高中数学考试技巧+例题训练

高中数学考试技+例题训练

考前指导

选择与填空题

1.集合：认真区分集合中元素的特征（点集和值集），

注意临界值的验证，可用图形（数轴）辅助解答；

2.命题：先准确求得结论，再结合真假性判定，注意

有全称量词和存在量词的命题的否定；

3.充要条件：需要全面的数学知识，可由定义法、集

合法判定；

4.复数：掌握实部与虚部、纯虚数等概念，复数的除

法运算要非常熟练；

5.等差比数列：一般考查简单运算，可结合性质或方

程组求解；

6.一般数列：可能是寻找规律，也可能是求通项问题

（公式法，累加法，构造法等）；

7.三角函数性质：应强化记忆标准函数的各种性质，

重点考查奇偶性和最值问题；

8.三角函数图像：先确定周期，平移时“提系数”，

伸缩时“不动初相”；

9.平面向量：首先需要读懂向量语言，几何运算（用

“三同”思想变形），坐标运算公式要牢记;

10.定积分（理）：准确求出原函数，用面积求，考

虑用性质；

11.三视图：以俯视图为观察基础，请注意标示的都

是正投影的长度，常与求体积问题一起考查；

12.空间位置关系：用实物图判定较快，需特别小心

异面直线的问题，多与充要条件一起考查；

13.异面直线所成角：平移，构成三角形，用余弦定

理求解；

14.线性规划：先确定目标函数，可转化为截距、斜

率、距离三种式；

15.直线：平行与垂直的判定是考查的热点，对称问

题则有利于考能力的考查；

16.圆：关键是确定圆心和半径，多数问题联系几何

性质解决可起事半功倍之效；

17.圆锥曲线：以椭圆，双曲线为背景的离心率问题

一直是考查的热点，特别要注意a,b,c取值与关系，还需

要掌握双曲线的渐进线，抛物线定义、焦点弦有关结论；

18.函数最值：配方法、分离系数法是常考的方法，

也可能考查均值不等式的应用；

19.函数零点：直接法、图解法、二分法，可与二次

函数、指对数函数或分段函数一起考查；

20.函数性质：指对数为背景（底的两种情况讨论），

运用图像解决，要小心定义域问题；

21.函数图像研究：变换法加特值法处理，还可通过

导数研究，可能结合实际问题；

22.抽象函数问题：处理方法一般是赋值法，模型法，

图解法；

23.创新问题：（选择、填空各一题，多数可用特法

解）。归纳与推理的问题，新定义数学概念问题，大学内容

改编的问题，开放性问题等。

说明：用特法求解选择题，能节省考试时间，注意填空

题答案应该比较合理，多解一定要检验。

【选择题例题】

（1）函数f（x）=lg|x|为

A.奇函数，在区间（0,+8）上是减函数

B.奇函数，在区间（0,+8）上是增函数

C.偶函数，在区间（-8,0）上是减函数

D.偶函数，在区间（-8,0）上是增函数

（2）已知三角形ABC中，有关系式

tanA（sinC-sinB）=cosB-cosC成立,则三角形ABC为

A.等腰三角形

B.NA=60°的三角形

C.为等腰三角形或NA=60°的三角形

D.等腰直角三角形

(3)已知“p或q”为真,“非P”为假，则必有

A.p真，q假

B.p真，q真

C.p假，q真

D.p真，q可能假也可能真

(4)若命题p：0是偶数,命题q：2是3的约数.则

下列命题中为真的是

A.p且q

B.非p且非q

C.非p

D.p或q

(5)若直线a，平面直线b〃a,则a与b的关系

是

A.平行B.相交C.异面D.垂直

(6)设函数f(x)在x=x0处的导数不存在，则曲线y

=f(x)

A.在点在0,f(x0)］处的切线不存在

B.在点［x0,f(xO)］处的切线可能存在

C.在点xO处不连续

D.在x=xO处连续

(7)下列运算不属于我们所讨论算法范畴的是

A.已知圆的半径求圆的面积

B.随意抽4张扑克牌算到二十四点的可能性

C.已知坐标平面内两点求直线方程

D.加减乘除法运算法则

(8)已知集合A={(x,y)|x+y=0,x,y£R},B={(x,

y)|x-y=O,x,y£R},则集合AGB的元素个数是

A.0B.1C.2D.3

参考答案

l.C2.C3.D

4.D

解析：

分析：先判断命题P、q的真假性，再依次判断复合命题的

真假性

解答：•.•命题p："0是偶数”是真命题；

命题q：”2是3的约数”是假命题.•.非P是假命题，非q

是真命题.，.A:p且q是假命题；

B:非p且非q是假命题；

C:非p是假命题；

D：p或q是真命题故选D

点评：本题考查命题的真假性，判断复合命题的真假性先要

判断简单命题的真假性.属简单题

5.D

解析：

a与b可以是相交垂直或异面垂直.

