高中数学培优竞赛强基计划讲义数学竞赛教案：第27讲-三角法与向量法解平面几何题

第八讲三角法与向量法解平面几何题

相关知识

a+b+c

在AA8C中,R为外接圆半径，「为内切圆半径,p=--—，则

1,正弦定理:‘一=上一=」一=2H,

sinAsinBsinC

2,余弦定理:a*2*513=h2+c2-2/?ccosA,h2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abeosC.

3,射影定理:a=Z?cosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=6zcosB+Z?cosA.

4,面积:S=—ah=—abs\nC==rp=2R2sinAsinBsinC

20n24R

=r7?(sinA+sinj5+sinC)=y]p(p-a)(p-b)(p-c)

=；(/cotA+/?2coiB+c2cotC).

力类例题

例1.在/ABC中，已知b=asinC,c=as/n(90°-B),试判断/ABC的形状。

分析条件中有边、角关系，应利用正、余弦定理，把条件统一转化为边或者是角的关系，从

而判定三角形的形状。

2+<72

4./0C0a2+C2-b?

解，由条件c=asm(90-B)=acosB=a---------------=----------------

2ac2c

=><22+c2-b2=2c2no?=。2+力2nA是直角

a

c.「

sinAsinC>=>a=------=>c=asinC.

sinC

A是直角=>sin4=l，

•：b=asinC=>b=c=>/ABC是等腰宜角三角形。

53

例2.(1)在△/48。中，已知cos1=—，sinB=-,则cosC的值为()

135

A瑞56c16T56c16

Bo.—C.―或一D.-----

65656565

123

解'：C=n-(A+B),：.cosC=-cos(A+8),XVAe(0,n),：.sinA=—,ffi]sinB=-

4

显然5/九4>5/加3,，A>8,；人为锐角，,8必为锐角，；.cosB=-

cosC=-cos(A+B)=sin.AsinB-cosAcosB=—x—--x—=—

13513565

说明ZXABC中,s讥4>sinBOA>B.根据这一充要条件可判定B必为锐角。

(2)在斤gABC中，C=90°,A=。，外接圆半径为G,内切圆半径为r,

当0为时，片的值最小。

r

a+bC

解答由题意，R=-,r=~.(其中a、b、c为放△ABC的三条边长，c为斜边长)

22

.£=(=]=]

：「a+b-csinO+cos"1&sin(6+巧-J

4

sin(a+—)W1,-2---\[2+1.

4ry/2-1

.当且仅当0=工时，.的最小值为祀+1。

4r

例3在△ABC中，tanA-tan'=求证：从人c成等差数列。

tanA+tanBc

分析由于条件等式是关于三角形的边、角关系，而要证的结论只有角的关系，故应运用正弦

定理将边转化为角。而B、A、C成等差数列的充要条件是A=60°,故应证A=60°。

3ksin(A-B)sinC-sinB..,,、八

证明由条件得----------=------------..sin(A+8)=sinC,

sin(A+B)sinC

sin(A-8)=sinC-sinBf*.sinB=sin(4+8)—sin(A—B)=2cosAsinB,

Vs/nB^O,.,.cos/4=-,4=60°.B,A、C成等差数列。

2

例4AABC中，三个内角4B、C的对边分别为a、b、c,若a?+c?

且a:c=(G+l):2,求角C的大小。

22»2i

解由/+/=〃+ac可得a+短——=-=cosB,故8=60,A+C=\20°.

2ac2

r+，十什士m七sinAaV3+1..6+1."

由正弦定理有：-----=—=------,sinA=------sinC,

sinCc22

又sinA=sin(1200-C)=cosC+—sinC,于是cosC+—sinC=----sinC,

22222

...sinC=cosC,tanC=^，.二C=45°。

+

/4+C=120°,sinA=*sinC,要求C需消去Ao

2

说明解本题时首先要运用正弦定理将边的关系转化为角的关系，从而得关于4、。的两个方

程

链接

1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

(1)己知两角和任一边，求其它两边和一角；

(2)己知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角)。己知两

边和其中一边的对角解三角形，有一解或两解。

2.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

(1)己知三边，求三个角；

(2)己知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。

3.解斜三角形：要明确三角形的六个元素(三条边、三个内角)中己知什么，求什么。再运用

三角形内角和定理、正弦定理与余弦定理解题。

4.研究三角形的边角关系和判断三角形的形状：运用三角形内角和、正弦定理与余弦定理及

三角变换公式，灵活进行边角转换。

三角形中的边角关系式和三角形形状的判断证明，都可归入条件恒等式证明一类，常用到互

补、互余角的三角函数关系。

情景再现

1△ABC的三个内角4、B、C的对边分别是b、c,如果霹多(6+c),求证：A=2B.

