%（答对一个给3分）

解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于

中位数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占

这100个数据的百分比是35%或65%

11.答案：Vio

解：不难验证，a2=b2+c2,所以aABC是直角三角形，其中a是斜边。

,.,■,bcc~+b2a~

bsinBD+csinCn=Z?«—+c«—=------=—=a=<10

aaaa

1003

12.答案:

2007

解:方程组［I］富二的解为RI直线的交点是T⑴

小、

直线y=kx+k-l,y=（左+1）%+左与无轴的交点分别是

1-k-k_J_j_1

Sk,所以

k1+1-2IT+T

11

S1+S2+S3+…+S20061--

4-22334"20062007

11003

20072007

13.答案：—

2

解：连结DM并延长交EF于N,则△ADMgA

ENM,

FN=1,则FM是等腰直角4DFN的底边上的（第13题）

高'所以FM=1

14.答案：孚

解:设这个等腰三角形的腰为x,底为y,分为的两部分边长分别为n和

2n,得

XxcIn4n

x+—=nx+—=2nx=——x=——

2或2解得<3或3

X.X5nn

-+y=2n;一+y=〃y=­y=—

12J33

・・c2n5n

・2x——<——（此时不能构成三角形,舍去）

33

4〃

x=——

二.取＜3其中n是3的倍数

n

y=—

3

三角形的面积SA=LX^X对于丛"

23

SA=等取最小

当n20时，S△随着n的增大而增大，故当n=3时,

三、解答题

15.解：将a=4+2b代入ab+c2T=0,得2b2+曲+(?-1=0,

.,-2±V6-2c2

.•b=----------

2

•••b,C都是整数，.♦.只能取F="2=\『二2卜=,

q=i匕=t心=1&=t

相对应ai=4,a2=4,a3=0,a4=0

故所求a+b+c的值有4个：5,3,-1,-3

16.解：设分配给甲店铺A款式服装x件(x取整数，且5WxW30),则分配给

甲店铺B款装(30-x)件，分配给乙店铺A款服装(35-x)件，分配给乙店铺B

款式服装[25-(30-x)]=(x-5)件，总毛利润(设为y总)为：

Y总=30x+40(30-x)+27(35-x)+36(x-5)=-x+1965

乙店铺的毛利润(设为y乙)应满足：

Y乙=27(35-x)+36(x-5)N950,得x220』

9

对于y总=-x+1965,y随着x的增大而减小，要使y总最大，x必须取最小值，

又x220』，故取x=21,即分配给甲店铺A、B两种款式服装分别为21件和9件，

9

分配给乙店铺A,B两种款式服装分别为14件和16件，此时既保证了乙店铺获

毛利润不小于950元，又保证了在此前提下王老板获取的总毛利润最大，

最大的总毛利润为y总最大=—21+1965=1944(元)

的切线，OO滚动经过端点Ai后到。(F的位置，此时A1A2是。(T的切线，因

此OALAnAi,CTAJA1A2,当。O转动至。(F时，则NY就是。O自身转动

的角。

VZY+Z0=9O°,Za+ZP=90°,AZy+Za,即。0滚动经过顶点Al自

身转动的角度恰好等于顶点A1的一个外角。对于顶点是锐角或直角的情况，类

似可证(注：只证明直角的情况)

•.•凸n边形的外角和为360°

二00滚动经过n个顶点自身又转动一圈

.I.00自身转动的圈数是(9+1)圈

a

18.解：(1)该二次函数图象的顶点P是在某条抛物线上，求该抛物线的函数

表达式如下：

利用配方，#y=(x+m+1)2-m2-3m,顶点坐标是P(-m-1,-n]2-3m)

方法一：分别取1,得到三个顶点坐标是Pi(-L,O)、Pz(0,2)、P3C2,-4),

过这三个顶点的二次函数的表达式是y=-x2+x+2

将顶点坐标P(-mT,-m2-3m)代入y=-x2+x+2的左右两边，左边=-m2-3m,右边

=-(-mT)2+(-mT)+2=-m2-3m,.,.左边=右边，即无论m取何值，顶点P都在抛物

线y=-x?+x+2上，即所求抛物线的函数表达式是y=-x?+x+2(注：如果没有“左

边=右边”的证明，那么解法一最多只能得4分)

方法二：令将m=-x-l代入-mYm,得

-(-x-1)Y(-x-1)=-X2+X+2

即所求抛物线的函数表达式是y=-x2+x+2上

(2)如果顶点P(-m-l,-m2-3m)在直线y=x+l上，贝！J-m2-3m=-m-l+l,

即m2=-2mm=0或m=-2

/.当直线y=x+l经过二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1图象的顶点P时，m的值是-2

或0

全国初中数学竞赛预赛(二)

一、选择题(本题共8小题，每小题6分，满分48分)：下面各题给出的

选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内.