6.B

解析：

函数在某一点处的导数实际上就是相应函数图象在该点切

线的斜率，深刻理解概念是正确解题的关键.

7.B

分析：题目给出了四种运算，其中选项A、C、D不仅具有程

序性，明确性有限性等特点，还具有问题指向性，单选项B

不能写出明确的步骤.

解答：算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和

有限步骤，且运用计算机执行后都能得到正确的结果.

选项A、C、D都能写出明确和有限步骤，且执行后都能得到

正确的结果；

选项B虽说能算出全部情况，但不能写出准确的步骤，所以

不属于我们所讨论的算法范畴.

故选B.

点评：本题考查了算法的概念，解答此题的关键是熟练掌握

算法的概念，属基础题.

8.B

解答题

1.数列问题：（中档题，两种形式考查，在等比数列

运算与数列下标问题上容易失分）

（1）等差比数列问题：基本上是方程组法，能用等差、

比数列的简单性质求解会更便捷。要学会用定义证明等差比

数列问题。

（2）一般数列问题：关键是求出通项，方法有公式法,

累加法，退项法、构造换元法等，求和一般是由通项形式定

方法（裂项，分组，错位），多与不等式、函数相结合。

可考虑作差法和放缩法。

2.三角问题：（中档题，两种形式考查，在条件表述

和判定上容易失分）

（1）三角函数问题：考察各函数的性质（值域、周期、

奇偶性、单调性、对称性），关键是化为“单一名”，再结

合图象整体理解。

（2）三角形问题：利用公式（正余弦定理、面积公式、

外接圆和内切圆半径），关键是边角如何转换？一般为边转

为角的形式，再转为两角、一角的形式，请注意条件。

（3）与平行向量结合的三角变换问题：坐标转换，更多

的是考察变换的技巧：辅助角法、降得法，平方消元法，拆

（凑）角法，互余法等。

3.解几问题：（中档题，一般两个小题，在运算技巧

与命题转换上容易失分）

（1）第一小题（两种形式）

①求直线或曲线方程（待定系数法）

②求轨迹问题（直接法、代入法、定义法、向量坐标法、

参数法）

（2）第二小题（两种形式）

①方程法：（一般考查弦长问题、最值与范围问题）

常见步骤：设直线或曲线-联立方程组一转化为一元二

次方程一利用韦达定理等

②坐标法：（椭圆中点弦、抛物线定点定值问题）

说明：如何减少运算量是关键：可尝试定义转换、挖掘

几何关系、参量过渡等

4.立几问题：（中档题，两至三问，在证明表达与求

坐标时容易失分）

（1）证明平行与垂直问题：线线平行线面平行面面平行;

线线垂直线面垂直面面垂直；有中点等特殊点线，用“中位

线、高线”转化。

（2）角度的求解问题（理）：选择恰当位置建立坐标系

一准确求解坐标（有些点可能要通过方程组求）一通过垂

直关系求法向量一代公式求解一说明向量角即所求角等。

（3）探究性问题（理）：坐标待定法或比值待定法。

说明：线线角，线面角，面面角（加判定）

5.应用题：（能力题，涉及函数、数列、不等式等高

中主要板块的内容，在个别文字的理解上容易失分）

解应用题时，一是要充分阅读，弄清题意；二是正确的

数学化（转为数学问题）；三是解决数学问题；四是用数学

问题的解去解释或说明实际问题。运算后的单位要弄准，不

要忘了“答”和变量的取值范围；在填写填空题中的应用题

的答案时，不要忘了单位。

6.函数问题：（拉分题，一般三个小题，在分类讨论

与命题转换上容易失分）

（1）第一种形式：（基础问题）求定义域一求导数一确

定临界值一列表判定

（2）第二种形式：（含参问题）

①直接求得极值点，但需比较两根大小，或讨论根与定

义域的关系;

②不可求得极值点，但都可转化为二次函数问题(数形

结合)

(3)第三种形式：(命题转换)

①恒成立转最值

②大小比较转差函数研究

③数列求和与函数构造等。

【简答题例题】

Y炉

【题1】已知双曲线G彳一尸=1与圆。式+丁=4+乂3＞。)在

第一象限交点为4孙也)，曲线丫+9=4+凡国《以

(1)若“广而，求b；

(2)若b=6,J与x轴交点是小典，P是曲线r上一

点，且在第一象限，并满足冏卜8,求N耳愿；

(2+—)--

(3)过点SQ-2,且斜率为2的直线/交曲线r于M、N

JUimJU

两点，用b的代数式表示0M・加，并求出0M•加的取值范围.