3

2.AABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a、b、c成等比数列，且COSB=；；

4

(1)求cotA+cotC'的值

--------3

(2)设=求Q+c的值

0sinA

3已知A、B、C是△ABC的三个内角，尸cotA+-------竺上------.

cosA+cos(8-0

(1)若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.(2)求y的最小值.

B类例题

例5如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形

空地，AABC外的地方种草，AABC的内接正方形PQRS

为一水池，其余的地方种花.若BC=a,NABC=6,设4

ABC的面积为Si,正方形的面积为S2.

(1)用a,。表示Si和S2；

(2)当a固定，。变化时,求一取最小值时的角6。

S2

解（1）:AC=asinaAB=acos6S,=—a2sin^cos0=—a2sin20

24

设正方形边长为x,piijBQ-xcot0,RC-xlandxco\.0+x+x\.ar\O-a

。sin。cos夕a2sin20

x=----------------------=--------------------=---------------

cotO+tanO+ll+sinOcos。2+sin2。

_(asin20Y_a2sin220

212+sin2，,4+sin226+4sin2。

qI(4

(2)当4固定，。变化时，」=-.....+sin29+4

S241sin26

令sin2。=E,则3-=U/+11+4rrI

•.•0<6<],.・.0<.41.如(。=/+；,用导数知

S2t

Iq乃

识可以证明：函数/(7)=1+-在(0,1］是减函数，于是当r=l时，」取最小值，此时e=—。

tS-y4

说明三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转

化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数/(/)=/+;。三角函数的应用性问题是

历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注。

例6如图，A、B是一矩OEFG边界上不同的两点，且/AOB=45

设NAOE=a.

(1)写出aAOB的面积关于a的函数关系式f(a)；

(2)写出函数f(x)的取值范围。

解：⑴VOE=1,EF=V3

/•ZEOF=60°

当aG［0,15°］时，AAOB的两顶点A、B在E、F上，

且AE=tana,BE=tan(45°+a)

.*.f(a)=SAAOB=；[tan(45°+a)—tana]

sin45°V2

2cosa-cos(450+a)2cos(2a+45。)+收

iJ3

当2£(15°,45°]时，A点在EF上，B点在FG上，且0A=--------，0B=———..........

cosacos(4-5°-a)

/(a)=S△AOB=-OA-OB-sin45°=—!—•—————•sin45°

22cosacos(45°-a)

V6

2cos(4—2a)+V2

V2

2cos(2a+—)+-\f^2

综上得：f(Q)=<

n

2cos(2a-^)+V20呜中

TT

(2)由(1)得：当aG[0,不]时

f(a)=---------------e[y>V3—1]

2cos(2a+；)+&2

且当a=o时，f(a)min=；;。=五时，f(a)max=V3—1;

当aG华中时，一《W2a—产f(a)e[V6—V3

且当Q=—时，f(a)min=V6—V3;当。=一时,

84

所以f(x)

说明三角函数与其他数学知识有着紧密的关系，它几乎渗透了数学的每一个分支。注意三角

函数的综合应用。

例7海中相距2海里的A、B两岛,分别到海岸线I(直线)的距离AC=&的海里和BD=2

海里，现要在海岸线上建立一个观测站P,使/APB最大，求点P的位置，且求/APB的最大

值。

解如图，过P作/的垂线PQ交AB于0,vACIKB£)JJ,，AC||PQ||QB,设

ZAPQ=a,Z.BPQ-/3,：.ZAPB=a+/3,且NCAP=a,NZ)BP=/7,在直角梯形ABDC

中，AC=72,BD=2>/2,AB=2,.\CD=72(过A作A4'_LBZ)于A；，BA'=6)

在HKAAA'B中求出A4'=上，设CP=/(0</4加)

ta桓-t

tancif=-y=,tanp=——-j=-

\j22,2

加2t+5/2—tITt+也

."+/?)=tan"tanj=,2•--f=--->0

2

1-tana•tan04—(V2z—?)t-\l2t+4

71

：.ct+/3e(0,-),.•.tan®+£)有最大值时，a+夕也有最大值。

令y=—>o,.\yt*2-(V2>>+l)/+4>'-V2=0

r-V2r+4

•.•y>O,fw[o,也]

