高二数学下册课时调研检测试题13

课时作业(二十五)[第25讲正、余弦定理及其应用][时间：45分钟分值：100分]eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b＝________.2．在△ABC中，已知a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，则最小的内角为________．3．在△ABC中，已知sinA＝2sinBcosC，则该三角形的形状为________．4．在△ABC中，若S△ABC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，那么角C＝________.eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积是________．6．在△ABC中，已知a＝18，b＝20，A＝150°，则△ABC解的情况是________．7．[2011·苏北四市一调]在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinA＝eq\r(3)sinC，B＝30°，b＝2，则△ABC的面积是________．8．在△ABC中，已知cosA＝eq\f(5,13)，sinB＝eq\f(3,5)，则cosC的值为________．9．已知△ABC中，∠A＝60°，a＝eq\r(3)，则eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________.10．若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，则△ABC的形状是________．11．[2012·镇江模拟]在△ABC中，若AB＝AC，则cosA＋cosB＋cosC的取值范围为________．12．[2012·江西六校联考]在三角形ABC中，A，B，C是其三个内角，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，c＝2，C＝eq\f(π,3)，记m＝(sinC＋sin(B－A)，2)，n＝(sin2A,1)，若m与n共线，则△ABC的面积为________．13．(8分)在△ABC中，C－A＝eq\f(π,2)，sinB＝eq\f(1,3).(1)求sinA的值；(2)设AC＝eq\r(6)，求△ABC的面积．14．(8分)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．15．(12分)[2011·苏州一模]在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求A；(2)若B－C＝90°，c＝4，求b.(结果用根式表示)16．(12分)[2011·南京三模]已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且acosC＋ccosA＝2bcosB.(1)求角B的大小；(2)求sinA＋sinC的取值范围．

课时作业(二十五)【基础热身】1．5eq\r(6)[解析]由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得，b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(10sin60°,sin45°)＝5eq\r(6).2．30°[解析]大边对大角，小边对小角，所以边c所对的角最小，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(3),2).又因为C∈(0，π)，所以最小角C＝30°.3．等腰三角形[解析]由正弦定理及余弦定理，得eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，所以eq\f(a,b)＝2·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，整理得b2＝c2，因为b>0，c>0，所以b＝c.因此，△ABC为等腰三角形．4.eq\f(π,4)[解析]根据三角形面积公式得，S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，∴sinC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).又由余弦定理：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∴sinC＝cosC，∴C＝eq\f(π,4).【能力提升】5．9eq\r(3)[解析]由条件易得A＝B＝30°，所以b＝a＝6，S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×6×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3).6．无解[解析]∵b＞a，∴B＞A.而A＝150°，B为钝角不可能，所以无解．7.eq\r(3)[解析]由sinA＝eq\r(3)sinC，得eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)＝eq\r(3)⇒a＝eq\r(3)c，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3),2)⇒a＝2eq\r(3)，c＝2，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\r(3).8.eq\f(16,65)[解析]由已知可得sinA＝eq\f(12,13)，sinA>sinB，由于在△ABC中，由sinA>sinB⇔A>B知角B为锐角，故cosB＝eq\f(4,5)，所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝eq\f(20,65)－eq\f(36,65)＝－eq\f(16,65)，故cosC＝eq\f(16,65).9．2[解析]设eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝k(k>0)，则有a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，从而eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(ksinA＋ksinB＋ksinC,sinA＋sinB＋sinC)＝k，又eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(3),sin60°)＝2＝k，所以eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2.10．等腰直角三角形[解析]在△ABC中，由正弦定理：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)得：eq\f(sinA,2RsinA)＝eq\f(cosB,2RsinB)＝eq\f(cosC,2RsinC)，∴eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(sinC,cosC)＝1.∴tanB＝tanC＝1，∴B＝C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．11.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))[解析]由于AB＝AC，所以b＝c，由余弦定理得cosA＋cosB＋cosC＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋2·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2＋eq\f(a,b)＋1＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)－1))2＋eq\f(3,2)，由于b＋c>a，即2b>a，所以0<eq\f(a,b)<2，于是1<－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)－1))2＋eq\f(3,2)≤eq\f(3,2).12.eq\f(2\r(3),3)[解析]∵m与n共线，∴sinC＋sin(B－A)－2sin2A＝0，sin(A＋B)－sin(A－B)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.当cosA＝0时，A＝eq\f(π,2)，B＝eq\f(π,6)，a＝eq\f(4\r(3),3)，b＝eq\f(2\r(3),3)，S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(2\r(3),3).当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a由c2＝a2＋b2－2abcosC得4＝a2＋b2－ab，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,b＝2a.))解得a＝eq\f(2\r(3),3)，b＝eq\f(4\r(3),3).S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(2\r(3),3).所以△ABC的面积为S＝eq\f(2\r(3),3).13．[解答](1)由C－A＝eq\f(π,2)和A＋B＋C＝π，得2A＝eq\f(π,2)－B,0<A<eq\f(π,4).故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝eq\f(1,3)，sinA＝eq\f(\r(3),3).(2)由(1)得cosA＝eq\f(\r(6),3).又由正弦定理，得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，BC＝eq\f(sinA,sinB)·AC＝3eq\r(2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC·sinC＝eq\f(1,2)AC·BC·cosA＝3eq\r(2).14．[解答](1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA.故cosA＝－eq\f(1,2)，A＝120°.(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝eq\f(3,4).又sinB＋sinC＝1，得sinBsinC＝eq\f(1,4)，解得sinB＝sinC＝eq\f(1,2).因为A＝120°，所以0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B＝C＝30°.所以△ABC是等腰钝角三角形．15．[解答](1)由条件，得(b＋c)2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).∵0°<A<180°，∴A＝60°.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B＋C＝120°，,B－C＝90°))得B＝105°，C＝15°.由正弦定理得eq\f(b,sin105°)＝eq\f(4,sin15°)，即b＝eq\f(4sin105°,sin15°)，∴b＝4tan75°，∵tan75°＝tan(45°＋30°)＝eq\f(1＋tan30°,1－tan30°)＝2＋eq\r(3)，∴b＝8＋4eq\r(3).16．[解答](1)方法一：由acosC＋ccosA＝2bcosB及余弦定理，得a×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c×eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝2b×eq\f(a2＋c2－b2,2ac).化简，得a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，因为B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).方法二：由acosC＋ccosA＝2bcosB及正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，即sin(A＋C)＝2sinBcosB，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB≠0，所以cosB＝eq\f(1,2).因为B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).(2)sinA＋sinC＝sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝eq\f(3,2)sinA＋eq