【题2】已知函数〃X)=(X-1K-X-1(，是自然对数的底数).

证明:

(1)〃x)存在唯一的极值点；

(2)，卜)=。有且仅有两个实根，且两个实根互为相反

数.

【题3】已知直线L的参数方程为：

x=—24-tcosa(石关独)

y=tsina代为.敬)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴

为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

p=2sin0-2cos0

(I)求曲线C的参数方程；

n

(II)当时，求直线1与曲线C交点的极坐标.

简答题参考答案：

11

【题1一答案】(1)2；(2)16；(3)笳•揄=肥+4；

(%+2方)

【解析】

(1)根据双曲线和圆的方程，将点/的坐标代入，得到

方程组，求得b的值;

(2)方法一：结合双曲线的定义，得到例典的三边长，

利用余弦定理求解；

方法二：根据冏卜3,和双曲线的方程，联立方程组，

求得尸的坐标，进而利用向量的坐标运算和向量的夹角余弦

值公式求解；

(3)根据直线，的方程，判定是圆的切线，切点为M,

并利用直线3的方程与圆的方程联立求得好的坐标，注意到

直线,与双曲线的斜率为负值的渐近线平行，利用数形结合

思想，可得只有当以＜加=2时，直线/才能与曲线r有两个交

点，然后联立圆和双曲线的方程，求得/的纵坐标关于》的函

数表达式，进而解不等式求得Ov朋＜2+26,最后利用向量的

数量积的运算得到。环加的取值范围.

(1)若刊・百，因为点A为曲线G与曲线G的交点，

之-应=1r-

'4b2.刃=垃

:卜/+疗=4+朋，解得I"2,

：.b=2；

(2)方法一：由题意易得辱骂为曲线的两焦点，因为

a=2»6=J5,.=c=5+/=、/4+5=3,

又「p在第一象限，由双曲线定义知：W=\PFi\-2a,

冏…=4,.•.网=4,

又,."=6,.,.阳阊=6,

在钙耳中由余弦定理可得：

X1y2

'T'T=1

方法二：••・b=、g,可得小+3）心丁=64,解得照.而）,

ULJU।—UJLU.—

:.PF\=（T「两尸耳=（-L-岳）

Liuimi

..8圈镯=典选卷

\1〃陷卜此|16.

.b-+4

(3)设直线上尸一5“工，

忖+4|

F帜+4r--

可得原点0到直线j的距离VT

所以直线,是圆的切线，切点为M,

所以5=；,并设痴"=齐，与圆x-V=4+y联立可得

4

x1+齐%'=4+〃

所以得x=瓦产2,即M(瓦2),

直线，的斜率为2,双曲线的渐近线方程为时工子，

所以直线［与双曲线的斜率为负值的渐近线平行，

所以只有当以=2时，直线/才能与曲线r有两个交点,

4-五=1

・4y「V

由［x/+j/=4+〃，得—一石豆，

旦＜4「

所以有4+配，得Ov瓜＜2+26,

LUULUI.LUU..Lilli|蜀=N+4

又因为:OMO^=\OM\^\c0sZMON=

【题2一答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）要证明〃x）存在唯一的极值点，通常情况下，即证

明rG）=。有唯一解，且在此解左右两边的单调性不一致即可;

（2）首先借助第（1）问的结论与零点存在定理证明在

《皿田）只有一个零点，在依，只有一个零点，然后令〃％）=°

去证明〃F）=。,即可得到，（x）=°的两根互为相反数.

证明：（1）/a）的定义域为

/,(x)=«J4-«x(x-l)-l=xoJ

当xMO时,r（x）=w*Tv。；

当x>0时，0（x）=（x+l）J>0,即尸（x）在（Q2）上是增函数,

又尸⑼=一1<。/（1）=0-1>0,

所以存在壬《。,1),使得/'&)=。，

并且当Q<x<xe时/'(x)<。，当时，/'(x)>0,

所以当时，/1X)<O,/(X)是减函数，

当一6+B)时,/«)>°JG)是增函数,

即天是/(X)唯一的极值点，且是极小值点。

(2)由(1)得：/㈤在”(9名)上是减函数，其中

壬丽，

/(-2)=-3^+1=1-4>0,/(0)=-2<0,

所以/(X)在《皿小)只有一个零点，且这个零点在区间

LZO)上，

/(X)在上是增函数，

又/⑵=--3>0,/(^)</(0)<0,

所以/㈤在国，*»)只有一个零点，且这个零点在区间

《”上，

所以/㈤仅有两个零点，分别记作玉壬(玉<°<马)・

由于〃x)=°,

/=1.一尸=.一1

所以/㈤=&-1)才-a-1=。，即/-L,故