2021届高中数学知识过关学案（文理）模块九 圆锥曲线（原卷版）

模块九圆锥曲线（学生版）

知识点全面打指

2020-2021

目录

第一节曲线与方程.............................................................1

【知识I】曲线和方程（※）....................................................I

【探究1】概念的理解.....................................................1

【探究2】曲线与方程的应用...............................................2

【探索3】求曲线的方程（求轨迹方程）.....................................3

第二节椭圆..................................................................5

【知识2】椭圆的定义........................................................5

【知识3】椭圆的标准方程....................................................6

【探索1】待定系数法.....................................................6

【探索2】定义法.........................................................7

【思考与提升11............................................................................................................................9

【知识4】椭圆的简单性质...................................................10

【探索1】讨论椭圆的简单性质............................................10

【探索2】利用简单性质求椭圆的标准方程..................................11

【探索3】求椭圆的离心率................................................12

【思考与提升21.......................................................................................................13

【知识5】点与椭圆的位置关系...............................................14

【知识6】直线与椭圆的位置关系.............................................15

【知识7】弦长公式.........................................................16

【知识8】中点弦问题.......................................................16

【知识9】直线与椭圆的综合问题※...........................................17

【探索1】椭圆中的最值（或范围）问题◎....................................17

【探索2】椭圆中的定点、定值问题©......................................20

【提升与思考3】........................................................24

【知识10］双曲线的定义....................................................25

【知识11】双曲线的标准方程................................................26

【知识12］双曲线的性质....................................................28

【探索1】求简单性质....................................................29

【探索2】由双曲线的性质求标准方程......................................29

【探索3】求双曲线的离心率..............................................31

【思考与提升41.......................................................................................................32

【知识13］直线与双曲线的位置关系..........................................34

【知识14］双曲线中的弦长及中点弦问题......................................35

【知识15】直线与双曲线位置关系的综合问题..................................36

第四节抛物线.................................................................38

【知识16］抛物线的定义....................................................38

【知识17］抛物线的标准方程................................................38

【知识18］抛物线的简单应用................................................40

【知识19］抛物线的性质....................................................41

【知识20】直线与抛物线的位置关系..........................................42

【知识21】抛物线的中点弦问题..............................................43

【知识22】焦点弦的性质....................................................43

【思考与提高5】........................................................44

第五节直线与圆锥曲线的综合..................................................46

【探索1】圆锥曲线的共同特征一一统一定义...................................46

【探索2】直线与圆锥曲线的位置关系.........................................46

【探索3】两曲线的交点.....................................................47

第六节圆锥曲线模块自我检测...................................................48

第一节曲线与方程

【知识1】曲线和方程(派)

1.曲线的方程和方程的曲线的概念

在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程

艮X,y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

2.坐标法思想及求曲线方程的步骤

(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方

程；(x,y)=0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可

以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点

都在曲线上而毫无遗漏.

(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x,v)建立了一一对应关系,

使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.

(3)求曲线的方程的步骤

【探究1】概念的理解

【例1-1](1)设方程./U，y)=0的解集非空，若命题”坐标满足方程y)=0的点都在曲线C上”是假命

题，则下列命题为真命题的是()

A.坐标满足式工，y)=0的点都不在曲线C上

B.曲线C上的点的坐标不满足式x,y)=0

C.坐标满足_/U，y)=0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上

D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足火x,y)=0

(2)“以方程7U，＞)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是兀v,y)=0”的()

1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【反思】(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性.

(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对

应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.

【练习1-11分析下列曲线上的点与相应方程的关系：

(1)过点42,0)平行于y轴的直线与方程国=2之间的关系；

(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程孙=5之间的关系；

(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x+y=O之间的关系.

【探究2】曲线与方程的应用

【例1-2】已知方程*+(y—1)2=10.

(1)判断点P(l,-2),Q(巾,3)是否在上述方程表示的曲线上;

⑵若点在上述方程表示的曲线上，求〃?的值.

【反思】判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的定义，也可利用互为逆否关系的命题的真

假性一致判断.

【练习1-2】若曲线y2-孙+2%+4=0过点(a,—a)(aCR),求上的取值范围.

2

【探索3】求曲线的方程(求轨迹方程)

1-3](直接法)一个动点P到直线x=8的距离是它到点4(2,0)的距离的2倍.求动点尸的轨迹方程.

