专题04幂的运算（3个知识点11种题型2种中考考法）（解析版）

专题04幂的运算（3个知识点11种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：同底数幂的乘法知识点2：幂的乘方知识点3：积的乘方【方法二】实例探索法题型1：幂的相关概念题型2：同底数幂的乘法题型3：同底数幂的乘法的混合运算题型4：三个或三个以上同底数幂的乘法题型5：同底数幂的乘法法则的灵活运用题型6：幂的乘方的意义与法则题型7：幂的乘方运算题型8：幂的乘方法则的灵活运用题型9：积的乘方的意义与法则题型10：积的乘方运算题型11：积的乘方法则的灵活运用【方法三】仿真实战法考法1：同底数幂的乘方考法2：积的乘方【方法四】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：同底数幂的乘法(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.知识点2：幂的乘方(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(，均为正整数)（2）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.知识点3：积的乘方(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【方法二】实例探索法题型1：幂的相关概念1．（2022秋•静安区校级期中）用（x﹣y）的幂的形式表示：（x﹣y）5（y﹣x）4＝．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可．【解答】解：（x﹣y）5（y﹣x）4＝（x﹣y）5（x﹣y）4＝（x﹣y）9．故答案为：（x﹣y）9．【点评】本题考查了整式乘法运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）．2．（2022秋•嘉定区期中）计算：（a+1）3（﹣a﹣1）2＝．（结果用幂的形式表示）【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．【解答】解：（a+1）3（﹣a﹣1）2＝（a+1）3（a+1）2＝（a+1）3+2＝（a+1）5．故答案为：（a+1）5．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．题型2：同底数幂的乘法3．（2022秋•宝山区校级期末）计算：a2•a4＝．【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行运算即可．【解答】解：a2•a4＝a2+4＝a6．故答案为：a6．【点评】此题考查了同底数幂的乘法运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．4．（2022秋•嘉定区校级期中）用幂的形式表示结果：﹣25×（﹣2）4＝．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝﹣25×24＝﹣29．故答案为：﹣29．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．题型3：同底数幂的乘法的混合运算5．（2022秋•宝山区校级月考）计算：﹣x4•（﹣x）3+（﹣x）4•（﹣x3）．【分析】先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后计算整式的加减．【解答】就：﹣x4•（﹣x）3+（﹣x）4•（﹣x3）＝x4•x3﹣x4•x3＝x7﹣x7＝0．题型4：三个或三个以上同底数幂的乘法6．（2022•闵行区校级开学）（﹣x）3•x•（﹣x）2＝．【分析】先进行幂的乘方的运算，再进行同底数幂的乘法的运算即可．【解答】解：（﹣x）3•x•（﹣x）2＝﹣x3•x•x2＝﹣x6．故答案为：﹣x6．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．7．（2022•闵行区校级开学）a•（﹣a5）•（﹣a6）•（﹣a）7•（﹣a）2．【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．【解答】解：a•（﹣a5）•（﹣a6）•（﹣a）7•（﹣a）2＝a•（﹣a5）•（﹣a6）•（﹣a7）•a2＝﹣a21．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．题型5：同底数幂的乘法法则的灵活运用8．（2022秋•静安区月考）规定a*b＝2a×2b，若2*（x+1）＝16，则x＝．【分析】根据规定a*b＝2a×2b，可得2*（x+1）＝22×2x+1＝16，再根据同底数幂的乘法法则解答即可．【解答】解：由题意得：2*（x+1）＝22×2x+1＝16，即22+x+1＝24，∴2+x+1＝4，解得x＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．9．（2022秋•闵行区校级期中）已知am＝2，a2n＝3，求am+2n＝．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则，进而计算得出答案．【解答】解：∵am＝2，a2n＝3，∴am+2n＝am•a2n＝2×3＝6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．题型6：幂的乘方的意义与法则10.（1）；（2）；（3）．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是，（2）题中的底数是，（3）题中的底数的指数是，乘方以后的指数应是．【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.题型7：幂的乘方运算11．（2022秋•长宁区校级期中）计算：x2•x3+（﹣x）5﹣（x2）3．【分析】先算同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，再合并同类项即可．【解答】解：x2•x3+（﹣x）5﹣（x2）3＝x5﹣x5﹣x6＝﹣x6．【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．12．（2022秋•闵行区期中）计算：﹣（﹣x2）3•（﹣x2）2﹣x•（﹣x3）3．【分析】先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可．【解答】解：﹣（﹣x2）3•（﹣x2）2﹣x•（﹣x3）3＝﹣（﹣x6）•x4﹣x•（﹣x9）＝x10+x10＝2x10．【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．题型8：幂的乘方法则的灵活运用13．（2022秋•宝山区校级期中）已知x＝2n+3，y＝4n+5，用含字母x的代数式表示y，则y＝．【分析】先将y变形为y＝4n+5＝（22）n+5＝（2n）2+5，再将2n＝x﹣3代入即可．【解答】解：∵x＝2n+3，∴2n＝x﹣3，∴y＝4n+5＝（22）n+5＝（2n）2+5＝（x﹣3）2+5＝x2﹣6x+9+5＝x2﹣6x+14．故答案为：x2﹣6x+14．【点评】本题考查了幂的运算性质，解题的关键是熟练掌握幂的乘方的运算法则并灵活运用．14．（2021秋•金山区期末）已知10n＝3，且10m＝4，则102m+n＝．【分析】运用同底数幂的乘法和幂的乘方把原式化成已知代数式的形式，然后代值计算便可．【解答】解：∵10n＝3，10m＝4，∴102m+n＝102m×10n＝（10m）2×10n＝42×3＝16×3＝48，故答案为：48．