/.A>0,.\(&)；+1)2-4y(4y—&)Z0,g|J14y2-6&y—140

哼又.r〉。,，。""

V2\f2y+lA/21/rr仄1

•••^=yW,t=-^—=—+~!==^e^]

.,.当f=及时，y有最大值，即tan(a+Q)有最大值，其值为1,

.,.4PB=a+4的最大值为z，A----——A，

点P在点D时，NAPB最大,最大值为7。CPDL

例8某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心。点后转向东北方向08,现要修建一

条铁路L,A在0A上设一站A,在08上设一站2,铁路在AB部分为直线段，现要求市中心

。与AB的距离为10km,问把A、8分别设在公路上离中心O多远处才能使|48|最短?并求其

最短距离.（不要求作近似计算）

解：在△AOB中，设04=q,OB=b.

因为A0为正西方向，08为东北方向，所以NAO8=135°.

贝iJHBF=a2+62_2"cosl35°^a2+b2+41ab^2ab+41ab=(2+72)ab,当且仅当o=b时,

10

“=”成立.又0到AB的距离为10,设N0A8=a,贝I]NOBA=45°a.所以a-----

sina

10

h=

sin(45°-a)

10

sinasin(45°-a)

100

sinsin(45°—2)

100

sma(cosa-sina)

22

100

——sin2a------(1-cos勿)

44

2sin（勿+45。）-V2-2-V2，

当且仅当。=22°30'时，"=”成立.

所以■昨=4。。（牛”

当且仅当用力，a=22°30'时，"=”成立.

所以当a=b=—^—=10亚（2+扬时,|AB|最短，其最短距离为20（后+1）,即当AB

sin22030,

分别在。4、OB上离。点1012（2+收）km处，能使以8|最短，最短距离为20（梃一1）.

链接

.1.一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解三角形是重要的测量手

段，通过数值计算进一步提高技能技巧和解决实际问题的能力.

2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.

3.根据实际情景，选择适当的变量，建立目标函数，通过函数方法达到.问题的解决。

脩看寿龙

4如图，三棱锥尸/BC的底面ABC为等腰三角形，AB=AC=a,侧棱长均为2a,问8C

为何值时，三棱锥RA8C的体积V最大，最大值是多少？

5如图，一科学考察船从港口0出发，沿北偏东。角的射线0Z方向航行，其中tana=L

3

在距离港口。为(a为正常数)海里北偏东B角的A处有一个供给科学考察船物资的

2

小岛，其中cos|3=1=。现指挥部紧急征调沿海岸线港口。正东方向m海里的B处的补给

船，速往小岛A装运物资供给科学考察船，该船沿BA方向不变全速追赶科学考察船，并在C

处相遇。经测算，当两船运行的航线0Z与海岸线0B围成的三角形OBC面积S最小时，补

给最合适。

(1)求S关于m的函数关系式S(m)；

(2)当m为何值时，补给最合适？

C类例题

API

例9.若△48C的外接圆的直径4E交8C于。，则tan8・tanC=C^.

DE

证如图，作4WLECENLBC,

AMAD

于是有2c①

S^EBC~EN~~DE

1AC.ABsinA

另一方面,2

-BE.ECsin/BEC

2

ArAR

注意至Ijsin4=sin/8EC—=tanZ/4EC=tanB,—=XanZAEB=ianC.

ECBE

S

因此we.=tan8・tanC.②

S&EBC

An

由①、②得tanB*tanC=——.

DE

例10在2BC。的每个边上取一点，若以所取的四个点为顶点的四边形的面积等于平行四边

形面积的一半，则该四边形至少有一条对角线平行于平行四边形的边.

AKB

证如图，设N0A8=a,AD=a,AB=b.由面积公式得S,、AKN=

-AK-ANsina,S^BLK=-BL-Cb-AK).sina,S^CLM=-(a—BL)Cb-MD)•sina,S

ADMN=—(a—AN)•MOsina,SuABca=abs'ma.

2

于是SLMNK=SaABCD—(S△AKN+SABLK+SACLM+SADMN)=-abs'ma»[1—

2

(AN-BL)(AK-MD)

ah

故AN=BL,或AK=/WD,也就是说ZJV〃八8或KM〃AD.

