高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解+几何证明选讲习题及详解

高中数学高考总复习

函数的奇偶性习题及详解十几何证明选讲习题及详解

高中数学高考总复习函数的奇偶性习题(附参考答案)

一、选择题

1.(文)下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()

A.yf+RxER)

B.y=3x(xGR)

C.y=­logzx(x>0,x《R)

D.y=—xWO)

l答案］A

［解析］首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C,若x=O在定义域内，则

应有犬0)=0,排除B；又函数在定义域内单调递增，排除D,故选A.

(理)下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是()

A.Xx)=sinxB.fix)=~\x+l\

i_2—x

c.Xx)=2(a'+«x)D.Xx)=ln^j7^

［答案］D

［解析］y=siar与)，=111|不^为奇函数，而尸3⑷+加”)为偶函数，>=一位+1|是非奇

非偶函数.y=sin_r在［-1,1］上为增函数.故选D.

2.(2010.安徽理，4)若4x)是R上周期为5的奇函数，且满足大1)=1,火2)=2,则人3)

一穴4)=()

A.-1B.1

C.-2D.2

［答案］A

I解析］7(3)-/4)=/(-2)-^-1)=-/(2)+;(1)=-2+1=-1,故选A.

3.(2010•河北唐山)已知_/U)与g(x)分别是定义在R上奇函数与偶函数，若|x)+g(x)=

log2(f+x+2),则川)等于()

A.—rB，2

3

C.1D，2

f答案IB

Xl)+g(l)=2

［解析］由条件知，，

A-1)+^(-1)=1

:/(x)为奇函数，g(x)为偶函数.

..J久/0)+-g川(l)==21'.㈤)下1

4.(文)(2010•北京崇文区)已知兀v)是定义在R上的偶函数，并满足7(x+2)=一而，当

1W尤＜2时，_/(x)=x—2,则46.5)=()

A.4.5B.-4.5

C.0.5D.-0.5

［答案］D

［解析］/Ax+Z)：一焉，.../(x+4)=A(x+2)+2］=-W»=Ax)，二兀0周期为4,

.,m6.5)=/(6.5-8)=贝一1$)=_A15)=15-2=-0.5.

(理)(2010・山东日照)已知函数段)是定义域为R的偶函数，且於+2)=/)，若於)在［一

1,0］上是减函数，则<x)在［2,3］上是()

A.增函数B.减函数

C.先增后减的函数D.先减后增的函数

［答案IA

［解析］由火x+2)=/(x)得出周期T=2,

,.,/)在［-1,0］上为减函数，

又/x)为偶函数，；.段)在［0,1］上为增函数，从而大x)在［2,3］上为增函数.

5.(2010•辽宁锦州)已知函数段)是定义在区间［—a,a］(a>0)上的奇函数，且存在最大值

与最小值.若g(x)=/(x)+2,则g(x)的最大值与最小值之和为()

A.0B.2

C.4D.不能确定

［答案］C

［解析］'TU)是定义在［一”，。］上的奇函数，的最大值与最小值之和为0,又g(x)

=兀0+2是将人犬)的图象向上平移2个单位得到的，故g(x)的最大值与最小值比«r)的最大

值与最小值都大2,故其和为4.

6.定义两种运算：静^=7。2一方,。㊉〃=|〃-臼，则函数贝x)=)

(Xw—Z

A.是偶函数

B.是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数

［答案］B

［解析］

又言之。，Axe［-2,0)U(0,2］.

.4-x2

则:x)=O_x，

氏v)+负-x)=0,故选B.

7.已知危)是定义在(-8,+8)上的偶函数，且在(-8,0］上是增函数，设。=加延47),

6="。破3),c=/0.2°-6),则a、b、c的大小关系是()

A.c<h<aB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

［答案Ic

［解析］由题意知式x)=*x|).

Iog47=log2巾>1,|1。破3|=Iog23>log2巾，0<0.2°-6<l,

6

.".|log|3|>|log47|>|0.2°-|.

又：人工)在(一8,0］上是增函数，且为偶函数，

....大工)在［0,+8)上是减函数.

故选C.

8.已知函数人x)满足：11)=2,<x+l)=+碧，则.42011)等于()

A.2B.-3

C.-2D.1

［答案Ic

［解析］由条件知，负2)=—3,式3)=—/|4)=；,犬5)=火1)=2,故/+4)=於)(%

GN*).

.；心)的周期为4,

故人2011)=/(3)=一/

［点评］严格推证如下：

/+2）-［_於+［厂段），

•••./U+4）=/［（X+2）+2］=/（X）.即4》）周期为4.

故火4k+x）=/（x）,（xCN*,ZGN*）,

9.设/（x）=lg（匕+。）是奇函数，则使於）<0的x的取值范围是（）

A.(-1,0)B.(0,1)

C.(—8,0)D.(—8,0)U(l,4-oo)

［答案］A

【解析I•.7(不)为奇函数，.\/(0)=0,，〃=—1.