【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，关键是灵活应用法则进行变形．15．（2022秋•闵行区期中）如果am＝3，an＝，那么a3m+2n＝．【分析】利用幂的乘方与同底数幂的乘法的法则进行求解即可．【解答】解：当am＝3，an＝时，a3m+2n＝a3m×a2n＝（am）3×（an）2＝33×（）2＝27×＝．故答案为：．【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．16．（2022秋•浦东新区期中）已知3x＝m，3y＝n，用m、n表示33x+4y﹣5×81x+2y为．【分析】逆向运算同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．【解答】解：∵3x＝m，3y＝n，∴33x+4y﹣5×81x+2y＝33x•34y﹣5×（34）x+2y＝（3x）3•（3y）4﹣5×34x+8y＝（3x）3•（3y）4﹣5×（3x）4×（3y）8＝m3n4﹣5m4n8．故答案为：m3n4﹣5m4n8．【点评】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．17．（2022秋•宝山区校级期中）213310（比较大小）．【分析】根据幂的乘方的定义解答即可．【解答】解：∵213＝（26）2×2＝642×2，310＝（34）2×32＝812×9，642×2＜812×9，∴213＜310故答案为：＜．【点评】本题考查了有理数大小比较以及幂的乘方，掌握幂的乘方运算法则是解答本题的关键．题型9：积的乘方的意义与法则18．（2022秋•浦东新区校级期末）计算：（﹣3x）3＝．【分析】积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．据此计算即可．【解答】解：（﹣3x）3＝（﹣3）3•x3＝﹣27x3．故答案为：﹣27x3．【点评】本题考查了积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．题型10：积的乘方运算19．（2022秋•杨浦区期中）计算：（﹣5x2yz2）3＝．【分析】根据积的乘方与幂的乘方法则进行计算．【解答】解：原式＝﹣125x2×3y3z2×3＝﹣125x6y3z6，故答案为：﹣125x6y3z6，【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，关键是熟记幂的乘方与积的乘方法则．20．（2022秋•奉贤区期中）计算：＝．【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝（﹣）2•n4m6＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．21．（2022秋•宝山区校级期中）计算：＝．【分析】利用积的乘方的法则进行运算，再算单项式乘单项式即可．【解答】解：＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握．题型11：积的乘方法则的灵活运用22．（2022秋•浦东新区校级期中）计算（﹣）2021•（﹣）2022的结果是（）A． B． C． D．【分析】根据幂的乘方运算以及积的乘方运算即可求出答案．【解答】解：原式＝[（﹣）×（﹣）]2021×（﹣）＝12021×（﹣）＝﹣，故选：B．【点评】本题考查幂的乘方运算以及积的乘方运算，解题的关键是熟练运用幂的乘方运算以及积的乘方运算，本题属于基础题型．23．（2022秋•青浦区校级期中）计算：22017×（）2019＝．【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．【解答】解：原式＝22017×（）2017×（）2＝（2×）2017×＝1×＝．故答案为：．【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方，熟知幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．24．（2022秋•长宁区校级期中）计算：（﹣0.25）2019×42019＝．【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．【解答】解：（﹣0.25）2019×42019＝（﹣0.25×4）2019＝（﹣1）2019＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．25．（2022秋•上海期末）计算：32022×（﹣）2021＝．【分析】根据乘方的意义，先把2022个3相乘写成2021个3相乘，再乘以1个3，然后根据积的乘方法则的逆用即可得到答案．【解答】解：原式＝32021×3×（﹣）2021＝[3×（﹣）]2021×3＝（﹣1）2021×3＝（﹣1）×3＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了积的乘方，考核学生的计算能力，对公式进行逆用是解题的关键．26．（2022秋•虹口区校级期中）计算：＝．【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．【解答】解：＝﹣72021×（﹣）2021×（﹣）＝[（﹣7）×（﹣）]2021×（﹣）＝12021×（﹣）＝1×（﹣）＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【方法三】仿真实战法考法1：同底数幂的乘方27．（2011•上海）计算：a2•a3＝．【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．【解答】解：a2•a3＝a2+3＝a5．故答案为：a5．【点评】熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．考法2：积的乘方28．（2019•上海）计算：（2a2）2＝．【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．【解答】解：（2a2）2＝22a4＝4a4．【点评】主要考查积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．【方法五】成功评定法一、单选题1．（2023·上海·七年级假期作业）已知，，那么的值是（）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】根据同底数幂乘法的逆运用可知，，结合条件即可进行求解．【详解】解：∵，，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查的是同底数幂乘法的逆运算，看到指数相加，就写成同底数幂相乘的形式．2．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）的计算结果正确的是（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根据同底数幂乘法的逆运算和积的乘方的逆运算法则把原式变形为，据此计算求解即可．【详解】解：，故选C．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算和积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．3．（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）已知为奇数，为偶数，则下列各式的计算中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则分别运算，即可获得答案．【详解】解：若为奇数，为偶数，则A．，该选项运算错误，不符合题意；B．，该选项运算错误，不符合题意；C．，该选项运算错误，不符合题意；D．，该选项运算正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．4．（2021秋·上海·七年级期中）如果，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】逆用同底数幂乘法、幂的乘方公式，将式子进行变形是关键．【详解】因为所以所以所以所以=故选：C【点睛】考核知识点：同底数幂乘法、幂的乘方．运用同底数幂乘法、幂的乘方法则将式子适当变形是关键．5．（2022秋·上海·七年级专题练习）若则的值为（

