高中数学-独立重复试验与二项分布教学设计学情分析教材分析课后反思

《独立重复试验与二项分布》课标分析

1、本节课的《课程标准》内容标准要求如下：

在具体情景中，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能

解决一些简单的实际问题。

2、从知识分类、认知水平、学科内涵三个维度对《课程标准》要求

分解如下：

知识分类：概念性知识、事实性知识、程序性知识；

认知水平：理解。并有解释、推断、归纳、总结、比较、分类等

行为动词；

学科内涵：独立事件；n次独立重复试验概念产生及含义；二项

分布公式的推导；二项分布模型或具有二项分布背景的问题的转化。

3、根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本节课的教学

目标如下：

知识与技能目标：

能够从具体实例中归纳总结出n次独立重复试验的概念，并准确

描述概念特征；通过由特殊到一般的引例分析，总结n次独立重

复试验概率计算的规律，总结出二项分布的形式；

过程与方法目标：

能解决与课本例题同等难度或通过对问题进行观察、对比和交流

讨论，能把问题化归为二项分布问题进行解决；

情感态度价值观目标：

通过经历对实际问题的解答，感受数学的应用价值，体会数学来

源于生活并应用于生活。

《独立重复试验与二项分布》学情分析

在学习本节课之前，学生已经了解了概率的意义，掌握了等可能

事件、互斥事件有一个发生和相互独立事件同时发生的概率计算方法

以及分布列等有关内容，也已经具备了一定的抽象、归纳和数学建模

能力。

学习本节课需要学生从两个独立事件到n个独立事件的过渡，需

要由特殊到一般的抽象概括能力，这些可以由学生通过自己努力消除,

但是从复杂的实际背景中抽象出数学模型对于学生来说还是比较困

难的，需要教师的正确引导。

依据《课程标准》的要求以上学情分析确定本节课的教学重难点

如下：

教学重点：独立重复试验、二项分布模型的构建及应用二项分布模型

解决一些简单的实际问题；

教学难点：二项分布概率模型的构建。

《独立重复试验与二项分布》观评记录

课题独立重复试验与二项分布授课教师

评课教师李向清总评优

教学过程：简要评析：

【课前游戏】

在学习本节课内容之前，我们先来玩一个抽奖游戏吧！游戏规则如下：声音清晰，台风自然

我手里的口袋中有3个白球，2个黄球，现一次性从中抓出3个球，

看其中黄球的个数，若其中恰有一个黄球为三等奖，恰有两个黄球为课前游戏的设置让学生

二等奖，若没有黄球则为一等奖，来试试你的手气吧！很兴奋，使得本节课有

【问题引入】一个良好的轻松的开

头。

问题1：

请问抓到奖的同学，你能否运用你所学概率知识来求一下你抓到这个

问题1帮助学生回顾前

奖的概率是多少？如果抓出三个球中黄球个数为随机变量，那么它服

从的是什么分布？面知识，问题2又让学

生面临未知知识，过渡

问题2：

自然流畅，让学生不自

还是这个口袋中的这几个球，如果我依次从中有放回的抓出3个球，

觉就产生思考。

其中恰有一个黄球的概率是多少呢？如何计算？

【概念形成】

对于上面提出的问题3,学生应该是没办法直接给出解答的，因此给由浅入深，启发得当

予学生充分时间讨论，然后引导学生形成独立重复试验的概念，再进

语言描述到位，逻辑严

行解答。

谨，学生知识储备很足。

独立重复试验定义：

师生互动好，课堂利用

在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验结果相互独立，一般高效。

称它们为n次独立重复试验。

从中提炼关键词：

相互独立、等可能性、重复性

生活中蕴含的概率知识

【生活实例】

丰富多样，学生能很快

问题3：

举出几个相关例子，老

生活中有很多类似的独立重复试验，你能否举几个例子？师又及时补充辨析例

题，帮助学士建立扎实

【深化探究】

的概念基础，处理得当。

回到刚才的问题2,

如果第一次是黄球，后两次都是白球，概率应该是*

555125

深化探究很顺利，大部

还有第二次或第三次是黄球的两种情况，概率计算方法同上。

3分都是由学生自己探究

我们可以看到这三种情况的概率都是一样的，都是一个一乘以两个

5

出，并层层递进的，很

所以可以合起来3x2xf。）

精彩，这也说明教师对

学生学情把握到位，学

另外3可以写成C；,因为三种情况的产生实际上就是三个位置选出

生素质较好

一个放黄球。

因此所求概率为G*|x

那么三个球中恰有两个黄球的概率也能类比给出，继续思考如下问

题：

问题4：

若随机变量X表示黄球个数，你能否列出X的分布列？

【模型建构】由特殊到一般的思想是

本节课的思路主线，没

问题5：

有生硬的生搬硬套，而

问题推广：如果有放回的依次摸出n个球，其中黄球数X的分布列如是设置学生容易理解的

何求？

几个小的问题帮助形成

为了让学生有思路可循，我提出如下思考帮助学生解决问题。