【反思】直接法求动点轨迹的关键及方法。

⑴关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.

(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步豚：建系、设点：根据

动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.

特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.

【练习1-3】等腰三角形底边的两个顶点分别是B(2,l),C(0,-3),则另一个顶点A的轨迹方程是()

A.x—2y+l=0(x#0)B.y=2x~\C.》+2/+1=0(>/1)D.x+2y+l=0(xr1)

【例1-4](相关点法)动点M在曲线/+尸=1上移动，例和定点8(3,0)连线的中点为P,求P点的轨迹方

程.

【反思】相关点法求解轨迹方程的步骤

⑴设动点P(x,y),相关动点M(xo,yo).

Xo=f[x,y),

(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系'

8=g(x,y)-

⑶代入相关动点的轨迹方程.

(4)化简、整理，得所求轨迹方程.

【练习1-4】已知圆C：*+。-3)2=9.过原点作圆C的弦OP,求OP的中点0的轨迹方程.

3

【练习1-51M为直线/：2x—y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且#=3两,

求动点尸的轨迹方程.

4

第二节椭圆

【知识2】椭圆的定义

椭圆的定义

(1)平面内到两个定点Fi,F2的距离之和等于常数(大于IRBI)的点的集合叫作椭圆.这两个定点叫作椭

圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P={|+=2a,2a>\F\F2\].

(3)2。与IQBI的大小关系所确定的点的集合如下表：

条件结论

动点的集合是椭圆

2a>|F1F2|

2a=\F\F^动点的集合是线段尸|尸2

2"尸周动点不存在，因此集合为空集

【探究1】椭圆定义的理解

【例2-1](1)下列命题是真命题的是.(将所有真命题的序号都填上)

①已知定点尸6(1,0)，则满足|PQ|+|PF2|=啦的点P的集合为椭圆；

②已知定点Fi(—2,0),F2(2,0),则满足|PQ|+|PBI=4的点P的集合为线段；

③到定点Q(—3,0),尸2(3,0)的距离相等的点的集合为椭圆.

(2)椭圆^+^=1上一点尸到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为()

A.5B.6C.7D.8

【反思】

(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.

(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.

(3)常数2。必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.

【练习2-1]在椭圆Y+V=l中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点尸2出发经椭圆反射后经过另一个焦点

R,再次被椭圆反射后又回到B，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为.

92

【练习2-2】设Q,尸2是椭圆方+：=1的两个焦点，尸是椭圆上的点，且IPFil：|PF2l=2：1,则△QPF2的

5

面积=.

【知识3】椭圆的标准方程

椭圆的标准方程

焦点位置焦点在X轴上焦点在y轴上

Wyr

标准方程宗+/=15>6>0)力+/=l(a*O)

肃

图像审

O\Fy)x

焦点坐标Fi(—c,0),F2(GO)Fi(O,—c),F2(0,C)

焦距2c

a,b,c的关系从=—

【温馨提示】根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标

判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中f项和V项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁

,22

上”.如方程为治+，=1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标Q(0,-1),F2(O,1),焦距IFiBI

=2.

【探索1】待定系数法

【例3-1】求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P,的椭圆的标准方程.

【练习3-1］求适合下列条件的椭圆的标准方程.

6

(1)椭圆的两个焦点坐标分别为Fi(—4,0),F2(4,0),椭圆上一点尸到两焦点的距离之和等于10；

(2)椭圆过点(3,2),(5,1)；

⑶椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1).

97

【练习3-2】求与椭圆++]=1有相同焦点，且过点(3,3~5)的椭圆方程.

【反思】(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为

nix1+ny1m>0,〃>0).

9?7,2,22

2

(2)与椭圆，+*=1(a>h>0)公共焦点的椭圆方程为序工+武_/=1(〃>方>。，A>—b)f与椭圆，+方=

7?

\(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为昌工=1(。>6>0,2>一廿).

【探索2】定义法

【例3-2】点P(—3,0)是圆C：f+y2-6x—55=0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，求圆心例

的轨迹方程.

【练习3-3】已知一动圆M与圆Ci：(x+3)2+V=l外切，与圆Q：(x-3)2+/=81内切，试求动圆圆心M

的轨迹方程.

7

【练习3-4】已知B,C是两个定点，|BC|=8,且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点4的轨迹方程.