1.化简(工-工)+粤^得()

x+yy-xx-y

D4

444

2x-l5-3x

---------+1>x-------------

2.满足不等式组32的所有整数的个数为（）

xcx-1

—<3+

[53

A.1B.2C.21D.22

3.两个相似三角形，他们的周长分别是36和12.周长较大的三角形的最大

边为15,周长较小的三角形的最小边为3,则周长较大的三角形的面积是（）

A.52B.54C.56D.58

4.由一元二次方程x2+px+q=0的两个根为p、q,则p、q等于()

A.0B.1C.1或-2D.0或1

5.如图，ZiABC中，NB=40°,AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,且

ZEAB：NCAE=3：1,则NC等于

A.28°B.25°

C.22.5°D.20°

E

6.全班有70%的学生参加生物小组,75%的学生参加化学小组，85%的学生

参加物理小组，90%的学生参加数学小组,则四个小组去参加的学生至少占全班

的百分比是

()

A.10%B.15%C.20%D.25%

7.有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满,

这是桶中纯农药与水的容积之比为3:5,则桶的容积为()

A.30升B.40升0.50升D.60升

8.三角形的三条外角平分线所在直线相交

构成的三角形()

A.一定是锐角三角形

B.一定是钝角三角形

C.一定是直角三角形

D.与原三角形相似

二、填空题（本提供4小题，每小题8分，

满分32分）：将答案直接填在对应题中的横线上

9.如图，在4ABC中，AB=AC,AD±BC,CG/7AB,BGA

分别交AD.AC于E,F.若嘉

于

10.方程||x-3|+3x|=1的解是

11.AD、BE、CF是△ABC的三条中线，若

BC—3,CA—b,AB—c,

贝IjAD2+BE2+CF2=.

12.有两个二位数，它们的差是58,它们的平方数的末两位数相同,则这

个二位数是.

三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）

13.AABC中，AB=1,AC=2,D是BC中点，AE平分NBAC交BC于E,且DF〃AE.

求CF的长.A/Z匚

14.某建筑公司承包了两项工程，分别由两个工程队施工，根据工程进度情况,

建筑公司可随时调整两队的人数，如果从甲队调70人到乙队，则乙队人数为甲

队人数的2倍，如果从乙队调若干人去甲队，则甲队人数为乙队人数的3倍，

问甲队至少有多少人？

15.把数字1,2,3,9分别填入右图的9个圈内，要求三角形ABC和三角

形DEF的每条边上三个圈内数位之和等于18.A

I给出符合要求的填法Q

II共有多少种不同填法？证明你的结论

参考答案（二）

一、选择题DCBCACBA

GFCFAB-AFAB,b-a

------------=--------1=-------

BFAFAFAFa

GF=(BE+EF)=(BE+-BE)I"

b-a+ab

BE-BEBE

3

10.-2或-111.-(a-+b-+c2)12.79和21

三、解答题

13.解：分别过E作EH_LAB于H,EGLAC于G,因AE平分NBAC,所以有EH=EG

BE=S.=ABJ

从而有

CE--AC-5

r-L用CFCD1BC1BE+EC1H113

又由DF〃AE,得一=—=----=---------(+1)=(+1)=

CACE2CE2CE2CE224

333

所以CF=-xCA=-x2=-

442

14.解：设甲队有x人，则乙队有［2(x-70)-70］人,即乙队有(2x-210)人

设从乙队调y人去甲队，甲队人数为乙队人数的3倍，则

3(2x-210-y)=x+y,

即x=126+gy

由y>0知y至少为5,即x=126+4=130.所以甲队至少有130人.