认识，说明教师对学生

思考1：摸出的n个球中黄球数X的所有可能取值有哪些？了解很深入，平日中的

默契已经形成，这样的

思考2：每一次摸出黄球的概率是多少？

推广顺其自然，知识形

思考3：摸出的n个球中有1个黄球的概率是多少？

成很是顺畅。

思考4：摸出的n个球中有k个黄球的概率是多少？

解决以上几个问题后，学生能顺利写出X的分布列，并从中发现概率

与二项展开式的关系，进而提出伯努利概型和二项分布的定义。

若随机变量X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数，每次

试验中事件A发生的概率都为p,那么在n次独立重复试验中事件A

恰好发生k次的概率为：

必才=8=2/(1-"-*k=W，...n

于是得到随机变量X的概率分布，

此时我们称随机变量X服从参数为n,p的二项分布数学文化的渗透是本节

课的亮点之一，对数学

记作：X~B(n,p)

家的简单介绍让学生发

【数学文化】

学生也许会疑惑为什么二项分布用字母B来表示，从这里对数学家雅出阵阵惊叹，甚至还有

各布•伯努利进行简单介绍。一名学生对他有更多的

雅各布•伯努利献是在概率论研究方面；他一生最有创造力的著

作就是1713年出版的《猜度术》；了解，说明学生素质很

伯努利家族是一个数学家辈出的家族。棒，课堂所学内容在此

除了雅各布•伯努利外，在17-18世纪期间，伯努利家族共产

有了一个升华。

生过11位数学家。

【知能达标】

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相

互独立的，遇到红灯的概率都是1/3,求这名学生在上学路上遇到红灯规范的表达是数学的简

次数的分布列.

X洁美，教师总结的四个

学生上黑板板书，教师巡视。步骤学生很容易记住，

很是简洁,。

学生做完后我对板演进行点评，并从此题的解题过程中提炼出如下几

点：

判概型；定参数、写概率、分布列

这样的几个过程在解决相应求分布列问题是需要依次思考的，通过强

调帮助学生建立规范答题的意识。

【随堂检测】

4

(1)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为m，那么播下3粒

课堂练习及时，但学生

种子恰有粒发芽的概率是一；

2全作对的人数少，是因

(2)已知随机变量X服从二项分布X~8(6上),则尸(X=3=为时间不充裕，还是对

2

课堂内容理解不到位，

.

(3)抛掷一枚骰子3次，得到点数为6的次数记为X,则或者计算能力达不到，

P(X>D=______；这些应该课后继续调

(4)在五次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不小研，帮助形成对学情准

于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取

值范围是______；确的把握，为后面的课

(5)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为白，乙堂做好铺垫。

2

2

每次击中目标的概率为一，求甲恰好比乙多击中目标2次的概率

3

在结束课程时让学生小

【归纳小结】

知识上：了解独立重复试验的定义，并学会了通过看三个特征来判断结，不仅仅总结知识，

一个试验是不是独立重复试验；明确伯努利概型的定义，符合这个概更重要的是总结数学思

型下的随机变量的分布列叫做二项分布；

方法上：由特殊到一般的数学思想，以及解题四步走。想方法。有助于帮助学

【课后作业】生养成良好的学习习

巩固与提高：课本练习、B

P56-574惯，非常好。

探索与研究：研究高尔顿(钉)板与二项分布的关系.

作业分层设置，符合因

材施教的要求。最后思

考题的设置也是一大亮

点，可以让学生挑战自

己，同时也为下一节课

的教学提供良好的知识

基础。

总评：

本节课整体思路设计合理，启发教学，师生互动较好，教师素质优，学生知识储备也很足，使

得探究过程循序渐进，水到渠成。作为年轻教师来说，老师台风稳，语言精练，与学生交流顺

畅，并注重教学环节的紧凑性，同时在渗透数学思想方法上下了很大功夫，教学过程非常流畅，

可以说是非常优秀的。

每堂课呈现出来都能够曝露出来问题，这样我们才会在不断解决问题的过程中不断进步，这节

课同样存在着一些不足之处，在课堂中提出问题后给学生留的思考时间并不是很充分，这样也

许就限制了一部分同学的思维，导致自己没探究只等老师讲的现象，另外，在本节课的新知探

究过程速度稍快，这样学生对新知识的消化程度可能就不会特别好，也许会在后面的教学中显

露出问题，这是需要注意的几点。

《独立重复试验与二项分布》教材分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学2-3》（选修）（人教B版）