【练习3-5］若△ABC的三边长a,h,c成等差数列，且6=6,求顶点B的轨迹方程.

【反思】椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.

定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.

常数2a必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.

【探索3】相关点法

【例3-3】如图，设定点A(6,2),P是椭圆点+?=1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.

【反思】求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法：

(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解.

8

⑵直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程.

（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程.

【方法小结】

1.平面内到两定点尸2的距离之和为常数，即|MQ|+|MF2l=2a,

当2a＞＞尸2|时,轨迹是椭圆;

当2"=内尸2|时，轨迹是线段人22；

当2aV|F|F2l时，轨迹不存在.

7222

2.所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点.在”+*=1与%+，=

72

1这两个标准方程中，都有〃＞比＞0的要求，如方程亍=1（机＞0,n＞0,机会〃）就不能确定焦点在哪个轴

22

上.分清两种形式的标准方程，可与直线截距式2+方=1类比，如5+/=1中，由于仇所以在X轴

上的“截距”更大，因而焦点在X轴上（即看％2,V分母的大小）.

3.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求

解.

【思考与提升11

【思考1-1］己知椭圆］+弓=1上有一点P,Q,F2是椭圆的左、右焦点，若为直角三角形，则这

样的点尸有（）

A.3个B.4个C.6个D.8个

【思考1-21P是椭圆器+5=1上一点，Fi，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PQHPF2l=12,则NQP3

的大小为一.

【思考1-3］已知椭圆盘+冬=13泌＞0）,M为椭圆上一动点，Q为椭圆的左焦点，则线段MQ的中点尸的

轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.线段D.直线

【思考1-4】设Fi，F2分别为椭圆方+尸=1的左、右焦点，点4,B在椭圆上，若户M=5&,则点A的坐

标是.

【思考1-5】设吊，B分别是椭圆各得=1的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，点例的坐标为（6,4）,则

IPM+F碎的最大值为.

【思考1-6】已知椭圆方+：=1的两个焦点为Q,F2,M是椭圆上一点，且|MQ|—=则△MQB

是（）

9

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形

【思考1-7］如图所示，△4BC的底边BC=12,其他两边A8和4c上中线的和为30,求此三角形重心G

的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程.

【知识4】椭圆的简单性质

椭圆的简单性质

焦点在X轴上焦点在y轴上

77

标准方程5+*=1(。泌>0)l(tz>/?>0)

J

Y

图形

Alp“AziX

焦点坐标(土c,0)(0,土C)

对称性以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形，以原点为对称中心的中心对称图形

A](—a,0),A2(^,0),4(0,—a),A2(0,d),

顶点坐标

Bi(0,-b)9&(0,b)S(f0),&s,o)

范围|x|Wa,|y|Wb|x|Wb,IM，

长轴、短轴长轴44的长为2a,短轴8i员的长为26

【温馨提示】椭圆的离心率

椭圆的焦距与长轴长度的比。称为椭圆的离心率，即:=e,因为a>c,故椭圆离心率e的取值范围为（0,1）,

当e趋近于1时，椭圆越扃，当e趋近于。时，椭圆越圆.

【探索1】讨论椭圆的简单性质

【例4-1】求椭圆/2』+4%2）,2=1（相>（））的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.

10

【练习4-1】求椭圆25*+16^=400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.

【练习4-2】已知椭圆『+(相+3»2=皿机＞0)，其焦距与长轴长的比值是坐，求团的值及椭圆的长轴长、

短轴长及顶点坐标.

【练习4-3】椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13),(—10,0),则焦点坐标为.

【探索2】利用简单性质求椭圆的标准方程

【例4-2】己知椭圆中心在原点，一个焦点为尸(一2小，0),且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方

程是.

【反思】此类问题应由所给的简单性质充分找出b,c所应满足的关系式，进而求出“，h,在求解时，

需注意椭圆的焦点位置.

【练习4-4］根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程:

(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2,-6)；

(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.

11

【练习4-5】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0),(0,2),则此椭圆的方程是

【练习4-6】焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10,焦距为4小，则椭圆的方程为

【探索3】求椭圆的离心率

【例4-3】设椭圆的左、右焦点分别为用，F2,过Q作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△FtPF2为等腰直

角三角形，求椭圆的离心率.