例11在锐角三角形ABC的8c边上有两点E、F,满足/B4E=/CA尸，作FM1AB,FN

1AC（M,N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于。点.

证明：四边形4WDN与△ABC面积相等.

证连结MN、BD,因为FN±AC,所以4M、F、N四点共

圆.所以/AMN=NAFN,ZAMN+ZBAE=ZAFN+ZCAF=90°,即MNLAD,SAMDN

=-AD*MN.

AFAC

又因为/CAF=/BAD,/ACF=/ADB,所以△力/Qs△力劭，所以工=二，AF・AD=AB・AC而

ABAD

AF*sm/BAC=MN,AF=———,所以S△腋=1力外力csinN胡。=!"・4feinN为。=

sinZ.BAC22

—AD*MN=SAVDH*

2

例12如图，在四边形ABC。中，对角线4c平分NBA。，在C。上取一点EBE与4c相

交于尸，延长。尸交于G.求证：ZGAC=ZEAC.

A

CGBHDE,卬

证连结8。交4c于H,对△8C。用塞瓦定理有:-----••=1.因

GBHDEC

为知是/射。的角平分线'由角平分线定理有：器=器.故晟•嗡等=1

设/班C=NDAC="(ae(吟)，设NGAC=N1,ZEAC=A2,由张角公式有:

CG_ACsinZlDE_ADsin(a-Z2)手月ACsinNlABAOsin(a-N2)

GB-ABsin(a-Nl)'~EC~~ACsinN2-'7GG8sin(a-N2),茄.—ACsinN2

即sin/1・sin(a—N2)=sin/2・sin(a—N1),所以sin/1・sinacosN2—sinN1・cos。

sinZ2=sinZ2*sin4cosN1—sin/2・cososinNI.所以sinZ1*cosZ2=cosZ1*sinZ2,艮|J

sin(Z1-Z2)=0,而N1,Z2e0,y,所以N1—/2=0,即NGAC=/EAC.

情景再现

6已知在圆内接四边形ABC。中，BC=CD.求证：AC2=AB-AD+BC2.

7在AABC中，若D是BC上一点，且BD=p,DC=q,AB=c,AC=b,则

.b""2p+c2'q

AD=---------pq

p+q

图6

第八讲作业

1.在△ABC中，acos8=6cos4是△48C为等腰三角形的()

A.必要但不充分条件B.充分但不必要条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

2.设A是△ABC中的最小角，那么函数cosA的值域为()

ri/Vs-15/3—1「>/3—1,

A.[—。2,v2]B.(-1,---------)C.(—1,---------)D.[-1,----------]

222

3.448C中，AB=AC,AB边上的高为Ji,AB边上的高与8c的夹角为60°,则/MBC

的面积是()

AV3B.2V3C.2D.3V3

8.船以32海里/时的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船北偏东30°,半小时后航行到8

处，在B处看灯塔S在船的北偏东75°,则灯塔S与8点的距离为海里(精确到0.1

海里)。

4.根据下列条件，判断△力宽的形状

(1)acosA=bcosB

(2)sin-A+sin2^=sin2C,且c=2acos/i

5.在中，若才=6(6+c),则｛与6有何关系？

.A,„a-+b--c-_tan5

6.在中，求证———5——7

a-b+ctanC

7.在中，已知2sinY=3sin28+3sin2c

①证明cos24+3cos4+3cos(B-G—1②求：a',b'.a

8.已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C=28,且—L-+—!—=_H-

cosAcosCcosB

求cos4二C的值.

2

9.4ABC中，ZA,NB,NC所对的边分别为a,b,c,若a,b,c顺序成等差数列，且N

A-zC=120°,求sinA,sinC.

10.已知。。的半径为凡，在它的内接三角形ABC中，有

2/?(sin2A-sin2C)=(fia-Z?)sinB

成立，求△ABC面积S的最大值.

11在中，a,b,c分别是的对边长，已知a,b,c成等比数列，且

,求的大小及的值。

12.