第二章第二节第三课时的内容，是在学习了互斥事件概率、条件概率、相互独立

事件概率及超几何分布等内容的基础之上进行的，其主要内容是n次独立重复试

验的模型这一概念性知识和二项分布应用这一程序性知识，而本课时之后的内容

主要是研究离散型随机变量的期望与方差，并运用离散型随机变量的期望与方差

来解决实际问题。本节课内容从前面的知识中得出n次独立重复试验的模型，并

以此为基础导出二项分布的概念及计算公式，所以本节课内容是随机变量及其分

布列中承前启后的内容。

n次独立重复试验的模型和二项分布概念的形成都是通过实际问题的直观

含义和具体计算结果的对比得出的，其中蕴含了丰富的数学思想，即“特殊到一

般”、“分类与整合”等数学思想。学生可以通过对实际问题的观察、分析、类比、

归纳体悟概念知识的发生发展过程，帮助学生进一步理解n次独立重复试验的模

型和二项分布的概念，同时进一步让学生体会数学问题既源于实际又应用于实际。

《独立重复试验与二项分布》教学设计

教学环节教学内容师生互动设计意图

在学习本节课内容之前，我们先来玩一个抽学生对这种摸

奖游戏吧！游戏规则如下：我手里的口袋中球游戏非常感

【课前游戏】有3个白球，2个黄球，现一次性从中抓出学生上前来抓兴趣，上课前的

3个球，看其中黄球的个数，若其中恰有一球，摸出球对应紧张状态一扫

个黄球为三等奖，恰有两个黄球为二等奖，的奖项有相应而光，于是本节

若没有黄球则为一等奖，来试试你的手气奖品课有着非常热

吧！闹的开端，学生

思维也较为放

松。

问题1：在轻松的游戏

过后，通过问题

请问抓到奖的同学，你能否运用你所学概率让学生的思维

知识来求一下你抓到这个奖的概率是多回到课堂中来，

少？如果抓出三个球中黄球个数为随机变引导学生先运

量，那么它服从的是什么分布？用前面所学知

请抓奖的同学

识解决问题1、

回答问题，其他

2,进行简单的

【问题引入】

同学也进行思知识回顾，同时

问题考

2：紧接着问题3又

将学生引入到

还是这个口袋中的这几个球，如果我依次从

对未知问题的

中有放回的抓出3个球，其中恰有一个黄球

探究中来，不自

的概率是多少呢？如何计算？

觉的开始本节

课的思考。

对于上面提出的问题3,学生应该是没办法问题的解决并

直接给出解答的，因此给予学生充分时间讨不是由教师手

论，然后引导学生形成独立重复试验的概学生进行小组把手教出来的，

念，再进行解答。交流，形成对独而是学生面对

【概念形成】立重复试验概困惑独立探究

独立重复试验定义：念的理解后顺进而接近问题

利解决问题3.本质的过程，一

在相同的条件下，重复地做n次试验，各次定不能由老师

试验结果相互独立，一般称它们为n次独立全权代劳，所

重复试验。以，问题抛出

后，给足学生讨

从中提炼关键词：论时间，让学生

在互相交流中

相互独立、等可能性、重复性

感受知识形成。

引发学生观察

生活细节，体会

【生活实例】问题3：知识来源于生

活，感受到所学

生活中有很多类似的独立重复试验，你能否学生思考后发知识的有趣及

举几个例子？言有用之处。

回到刚才的问题2,

如果第一次是黄球，后两次都是白球，概率

…口23318

应该是一x—x—=---

555125

还有第二次或第三次是黄球的两种情况，概

率计算方法同上。

我们可以看到这三种情况的概率都是一样

学生交流后发这个问题的解

的，都是一个三乘以两个上，所以可以合起

言，在这个过程决是本节课难

55

中体会思路的点的突破点，因

来3。0形成及问题解止匕，这里的处理

【深化探究】决的过程。做的很细，每一

步的概率如何

另外3可以写成C；,因为三种情况的产生求解以及为什

实际上就是三个位置选出一个放黄球。么都要让学生

准确理解，这

样，接下来的问

2(3丫

因此所求概率为C；x士x?题便能迎刃而

5⑸

解了。

那么三个球中恰有两个黄球的概率也能类

比给出，继续思考如下问题：

问题4：

若随机变量X表示黄球个数，你能否列出X

的分布列？

问题5：

问题推广：如果有放回的依次摸出n个球，

其中黄球数X的分布列如何求？

【模型建构】

为了让学生有思路可循，我提出如下思考帮

助学生解决问题。

思考1：摸出的n个球中黄球数X的所有可问题5的设置是

能取值有哪些？由特殊到一般

学生思考几个的数学思想的

思考2:每一次摸出黄球的概率是多少？小问题，进而从体现，学生由特

中体会每一步殊推广到一般

思考3：摸出的n个球中有1个黄球的概率设置的意义，体的能力不强，所

是多少？悟知识形成的以拆分几个小

过程的思考题帮助

思考4：摸出的n个球中有k个黄球的概率学生进行探究，

是多少？在这样的设置