［反思］求解椭圆的离心率，其实质就是构建a,b,c之间的关系式，再结合加=/-/,从而得到外。之间

b2

的关系式，进而确定其离心率.【温馨提示：二级结论，过焦点作垂线与椭圆的交点为(土c,±—)】

a

【练习4-7】设椭圆C：，+普=13>6>0)的左、右焦点分别为Q,B，P是C上的点，PFiLFyFz，NPFE

=30。，则C的离心率为.

【练习4-81若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为—.

【练习4-91A为y轴上一点，Ft，B是椭圆的两个焦点，△AEB为正三角形，且AR的中点8恰好在椭

圆上，则此椭圆的离心率为.

12

【方法小结】

求椭圆离心率及范围的两种方法

（1）直接法：若已知a,c,可直接利用e=§求解.若已知a,b或〃，c可借助于/=〃+/求出c或a,再代

入公式e=^求解.

（2）方程法：若a,c的值不可求，则可根据条件建立a,h,c的关系式，借助于〃=序+/,转化为关于“，

c•的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次寐，得到关于e的方程或不等式，即可求

得e的值或范围.

【思考与提升2】

【思考2-1】若椭圆5+W=l的焦点在x轴上，过点（1,§作圆f+V=l的切线，切点分别为A,B,直线

AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是.

【思考2-2】设Q,&是椭圆氏，+冬=1（“》＞0）的左、右焦点，P为直线x=当上一点，△尸2PQ是底角

为30。的等腰三角形，则椭圆E的离心率为.

【思考2-3］已知椭圆C的上、下顶点分别为S，B2,左、右焦点分别为B，尸2,若四边形8产出/2是正

方形，则此椭圆的离心率e=.

【思考2-4］在aABC中，tanA=］1,B=£jr.若椭圆E以AB为长轴，且过点C,则椭圆E的离心率是一.

【思考2-5】已知椭圆盘+"=1（〃》＞0）的两个焦点分别为Q,F2,斜率为2的直线/过左焦点P且与椭圆

的交点为A,B,与y轴的交点为C,且B为线段CK的中点，若因W半，求椭圆离心率e的取值范围.

/，b+c

【思考2-6］已知C是椭圆，+方=1（心Q0）的半焦距，则丁的取值范围是.

【思考2-7】设为，6分别是椭圆E：5+1=13＞心0）的左、右焦点，过点Q的直线交椭圆E于A,B

两点,\AF]\=3\F}B\.

13

(1)若|AB|=4,△ABB的周长为16,求HBI;

3

(2)若COS/4F2B=5，求椭圆E的离心率.

【知识5】点与椭圆的位置关系

92

P(M),州)与椭圆，+*=15>">0)的位置关系的判定

当P在椭圆外时,料勒；

当P在椭圆上时，知a；

72

当P在椭圆内时，

92

【例5】点A(a,l)在椭圆亍+，=1的内部，则a的取值范围是()

A.-yf2<a<^2B.a<一小或心血C.-2<a<2D.一IVaCl

14

【知识6】直线与椭圆的位置关系

判断直线和椭圆位置关系的方法：

7,2

直线y=kx+m与椭圆7+方=l(a>b>0)的位置关系的判断方法

y—kx+m,

{消去y,得关于x的一元二次方程・

当/>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；

当/=0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；

当/V0时，方程无解，直线与椭圆相离.

【例6】对不同的实数”，讨论直线产x+,〃与椭圆上+尸=1的位置关系.

【练习6-1】已知直线/：x+y—3=0,椭圆Y+V=l,则直线与椭圆的位置关系是()

A.相交B.相切C.相离D,相切或相交

【练习6-2】在平面直角坐标系xOy中，经过点(0,啦)且斜率为女的直线/与椭圆5+尸=1有两个不同的

交点P和。，求人的取值范围.

【练习6-3】已知以Q(—2,0),尸2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+小y+4=0有且仅有一个公共点，则椭圆的

长轴长为,

15

【知识7】弦长公式

77

设直线/:y=fcc+皿原0,相为常数)与椭圆相交，两个交点为A(xi,y),8(x2,m)，

则线段AB叫作直线/截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫作弦长.弦长公式:\AB\=

2

7(X1-二)2+("1一辰2)2==3-=)2+后(乃一二)2="1+后枚]-X2|,而\X]一对=yjU1+^2)~4%1X2,所以

\AB\1+/C-yJ(x\+x2)2~4x\X2,其中即+也与川及均可由根与系数的关系得到.