15.解：I右图给出了一个符合要求的填法;II共有6种不同填法

把填入A,B,C三处圈内的三个

数之和记为x；D,E,F三处圈内的三个

数之和记为y；其余三个圈所填的数位

之和为z.显然有x+y+z=1+2+…+9=45

①

图中六条边，每条边上三个圈中之数

的和为18,所以有

z+3y+2x=6X18=108②

②-①，得

X+2y=108-45=63③

把AB,BC,CA每一边上三个圈中的数的

F

和相加，则可得

2x+y=3X18=54④

联立③，④，解得x=15,y=24,继而之z=6.

在1,2,3,9中三个数之和为24的仅为7,8,9,所以在D,E,F三处圈内，

只能填7,8,9三个数，共有6种不同填法.显然，当这三个圈中指数一旦确定,

根据题目要求，其余六个圈内指数也随之确定，从而的结论，共有6种不同的

填

全国初中数学竞赛试题(三)参考答案

一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了

代号为A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确

选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分)

1.在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并

且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次

同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是()

(A)36(B)37(C)55(D)90

答：C.

解：因为4和9的最小公倍数为36,19+36=55,所以第二次同时经过这两

种设施的千米数是在55千米处.

故选C.

2.已知用=1+逝"，n=l—V2,且(7"?2—14m+01)(3〃2—672-7)=8,贝(Ja

的值等于()

(A)-5(B)5(C)-9(D)9

答：C.

解：由已知可得加?一2机=1,n~-2n=l.又

(7"/-14机+”)(3〃2-6〃-7)=8,所以(7+a)(3-7)=8解得a=-9

故选C.

3.RtaABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y=V上，并且斜边AB平

行于x轴.若斜边上的高为h,则()

(A)h<l(B)h=l(C)l<h<2(D)h>2

答：B.

解：设点A的坐标为(a,a?),点C的坐标为(c,c2)(|c|<|a|),则点B

的坐标为

(-a,a2),由勾股定理，得AC2=(c—q)2+(c2一。2尸，

BC2=(c+a)2+(c2-a2)2,AC~+BC2=AB2

所以(«2-c2)2=«2-c2.

由于/>02,所以a?—c2=l,故斜边AB上高h=a?-c?=l

故选B.

4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；

拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的

三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……

如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数

是()

(A)2004(B)2005(C)2006(D)2007

答：B.

解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使

得各部分的内角和增加360。.于是，剪过k次后，可得(k+1)个多边形，这些

多边形的内角和为(k+l)X360。.

因为这(k+1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34X(62-

2)X180°=34X60X180°,其余多边形有(k+1)—34=k—33(个)，而这些多边

形的内角和不少于(k—33)X180°.所以(k+1)X360°234X60X180°+(k

-33)X180°,解得k22005.

当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论.先从正方形上

剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，

得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和

1个六十二边形.再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三

角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，

便34个六十二边形和33X58个三角形.于是共剪了

58+33+33X58=2005(刀).

故选B.

5.如图，正方形ABCD内接于。O,点P在劣弧AB上，连结DP,交AC

于点Q.若QP=QO,则空的值为()八/

QA%----------------

(A)273-1/\/\

(B)2百

(C)73+V2

P

(D)V3+2(第5题图)

答：D.

解：如图，设。O的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r.

QA=r—m./卜、

在。O中，根据相交弦定理，得QA•QC=QP•Qi/\

(第5题图)

y-yyy

即(r—m)(r+m)=m•QD,所以QD=---------.

m

连结DO,由勾股定理，#QD2=DO2+QO2,

(2_2rz

即—-----=r2+m2,解得机二—r

、mJ3

r+mV3+1

所以,QC=V3+2

QAr—mV3-1

故选D.

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6.已知a,b,c为整数，且a+b=2006,c—a=2005.若a〈b,则a+b+c

的最大值为.

答：5013.

解：由。+/?=2006,c-a=2005,得a+b+c=a+4011.

因为a+6=2006,a<b,a为整数，所以，a的最大值为1002.

于是，a+b+c的最大值为5013.

7.如图，面积为的正方形DEFG内接于

面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c为整数，

且b不能被任何质数的平方整除，则宁的值

b

等于.