下，相信学生不

解决以上几个问题后，学生能顺利写出X的

仅能顺利解决

分布列，并从中发现概率与二项展开式的关问题，并且还能

系，进而提出伯努利概型和二项分布的定从中感受到问

义。题解决的方法

与途径，体会其

若随机变量X表示n次独立重复试验中

中渗透的数学

事件A发生的次数，每次试验中事件A发生

思想，学习能力

的概率都为p,那么在n次独立重复试验中

有相应提高。

事件A恰好发生k次的概率为：

P(X二八以飞—甲"=0,1,2,

于是得到随机变量X的概率分布，

此时我们称随机变量X服从参数为n,p

的二项分布

记作：X~B(n,p)

学生也许会疑惑为什么二项分布用字母B来

表示，从这里对数学家雅各布・伯努利进行学生对伯努利

简单介绍。的了解较少，通

大屏幕展示伯

雅各布•伯努利献是在概率论研究方过简单介绍伯

努利的照片及努利对概率论

面；他一生最有创造力的著作就是1713年

【数学文化】生平简介，为学

出版的《猜度术》；的巨大贡献，让

生简单介绍。

伯努利家族是一个数学家辈出的家族。学生体会到知

识来之不易，体

除了雅各布•伯努利外，在17-18世

会数学家的伟

纪期间，伯努利家族共产生过11位数学家。

大，了解数学的

美，渗透数学文

化。

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在通过这个环节

各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红的设置，不仅帮

灯的概率都是1/3,求这名学生在上学路上助学生及时应

遇到红灯次数X的分布列.用所学知识，并

【知能达标】学生板演，教师且还建立规范

学生上黑板板书，教师巡视。巡视并指导。答题的意识，在

思路和书写上

学生做完后我对板演进行点评，并从此题的都有所提高。

解题过程中提炼出如下几点：

判概型；定参数、写概率、分布列

这样的几个过程在解决相应求分布列问题

是需要依次思考的，通过强调帮助学生建立

规范答题的意识。

(1)某一批花生种子，如果每1粒发芽的

4

概率为一，那么播下3粒种子恰有2粒发芽

5

的概率是一;

(2)已知随机变量X服从二项分布

X-B(6,-),则P(X=3=_____;通过这几个小

2

题从本节课所

(3)抛掷一枚骰子3次，得到点数为6的

【随堂检测】学知识点的各

次数记为X,则P(X>D=______;个方面对学生

进行考察，及时

(4)在五次独立重复试验中，随机事件A

反馈本节课所

恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次

学知识，了解学

的概率，则事件A在一次试验中发生的概率

生掌握情况，以

p的取值范围是______；

便后面对教学

(5)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次

进行及时调整。

击中目标的概率为白，乙每次击中目标的概

2

率为2,求甲恰好比乙多击中目标2次的概

3

率_______.

知识上：了解独立重复试验的定义，并学会通过回顾本节

了通过看三个特征来判断一个试验是不是课内容并用自

独立重复试验：明确伯努利概型的定义，符己的语言来总

合这个概型下的随机变量的分布列叫做二结，锻炼学生的

【归纳小结】项分布；学生思考并组语言表达能力，

方法上：由特殊到一般的数学思想，以及解织语言回答并帮助学生再

题四步走。一次回顾所学

知识，及时巩

固。

巩固与提高：课本P56-57练习4、B课后题目的练

探索与研究：研究高尔顿(钉)板与二项习加深对本节

分布的关系.课内容的理解；

探索与研究又

【课后作业】为有能力同学

提供进一步探

究的平台，帮助

学生有适合自

己的发展。

《独立重复试验与二项分布》效果分析

通过课后对所学知识进行进一步的评测，对于学生学习情况有如下结

论：

(1)对独立重复试验的概念与特征把握较好；

(2)对伯努利概型理解还不够深刻，在解决问题需要判断概型的时

候遇到问题；

(3)计算能力需要进一步提高。

通过测评，学生成绩如下表(学生成绩不公开，姓名处以序号展示)：

姓名成绩姓名成绩

1921992

28820100

3792189

4922284

58923100

6832483

7802585

8862694

9932782

10932886

111002976

12893089

13793193

14963281

15733380

16893488

17903595

18793696

试题难度系数0.83.