【例7]已知椭圆4/+5产=20的一个焦点为F,过点尸且倾斜角为45。的直线I交椭圆于4,B两点，求

弦长|A5].

【反思】求解弦长时，需正确记忆公式内容，其次，准确得到X|+12和乃12的值.

【练习7-1】椭圆9+丁=1被直线x—y+l=0所截得的弦长|A8|=.

【练习7-2】椭圆5+W=l(a>b>0)的离心率为坐，且椭圆与直线x+2y+8=0相交于P,。两点，若|PQ|

=4而，求椭圆方程.

【知识8】中点弦问题

【例8】已知椭圆的方程是/+2丁-4=0,则以为中点的弦所在直线的方程是()

A.x+2y—3=0B.2r+y—3=0C.x—2y+3=0D.2x—y+3=0

【反思】解决椭圆中点弦问题的三种方法

(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系

数的关系以及中点坐标公式解决.

16

(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，将点的坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标

和斜率的关系.

(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(M),州)，设其一交点为A(x,y),则另一交点为8(2必一

x,2y0—y),

捻+2,

则

(2XQ-X)2,(2y()~j)2.

,a2+lr

两式作差即得所求直线方程.

2

【练习8-1］已知椭圆C：，A+v方=l(”>b>0)的离心率为竽，四个顶点构成的四边形的面积为12,直线/与椭

圆C交于A,8两点,且线段AB的中点为M(—2,1),则直线/的斜率为()

A.1B.|C.；D.1

【练习8-2】已知椭圆「：二+m=1(.>/,>0)的离心率为白，三角形ABC的三个顶点都在椭圆「上，

设它的三条边A3、BC、AC的中点分别为。、E、F,且三条边所在直线的斜率分别匕、&、匕，

且占、修、勺均不为0。为坐标原点，若直线8、OE、。尸的斜率之和为1，则;+'+/-=_____.

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【知识9】直线与椭圆的综合问题※

【探索1］椭圆中的最值(或范围)问题◎

【例9-1】已知椭圆4/+V=l及直线y=x+〃7.

(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数〃?的取值范围;

(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.

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2,2

【练习9-1】已知动点P(x,y)在椭圆=+汽=1上，若点A的坐标为(3,0),|AM=1,且丽•4M=0,求|户防

I的最小值.

【练习9-2】已知A,B是椭圆5+3=13—)长轴的两个端点，M,N是椭圆上关于x轴对称的两点，

直线4M,BN的斜率分别为％”42也必彳0)，若椭圆的离心率为坐，则由|+|切的最小值为.

【练习9-3]已知椭圆，+£=l(a＞匕＞0)的离心率为坐，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为啦

+1.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点C(〃?,0)是线段。尸上异于O,F的一个定点(。为坐标原点)，是否存在过点尸且与x轴不垂直的直

线/与椭圆交于A,B两点，使得|AC]=|8C|,并说明理由.

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22

【例9-2】6、入分别为椭圆c：]+4=1的左、右焦点，P是C上的任意一点.则|尸耳|・|尸居|的

最大值为，若40,46)，则的最小值为,

【反思】求最值问题的基本策略

⑴求解形如陷I+IPBI的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时+|PB|

取得最值.

(2)求解形如|附|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.

(3)求解形如ax+by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.

(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.

【练习9-4】已知F]为椭圆5/+9V=45的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点,A(1,1)为椭圆内一点，

则归制+|例的最小值为.

【练习9-5】已知AB为圆。：f+y2=i的直径，点p为椭圆三+工=1上一动点，

-43

则EV的最小值为.

【练习9-6】设耳,工分别是椭圆』+m=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4),贝IJ

2516

PM+PFt的最大值为.

【练习9-7】已知点"在圆—6)2+(y—4)2=1上，点尸在椭圆卷+5=1上，入_3,0)，则皿*|

的最小值为.

22

【练习9-81点P在椭圆二+匕=1上运动，点A,B分别在x2+(y-4)2=16和x2+(y+4)2=4上运动，则|PA|+|PB|

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的最大值为一.

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【探索2】椭圆中的定点、定值问题©

定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、"定值''是多少，或者将该问题涉及

的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值

之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现

【例9-3】在AABC中，B(--,0)>C(逑,0)，其周长是6+3&，。是的中点，T在线段A。

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上，满足力4=—270.

