高三数学一轮复习 2-2函数的单调性随堂训练 文 苏教版

第2课时函数的单调性一、填空题1．函数y＝eq\f(x＋2,x－2)的单调区间是________，在该区间上是单调________． 解析：y＝eq\f(x＋2,x－2)可写成y＝1＋eq\f(4,x－2)，所以函数的单调区间是(－∞，2)及(2，＋∞)，在 这两个区间上都是单调减函数． 答案：(－∞，2)及(2，＋∞)减函数2．(·福建厦门模拟)函数y＝(m－1)x＋3在R上是增函数，则m的取值范围是 ________． 解析：由题意知m－1＞0，即m＞1. 答案：(1，＋∞)3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，则f(x)＝0的根最多有________个． 解析：∵f(x)在R上是增函数，∴对任意x1，x2∈R，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，反之 亦成立．故若存在f(x0)＝0，则x0只有一个，若对任意x∈R都无f(x)＝0，则f(x)＝0 无解． 答案：14．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上最大值为3，最小值为2，则m的取值 范围为________． 解析：∵f(x)＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，当x＝1时，f(x)min＝2，故m≥1，又∵f(0) ＝3， ∴f(2)＝3，∴m≤2. 答案：[1,2]5．(·济宁调研)函数y＝eq\f(x2,x2＋1)(x∈R)的最小值是________． 解析：由已知：yx2＋y＝x2，即x2＝eq\f(y,1－y)≥0，∴y·(y－1)＜0或y＝0，∴0≤y＜1.∴y的 最小值为0. 答案：06．函数y＝eq\f(x－5,x－a－2)在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． 解析：y＝eq\f(x－5,x－a－2)＝1＋eq\f(a－3,x－(a＋2))，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3<0，,a＋2≤－1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<3，,a≤－3，))∴a≤－3. 答案：a≤－37．(·苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查)若函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域 内是增函数，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意可得：f′(x)＝2mx＋eq\f(1,x)－2在(0，＋∞)上有f′(x)≥0恒成立，所以，2mx ＋eq\f(1,x)－2≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m≥eq\f(2,x)－eq\f(1,x2)在(0，＋∞)上恒成立，设t(x)＝－eq\f(1,x2)＋ eq\f(2,x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))2＋1，只要求出t(x)在(0，＋∞)上的最大值即可．而当eq\f(1,x)＝1，即x＝1时， t(x)max＝1，所以2m≥1，即m≥eq\f(1,2). 答案：m≥eq\f(1,2)二、解答题8．已知函数f(x)＝eq\f(x2＋a,x)(a>0)在(2，＋∞)上递增，求实数a的取值范围． 解：设2<x1<x2，由已知条件f(x1)－f(x2)＝eq\f(x\o\al(2,1)＋a,x1)－eq\f(x\o\al(2,2)＋a,x2)＝(x1－x2)＋aeq\f(x2－x1,x1x2) ＝(x1－x2)eq\f(x1x2－a,x1x2)<0恒成立．即当2<x1<x2时，x1x2>a恒成立．又x1x2>4，则0<a≤4.9．用函数单调性的定义证明：f(x)＝ax＋a－x在(0，＋∞)上是增函数(这里a＞0且a≠1)． 证明：任取x1、x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(ax1＋a－x1)－(ax2＋a－x2) ＝(ax1－ax2)＋(eq\f(1,ax1)－eq\f(1,ax2))＝(ax1－ax2)＋eq\f(ax2－ax1,ax1＋x2)＝eq\f((ax1－ax2)(ax1＋x2－1),ax1＋x2). ∵0＜x1＜x2，∴x1＋x2＞0，∴ax1＋x2＞0. (1)当a＞1时，ax1＋x2＞1，ax1＜ax2，∴ax1＋x2－1＞0，ax1－ax2＜0， ∴f(x1)－f(x2)＜0； (2)当0＜a＜1时，ax1＋x2＜1，ax1＞ax2，∴ax1＋x2－1＜0，ax1－ax2＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0. 综上所述，对于任何a＞0且a≠1，均有f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．10．(·黑龙江双鸭山一中高三)讨论函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的单调性． 解：解法一：显然f(x)为奇函数，所以先讨论函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性， 设x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(a,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(a,x2)))＝(x1－x2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,x1x2))). ∴当0＜x2＜x1≤eq\r(a)时，eq\f(a,x1x2)＞1，则f(x1)－f(x2)<0，故f(x)在(0，eq\r(a))上是减函数． 当x1＞x2≥eq\r(a)时，0＜eq\f(a,x1x2)＜1，则f(x1)－f(x2)＞0，故f(x)在[eq\r(a)，＋∞]上是增函数． ∵f(x)是奇函数，∴f(x)分别在(－∞，－eq\r(a))、(eq\r(a)，＋∞)上为增函数； f(x)分别在[－eq\r(a)，0)、(0，eq\r(a)]上为减函数． 解法二：由f′(x)＝1－eq\f(a,x2)＝0可得x＝±eq\r(a)，当x＞eq\r(a)时或x＜－eq\r(a)时，f′(x)>0， ∴f(x)在[eq\r(a)，＋∞)，(－∞，－eq\r(a))上是增函数．同理0＜x＜eq\r(a)或－eq\r(a)＜x＜0时， f′(x)＜0， 即f(x)在(0，eq\r(a))、[－eq\r(a)，0]上是减函数．1．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________． 解析： y=-(x-3)|x|= 作出该函数的图象，观察图象知递增区间为. 答案：2．求函数f(x)＝ex2－2x－3的单调区间． 解：∵f(x)的定义域为R.∴