如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一、

点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角〃的正弦成正比，角「

和这一点到光源的距离r的平方成反比，即/=2•c半inZQ，其中k是一个h

厂

和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度〃，才能使桌子边R

缘处最亮？

13在正三角形ABC的边AB、AC上分别取。、E两点,使沿线段OE折叠三角形时，顶点A

正好落在边8c上，在这种情况下，若要使AZ)最小，求AO：A8的值

14如图，海岛。上有一座海拔1000米高的山，山顶上设有一个观察站A.上午11时测得一

轮船在岛北偏东60°的C处，俯角为30°,11时10分又测得该船在岛的北偏西60°的8处，

俯角为60°。

(1)该船的速度为每小时多少千米？

(2)若此船以不变的航速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离开岛

多少千米？

31

15已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=—,sin(A—5)=—.

(I)求证：tanA=2tanB；

(II)设AB=3,求AB边上的高.

16

3.如图，0、/分别为AAB球外心和内心，AD是BC边上的高，/在线段0。上，求证：\ABC

的外接圆半径等于3c边上的旁切圆半径；

(注：AABCfi勺8c边上的旁切圆是与边48、4c的延长线以及边相切的圆)

情景再现答

1.证明：用正弦定理，〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,4^Aa2=b(Z?+c)中，得sin2A=sinB

(sinB+sinC)=>sin2A—sin2B=sinBsinC

1-cos2A1-cos2B.一，，八、

=------------------=sinBsin(A+B)

22

n-(cos2B-cos2A)=sinBsin(A+B)

2

=>sin(A+B)sin(A—B)=sinBsin(A+B),

因为4、B、C为三角形的三内角，所以sin(A+8)#0.所以sin(A-B)=sinB所以只能

有A一即A=2B.

2(1)由cosB=-,得sin8=Jl-cos?8=——

44

由〃2=ac及正弦定理得sin?8=sinAsinC

八cosAcosCsinCeosA+cosCsinA

于cotA+cosC=------+-------=-----------------------------

sinAsinCsinAsinC

sin(A+C)_1_4yy

sinAsinCsin87

---------333

(2)由848。=不得以1858=二，由cosB=：,...以/=2即/=2

224

由余弦定理

sinAsinBsinCARc

4/?sin-2sin-sin—=R

.8+J.B.C222

sin-2sin—sin-

222

.•.即AABGJ外接圆半径等于ec边上旁切圆的半径

b2=a2+c2-2accosB

cr+c~=5,，〃+c=3

2sinh-(8+C)]

解:(1)'・j=cot4+

cos^c-(^+C)]+cos(B-C)

2sin(3+C)

=cotA+

-cos(34-0+cos(B-C)

,sinBcosC4-cosBsinC

=cotA+-------------------------------

sinBsinC

=cotA+cotB4-cotC,

・・・任意交换两个角的位置，y的值不变化.

(2)Vcos(B-C)Wl,

。.41—tan一

A^cot42s，nA=-----------2.CA1

++2tan—=—(cot—+3tan—)2-/3tan—cot—=旧.

1+cosA2tan42222V22

2

故当A=B=C=y时,ymin=6.

评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问题的

有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC中，求证：cotA+cot8+colC2Q.

4分析：因为三棱锥的三条侧棱长均相等，因此顶点P在底面上的射影。是△ABC的外心,

从而想到用正弦定理，再利用三角函数来求最值.

解：作尸底面ABC,垂足为。.

由84=P8=QC=2a,知。为△4BC的外心.

AB=AC=a>

：.。落在底面ABC的高A。上.

设/ABC=6,连结8。，

则8。为△4BC外接圆的半径.

记8O=R由正弦定理，有氏=——

2sin0

PO=YIPB2-BO2=-qJ16sm?一[

2Vsin2^

*.*BD=acos0,AD=asin

1)

=—BC•AD=a~sin^cos^.

12116sin2g-l

V=—asinOcos。一a

2Vsin20

=—a3yj(16sin2^-1)(1-sin2

6

2225

+~64

6

.•.当sin?e=2Z时，匕=_1/

32max16

止匕时，BC-2BD=2acos0-2a-\/l-sin20-a

4

5解：(1)以。为原点，正北方向为轴建立直角坐标系。

直线0Z的方程为y=3x,①

设A(xo，yO),贝ijx0=3sjn0=9a,yo=3>Jl3acos3

=6a,A(9a,6a)。

又B(m,0),则直线AB的方程为y=—(x-m)②

9a-m

,口〜2am6am、

由①、②解得，C(----------,----------),

m-lam-la

13am2

/.S(m)=SAOBc=—|OB||y|=----------,

2cin—la

49a2

(2)S(m)=3a[(m-7a)+----------+14〃]284a2。

m-7a

49a2

当且仅当m-7a=----------,即m=14a>7a时，等号成立，

m-la

故当m=14a为海里时，补给最合适。

6证设四边形48C。的外接圆半径为R两条对角线的夹角为。，由面积公式得

S，ABD=-AB*AD*s\r\ZBAD.