(1)求点T的轨迹£的方程；

(2)若M(以0)(0<m<I),N(〃,0)在0。的延长线上，过点〃的直线交轨迹后于P,。两点，直线QN

与轨迹E交于另一点R,若(MP+MR)PR=0,求相〃的值.

20

22

【练习9-9】已知P,Q是椭圆E:-+=1（。>b>0）上关于原点。对称的任意两点，且点P,Q都不在x

轴上.

（1）若。（。,0）,求证：直线PD和QO的斜率之积为定值;

（2）若椭圆长轴长为4,点A（0,l）在椭圆E上，设M,N是椭圆上异于点A的任意两点，且AM_L4V.

问直线MN是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

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-'2—T=1（〃>〃>0）p---尸

【例9-4】设椭圆C：#b-的左，右焦点分别为6,其离心率为2,过/的直

线/与C交于48两点，且4468的周长为4近.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的上顶点为P,证明：当/的斜率为1时，点P在以A6为直径的圆上.

3

【练习9-10］已知椭圆C：=+3=1（。>。>0）的左，右顶点分别是4，A,,右焦点为F,直线/：

cTb~

云-羽+氐。=0与以线段442为直径的圆相切・

（1）求椭圆c的离心率；

（2）设点P（也,%）（%>0）在椭圆C上，且/7=1,求打的值•

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【例9-5］已知椭圆C：滔+京(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正

三角形.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设尸为椭圆C的左焦点，直线/：x=-3,尸为椭圆上任意一点，证明：点P到尸的距离是点尸至1J/距

离的半倍.

3

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【练习9-11】设耳、鸟为椭圆+方=13>0)的左右焦点，“为椭圆上一点，满足“6，岫，已

知三角形M与工的面积为1.

(1)求C的方程：

(2)设C的上顶点为H,过点(2,-1)的直线与椭圆交于R、S两点(异于"),求证：直线HR和HS的斜率之

和为定值，并求出这个定值.

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【提升与思考3】

【思考3-1】设尸1，尸2分别是椭圆E：W+gfOVXl）的左、右焦点，过点Q的直线交椭圆E于A,B

两点.若HQ|=3|QB|,ABLv轴，则椭圆E的方程为.

【思考3-2】已知椭圆C：，+V=i的右焦点为凡直线/：》=2,点AG/,线段A尸交C于点8,若放=

3而,则丽=.

【思考3-3］已知椭圆E：，+3=13＞方＞0）过点尸（2,小），且它的离心率为宏

⑴求椭圆E的标准方程；

（2）与圆。-1）2+＞2=1相切的直线/：y=Ax+/acR,，GR）交椭圆E于M,N两点，若椭圆E上一点C满

足肉+苏=2沆（0为坐标原点），求实数2的取值范围.

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【思考3-4】点4（1,2）在椭圆根+匕v=1内，尸是右焦点，P是椭圆上动点，则PA+2PF的最小值是

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第三节双曲线

【知识10］双曲线的定义

【双曲线的定义】平面内与两个定点Q,B的距离的差的绝对值等于非零常数（小于内尸2|）的点的轨迹叫

做双曲线.

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；

注意：

1.关于“小于历尸2|”：①若将"小于国局"改为"等于|尸国|"，其余条件不变,则动点轨迹是以Fl,

B为端点的两条射线（包括端点）；②若将“小于IQBI”改为“大于IFiBI”，其余条件不变，则动点轨迹

不存在.

2.若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支.

3.若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段QB的中垂线.

【例10】⑴若双曲线E：，一代=1的左、右焦点分别为吊，尸2,点尸在双曲线E上，且|PB|=3,则|P三|

等于.

（2）设Q,尸2分别是双曲线f一方=1的左、右焦点，尸是双曲线上的一点,且31PBi=4|尸尸2|，则△PQ&

的面积等于L

【反思】焦点Q,B的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型焦点跟着正项走”，

若f项的系数为正，则焦点在x轴上；若）2项的系数为正，那么焦点在y轴上.双曲线的焦点位置不确定

时可设其标准方程为AV2+B/=1（/1B<0）.

【练习10-1】已知尸］（一8,3）,尸2（2,3）,动点P满足IPFiLIP尸2|=10,则尸点的轨迹是（）

A.双曲线B.双曲线的一支C.直线D.一条