（第7题图）

出20

答「

解:设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长为m,则川

由△ADGSAABC,可得±=解得x=（2/一3）机

m

于是X2=(2A/3-3)2m2=2873-48,

由题意，＜7=28,b=3,c=48,所以—-=

b3

8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A、C两

点同时出发，沿A-B-C-D-E-A-…方向绕广场行走，甲的速度为50米/

分，乙的速度为46米/分.那么出发后经过分钟，甲、乙两人第一次行

走在同一条边上.

答：104.

解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时

400r

甲走了400x米，乙走了46X^^=368x米.于是368(x-1)+800-400(x-

1)>400,

400y13

所以，12.5^x<13.5.故x=13,此时/=------=104.

50

229

9.已知0<a<l,且满足a+—+ci-\----+…+ci~\----=18,贝!|[10旬的

3030

值等于.(同表示不超过x的最大整数)

答：6.

122912

解：因为0vaH----vaT------<…<〃H<2,所以aH-----aH-----,

3030303030

。+竺］等于o或1.由题设知，其中有18个等于1,所以

1211121329

aH---—--aH-----aH---=-0-,ClH---—--ClH---=--•••=aH-----

303030303030

所以0<。+口<1,l^a+—<2.

3030

故18W30aV19,于是6W10a〈g,所以［10a］=6.

10.小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码

之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上

数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现，他家两次升位后的电话号码的

八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码

是.

答：282500.

解：设原来电话号码的六位数为Me虑九则经过两次升位后电话号码的八

位数为

2a8bcdef.根据题意，有81Xabcdef=2a8bcdef.

记x=bxl()4+cxl()3+dxl()2+exlO+/,于是

81xaxl05+81x=208xl05+tzxl06+x,

解得x=1250X(208—71a).

因为OWxVlO)所以OW1250X(208—71a)<IO)故」

7171

因为a为整数，所以a=2.于是x=1250X(208—71X2)=82500.

所以，小明家原来的电话号码为282500.

三、解答题(共4题，每小题15分，满分60分)

h

11.已知x=2,a,方为互质的正整数(即a,6是正整数，且它们的最

a

大公约数为1),且aW8,—1<x<—1.

(1)试写出一个满足条件的x；

(2)求所有满足条件的x.

解：(l)x=」满足条件..........

2

5分

(2)因为x=—a,为互质的正整数，且所以

a9

V2-1<-<V3-1,即(V2-l)tz<Z?<(V3-l)tz.

a

当a=l时，(72-1)x1<^<(V3-l)xl,这样的正整数6不存在.

当a=2时，(V2-l)x2!<^<(V3-1)X2,故6=1,此时x=』.

2

当a=3时，(V2-l)x3i<Z?<(V3-l)x3,故6=2,此时x=|.

当a=4时，(V2-l)x4\<b<(V3-1)x4,与a互质的正整数b不存在.

当a=5时，(JI-l)x5；<Z?<(V3-l)x5,故6=3,此时x=g.

当a=6时，(72-1)X€><b<(V3-1)x6,与a互质的正整数6不存在.

当a=7时，(JI一1)x7<&<(V3-l)x7,故6=3,4,5此时x=三，一，

当a=8时，(VI—l)x8<6<(g—l)x8,故6=5,此时x=9

8

所以，满足条件的所有分数为:，j%5

8

15分

12.设a,b,。为互不相等的实数，且满足关系式

b'+c2=2cr+16a+14①

be=a2—4a—5②

求a的取值范围.

解法一：由①一2X②得（。一=24（。+1）>0,所以a>—1.

当a>-l时，=2。2+16。+14=2（。+1）（。+7）>0............................

10分

又当时，由①，②得c2=tz2+16o+14,③

ac=a2-4a-5

④

将④两边平方,结合③得“2(/+16。+14)=(/_4a—5)2

化简得24a3+8/一40。-25=0,故(6。+5)(4〃-2。-5)=0,

解得a=—9,或.=1±Vil.

64

所以，a的取值范围为a>—l且。。一9,。。山史..................

64

15分

2,

解法二：因为/十/二2cl2+16〃+149be—ct—4〃—5,所以

2

(Z?+c)?=2/+16〃+14+2(i—4〃—5)—4〃2+8a+4=4(〃+1)9