根据以上测评，需要进一步加强的地方是：

1、对概型的准确判断需进一步练习；

2、由特殊到一般的数学思想需要进一步渗透;

3、计算能力通过加强练习来进一步提高。

《独立重复试验与二项分布》课后反思

新课程强调对数学的认识和理解，无论是基础知识、基本技能的

教学，还是数学的应用教学，都要帮助学生更好地认识数学的思想和

本质，这首先应体现在对基本概念和基本思想的理解和掌握上。数学

概念是抽象的，通过设置合理的问题情境可以有效地帮助学生认识概

念的本质属性，对于不容易理解的概念可采用分阶段逐步渗透的办法

来解决，比如在引入概念后再加强辨析训练，在数学概念教学中，要

搞清概念之间的顺序，了解概念之间的内在联系。学生对数学概念的

认识，也需要随着数学学习的程度的提高，由浅入深，逐步深化。教

学时既要注意教学的阶段性，不能把后面的要求提到前面，超越学生

的认识能力；又要注意教学的连续性，教前面的概念要留有余地，为

后继教学打下伏笔。

本节课的教学中还存在着很多不足，从中体会深刻的一点是在备

课时要精心预设，课前尽可能预计和考虑学生学习活动的各种可能性,

减少低水平和可预知的生成，激发高水平和精彩的生成，课堂是个动

态的过程，学生的状态、能力、情感等随时在变化，这就需要教师在

教学过程中随机应变，并不断进行调整。因为对课堂预设的不足，在

本节课开始时学生回答不上问题以及课堂最后的当堂检测学生做的

效果不好等等，这些问题都是由于课前准备不够充分，对学生把握不

够到位造成的，这些问题必须要通过不断的研究学生，了解学生来解

决。

备课时精心了解学生情况，课堂上敞开心扉与学生沟通，理解学

生，激励学生，引导学生，他们反馈回来的一定是巨大的宝藏。

《独立重复试验与二项分布》评测练习

一、选择题

1.独立重复试验应满足的条件是().

①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生与不发生两种结果；③每次试验中

某事件发生的机会是均等的；④每次试验发生的事件是互斥的.

A.①②B.②③C.①②③D.①②④

2.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为空，则此射手的命

81

中率是()

12〃12

A.-B.—C.—D.一

3345

3.若X〜B(50,0.1),则P(X<2)等于().

A.0.0725B.0.00856C.0.91854D.0.11173

4.设每门高射炮命中飞机的概率是0.6,今有一架飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才

能以至少99%的概率命中它()

A、3B、4C、5D、6

5.甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1

名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是().

5513

A.—B.—C.—D.一

2412248

6.口袋中有5只白色乒乓球，5只黄色乒乓球，从中任取5次，每次取1只后又放回，则5

次中恰好有3次取到白球的概率为().

I313

A.-B.-C.=D.C^-0.55

5

25C,0

7.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2,比赛时均能正常发挥技

术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为()

(A)*)3(B)C；(|)2(|)(OC：(|)3(|)(D)C：(|)3(1)

8.某仪表内装有m个同样的电子元件，其中任一个电子元件损坏时，这个仪表就不能工作，

如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率都是p,则这段时间内这个仪表不能工作的概率

是().

A.pmB.(l-p)mC.l-pn,D.1-(1-p)m

二、填空题

9.下列四个随机变量：

①随机变量《表示重复投掷一枚硬币n次中正面向上的次数;

②有一批产品共有N件，其中M件是次品，采用有放回抽取的方法，用n表示n次抽

取中出现次品的件数；

③某命中率为p(0<p<l)的射手对同一目标进行射击，一旦命中目标则停止射击，

记&为该射手从开始射击到命中目标所需要的射击次数；

④随机变量《为n次射击中命中目标的次数.

上述四个随机变量服从二项分布的是.

10.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,则服用这种新药的4个病人中至少3人

被治愈的概率为.(用数字作答)

11.某人猜谜的猜中率为60%,他共猜10个谜，其中猜中的个数最多为个，10

次猜谜猜中个数最多的概率为.(只列出式子即可)

12.设有八门大炮独立地同时向某一目标各射击一发炮弹，若有不少于2发炮弹命中目标时，

目标被击毁.若每门大炮命中目标的概率都是0