2

SABCD=—BC，CD・sinN.BCD.

2

以上两式相加，并注意到BC=C。，sinZBAD=sinZBCD.

可得SA88=1(AB30+BC2)sin/BCD.①

2

另一方面SABCD=-4C・8£>sin0=-ACsin0・2RsinNBCD.

22

注意至I」0=ZABD+ZBAC=ZABD+ZBDC=ZABD+ZDBC=AABC,

2Nsin0=2Rs\nZABC=AC

于是得SABCD=-^C2«sinZBCD.②

2

由①、②得AC2=AB>AD+BC2.

7证明简介：

在AABD和△ABC中，由余弦定理，得

99

AD2=c+p-2cpcosB

2

(p+q)+cz-bz

cosB=

2(p+q)c

第八讲答案

1.B2.C3.A4.11.3

，&力/八,・,，八.。cosB.2/?sinAcosB

4.解：(X)・acosA=bcosB=--------..------------=---------,

bcosA27?sinBcosA

BPsin/cos4=sinaos5

TT

.,.sin2J=sin22?...2/=26或2/="-28."=8或/+6=一

2

/.XABC是等腰三角形或直角三角形.

(2)VsinJ/J+sin'Z7=sin';C,

A(―)2+(—)2=(£-，.♦.才+犬=1

2R2R2R

故回是直角三角形，且。=90°,

:・cosB=L代入c=2dcosE得cos6=-----.'.5=45°,4=45°

c2

综上，△力比是等腰直角三角形.

5.解：由正弦定理得sin"/=sinO(sin8+sinC)

sin27l-sinB=sinB9sinG

(sin/+sin5)(sinJ-sin2?)=sin应inG

sinCA+B)sin(力一E)=sin6・sinC

Vsin(4+6)=sinC,,Asin(A—B)=sin氏

:・A-B=B,A=2B,或4-8=%一水舍去)

故/与B的关系是A=2R

6.证明：由余弦定理，知

才+42£AosC,a2—b'+ci=2cacosB,

.a1+b2-c2_2abeosC_ftcosC_sinBcosC_tan3

a2-/?2+c22cacosBccosBsinCeosBtanC

7.解：由①得2a2=34+31③

Vcos/4=-cos(B+O

由②得3cos(B—G—3cos(Z?+O=1—cos24=2sin"力=3sin‘8+3sin'C

cos(B—G—cos(6+C)=sin25+sin2C

2sinBsinC=sin2B+sinC

即(sinB—sinC)2=0,sin5=sinf,

：.2/fsinB=2/fsinC,；"=c代入③得a=百A

：.a：b：c=6b：b：b=4^>：1：1.

8.解法一：由题设条件知8=60°,4+C=120°,

设a=4---,则A—C=2a,可得A=60°+",C=60°—a,

2

1111

cosAcosCcos(60°+a)cos(60°-a)

I1cosacostz

%osa-3sinJ%sa+也sinalcos2«--sin2acos^-r

2222444

依题设条件有C°Sa

23cosB

cosa——

4

cosa

,/cosB=—,=-272.

2cos2a-3

4

整理得4y/2cos2a+2cosa—3V2=0(M)

(2cos—V2)(2V2coso+3)=0,2V2cosa+3WO,

2cos0—V2=0.从而得cos—~~—=

22

解法二：由题设条件知8=60°,A+C=120°

•/—叵=-2叵,+」—=-272①,

cos60°cosAcosC

把①式化为cosA+cosC=_2V2cosAcosC②，

利用和差化积及积化和差公式，②式可化为

A+「A—Cr~

2cos---cos---=-V2[cos0+C)+cos^4-C)]③,

将cos"+°=cos6(T=—,cos(A+Q=——代入③式得；

222

cos——-V2cos(A-C)④

22

将cos(v4—Q=2cos2(-----)—1代入④：

2

4V2cos2()+2cos上^-3后=0,(*),(2cos上工-2衣(2五cos生<+3)=0,

2222

•/2A/2COS———+3=0,/.2cos-^―=0,

2