）A． B．5 C．1 D．【答案】D【分析】先根据同底数幂的乘法法则计算等式的左边，再与等式的右边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组可得的值，然后代入计算即可得．【详解】解：，，，，解得，则，故选：D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、二元一次方程组的应用，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．6．（2021秋·上海·七年级期中）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方法则进行计算，即可选出正确答案．【详解】A．不是同类项不能合并，故该选项错误，不符合题意，B．，故该选项错误，不符合题意，C．，故该选项错误，不符合题意，D．，故该选项计算正确，符合题意，故选D．【点睛】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，正确运用同底数幂的乘法、幂的乘方法则进行计算是解题关键．二、填空题7．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）计算：．【答案】【分析】根据，即可．【详解】∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查幂的知识，解题的关键是掌握幂的乘方，．8．（2022秋·上海松江·七年级校考期中）若，，则．【答案】【分析】根据同底数幂逆运算进行求解即可．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟知同底数幂乘法运算法则为：底数不变，指数相加；是解本题的关键．9．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）用幂的形式表示结果：．【答案】/【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【详解】解∶原式故答案为∶．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．10．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）计算：【答案】【分析】根据，即可．【详解】，故答案为：．【点睛】本题考查幂的知识，解题的关键是掌握．11．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）计算：．【答案】【分析】根据积的乘方逆运算即可求解．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查积的乘方法则的逆用．积的乘方法则：，逆运算法则为：．熟练记忆并应用法则是解题的关键．12．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）计算：．【答案】【分析】由积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算法则，进行变形，即可求出答案．【详解】解：；故答案为：．【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．13．（2021秋·上海嘉定·七年级统考期中）已知：，则．【答案】【分析】根据幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算即可求解．【详解】解：∵，，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，掌握幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．14．（2019秋·上海闵行·七年级上海市实验学校西校校考阶段练习）若，，则（用含有m、n的代数式）．【答案】/【分析】根据幂的乘方及同底数幂乘法运算即可得到答案．【详解】解：∵，，∴．故答案为．【点睛】本题考查幂的乘方：底数不变指数相乘；同底数幂乘法：底数不变指数相加；解题的关键是将分解成．15．（2021秋·上海松江·七年级统考期中）已知，则．【答案】9【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，求出，再根据幂的乘方运算法则，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算，解题的关键是掌握：同底数幂的乘法（除法），底数不变，指数相加（相减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘．16．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）计算：．【答案】【分析】根据同底数幂的乘法：底数不变，指数相加．互为同类项的再合并，即可得解．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及合并同类项，熟记相关法则是解题的关键．17．（2023·上海·七年级假期作业）已知：，，则．【答案】/【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方的逆运算计算即可得出答案．【详解】∵，，故答案为：．【点睛】本题考查的是幂的运算公式，需要熟练掌握四个幂的运算公式及其逆运算．18．（2021秋·上海嘉定·七年级统考期中）计算：．（结果用幂的形式表示）【答案】【分析】根据立方的性质、同底数幂的乘法运算法则计算即可得到答案．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查幂的运算，涉及立方性质、同底数幂的乘法运算法则，熟练掌握幂的相关性质及运算法则是解决问题的关键．三、解答题19．（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）计算：．【答案】0【分析】根据同底数幂的乘法以及积的乘方计算法则进行求解即可【详解】．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解．20．（2022秋·上海·七年级专题练习）．【答案】【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，即底数不变、指数相加．21．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）计算：．【答案】【分析】先计算积的乘方，同底数幂乘法，然后合并同类项即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了积的乘方，同底数幂乘法和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．22．（2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）计算：【答案】【分析】先计算同底数