北师大版八年级数学下册常考题专练专题11因式分解的其他方法(原卷版+解析)

专题11因式分解的其他方法题型一分组分解法——4项1．问题提出分解因式：（1）；（2）．问题探究某数学探究学习小组对以上因式分解题目进行了如下探究．探究1：分解因式：（1）．解：．探究2：分解因式：（2）．解：．学以致用尝试运用分组分解法分解因式．（1）； （2）．拓展提升尝试运用以上思路分解因式：．

2．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：（分成两组）（直接提公因式）．乙：（分成两组）（直接运用公式）（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）． （2）．3．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式；（2）三边，，满足，判断的形状．4．分解因式：．5．因式分解：．6．因式分解：．题型二分组分解法——5项7．阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如：，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：．像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：；（2）的三边，，满足，判断的形状．8．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）（2）试用上述方法分解因式．9．已知，把多项式因式分解．题型三十字相乘法10．我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式，即是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如：（1）；（2）．请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式：（1）；（2）．11．分解因式：．12．因式分解：．13．分解因式：．14．我们知道：多项式可以写成的形式，这就是将多项式因式分解．当一个多项式（如不能写成两数和（或差）的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：（1）； （2）．题型四换元法15．用换元法分解因式：．16．因式分解：．17．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式．解：设原式（1）请你用换元法对多项式进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：．18．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．解：设，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（填代号）．．提取公因式 ．平方差公式．两数和的完全平方公式 ．两数差的完全平方公式（2）请你模仿以上方法，分解因式：．19．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．解：设原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（填代号）．．提取公因式．平方差公式．两数和的完全平方公式．两数差的完全平方公式（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为．（3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．20．阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．解：设原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的．．提取公因式法．平方差公式法．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：．（3）请你用换元法对多项式进行因式分解（4）当时，多项式存在最值（填“大”或“小”．请你求出这个最值题型五待定系数法21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．解：设另一个因式为，得，则解得：，另一个因式为，的值为．问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．22．分解因式：．23．阅读下列解答过程，然后回答问题．已知多项式有一个因式，求的值．解：设另一个因式为，则，，，，，，；依照上面的解法，解答问题：若有一个因式是，求的值．题型六分组分解法+十字相乘法——6项24．因式分解：25．分解因式：．26．分解因式：．27．分解因式：．专题11因式分解的其他方法题型一分组分解法——4项1．问题提出分解因式：（1）；（2）．问题探究某数学探究学习小组对以上因式分解题目进行了如下探究．探究1：分解因式：（1）．解：．探究2：分解因式：（2）．解：．学以致用尝试运用分组分解法分解因式．（1）；（2）．拓展提升尝试运用以上思路分解因式：．【解答】解：学以致用（1）．（2）．拓展提升：．2．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：（分成两组）（直接提公因式）．乙：（分成两组）（直接运用公式）（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）．（2）．【解答】解：（1）原式；（2）原式．3．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式；（2）三边，，满足，判断的形状．【解答】解：（1）；（2），，或，的形状是等腰三角形．4．分解因式：．【解答】解：原式．5．因式分解：．【解答】解：原式．6．因式分解：．【解答】解：原式．题型二分组分解法——5项7．阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如：，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：．像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：；（2）的三边，，满足，判断的形状．【解答】解：（1），（2），，，，，或，三角形任意两边之和大于第三边，，是等腰三角形．8．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）（2）试用上述方法分解因式．【解答】解：．故答案是：．9．已知，把多项式因式分解．【解答】解：，，，，，，，当，时原式．题型三十字相乘法10．我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式，即是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如：（1）；（2）．请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式：（1）；（2）．【解答】解：（1）；（2）．11．分解因式：．【解答】解：．故答案为：．12．因式分解：．【解答】解：原式，故答案为：13．分解因式：．【解答】解：．故答案为：．14．我们知道：多项式可以写成的形式，这就是将多项式因式分解．当一个多项式（如不能写成两数和（或差）的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式；（2）原式．题型四换元法15．用换元法分解因式：．【解答】解：设，则有，原式．16．因式分解：．【解答】解：．17．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式．解：设原式（1）请你用换元法对多项式进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：．【解答】解：（1）设，原式；（2）设．则．解得或．当时，，即．解得．当时，，即．解得，．综上所述，原方程的解为，，．18．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．解：设，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（填代号）．．提取公因式．平方差公式．两数和的完全平方公式．两数差的完全平方公式（2）请你模仿以上方法，分解因式：．【解答】解：（1），第二步到第三步运用了因式分解的“两数和的完全平方公式”，故答案为：；（2）设，．19．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．解：设原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（填代号）．．提取公因式．平方差公式．两数和的完全平方公式．两数差的完全平方公式（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为．（3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．【解答】解：（1）运用了，两数和的完全平方公式；（2）还可以分解，分解不彻底；；（3）设．．故答案为：；．20．阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．解：设原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的．．提取公因式法．平方差公式法．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：．（3）请你用换元法对多项式进行因式分解（4）当时，多项式存在最值（填“大”或“小”．请你求出这个最值【解答】解：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法；（2），设，原式；（3）设，原式；（4），故当时，多项式存在最小值，最小值为．故答案为：；；1，小．题型五待定系数法21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．解：设另一个因式为，得，则解得：，另一个因式为，的值为．问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．【解答】解：设另