.x+1.，口

••/(x)=igt，由y(x)<o何

%+1,,、

故选A-

10.（文）（09•全国II）函数y=log2亲的图象（）

A.关于原点对称

B.关于直线丫=一不对称

C.关于y轴对称

D.关于直线y=x对称

［答案］A

［解析］首先由TTT>0得，—2<x<2，其次令段）=logzfzjf，则/U）+X—x）=

乙I人乙IA乙IX

2+1

log2厂^=log21=0.故y（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故选A.

Y

（理）函数），==，（一兀，0）U（0,兀）的图象可能是下列图象中的（）

A

D

［答案］c

［解析］：y=就是偶函数，排除A,

2

当x=2时，y=sE2>2,排除D,

7C

当x弋时，>="^=f>1，排除B,故选C.

sin6

二、填空题

"•（文）已知阿戈:广1黑卜则/弋+四）的值为

［答案］一2

।解析］姆AOiHYAz

5

-

牙

GH)=sin(一制=s党斗

原式=—2.

（理）设凡V）是定义在R上的奇函数，且），=#x）的图象关于直线对称，则人1）+42）

+X3）+/4）+,负5）=.

［答案J0

［解析］..TU）的图象关于直线x=g对称,

.,.6+'=4—，对任意xGR都成立,

二段）=/（1—x）,又火x）为奇函数，

..../0）=一穴—》）=一/（1+工）

=fi-\-x）=fl2+x）,

：.周期T=2.•..穴0）=/（2）=式4）=0

又川）与40）关于对称

.•如）=0.•.犬3）=八5）=0填0.

12.（2010.深圳中学）已知函数），=段）是偶函数，），=g（x）是奇函数，它们的定义域都是［一

7T,同，且它们在xG［0,利上的图象如图所示，则不等式端<0的解集是.

［答案］(-f.0)唔，兀)

［解析】依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全人龙)、

g(x)的图象,

...整<(),,或F、),°,观察两函数的图象，其中一个在1轴上方，一个

g(x)lg(x)>0［g(x)<0

在X轴下方的，即满足要求，.,.一g<X<0或导O0L

13.(文)若於)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=2对称，且当xW(—2,2)时，

7U)=—/+1.则.八一5)=.

［答案J0

［解析1由题意知五一5)=/(5)=*2+3)=/(2—3)=/(—1)=一(一1)2+1=0.

(理)已知函数4x)是定义域为R的奇函数，当一IWXWI时，式x)=a,当时，fl.x)

=(x+h)2,则人-3)+.穴5)=.

［答案］12

I解析I：凡。是R上的奇函数，.\A0)=0,

：-1WXW1时，y(x)=a,；.a=0.

・\/U)=(l+〃)2=0,.\b=—\.

.••当xW—1时，一X—x)=(—X—l)2=(x+1)\

;於)为奇函数，=—(x+1)2,

-(x+1)2xW—l

.\/W=<0—1WxW1

1)2

・・・火―3)+/(5)=—(-3+l)2+(5-l)2=12.

［点评］求得6=—1后，可直接由奇函数的性质得人-3)+x5)=—13)+45)=—(3—Ip

+(5—1)2=12.

14.(文)(2010.山东枣庄模拟)若於)=1g］，\+a}aGR)是奇函数，则“=.

［答案］T

［解析］•.7W=ig(W+")是奇函数，

•二人一九）+於）=。恒成立，

即1g（亳+"）+lg（言+J

=ig岛（含+"）=。

二岛+"（卷+4=］,

•'.（a2+4«+3JX2—（a2—1）=0,

•.•上式对定义内的任意x都成立，

.”+44+3=0

/.）o,：,a=-1.

［点评］①可以先将真数通分，再利用人一犬）=一大幻恒成立求解，运算过程稍简单些.

②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单.兀v）=为奇函

数，显然彳=—1不在於）的定义域内，故x=i也不在_/u）的定义域内，令*=—帚=1，

得。=一1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力.

（理）（2010・吉林长春质检）已知函数段）=但（-1+养，为奇函数，则使不等式/）<一1

成立的x的取值范围是.

［答案Iy1<r<2

［解析J:/）为奇函数，x）+7（x）=0恒成立，.'Igl—l+黄，+lg（—1+东）

=但（-1+吉卜+&=。,

••.（7+武）（7+弟）=1,

4—a

♦aHO，・・『）二。，•♦。=4，

.•.於）=怆（-1+由=1簿

由凡0<—1得，igjrjfc—i,

2—x12—x

•,•°苏百元’由羊>°得’-2々<2,

,2-X1zec318.18C

由^^<75仔，x<—2或x>yy,..-|Y<X<2.

三、解答题

15.(2010•杭州外国语学校)己知六0=』+法+c为偶函数，曲线旷=五外过点(2,5),g(x)

=(x+G/(x).

(1)若曲线)，=g(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；

(2)若当*=-1时函数y=g(x)取得极值，且方程g(x)+h=0有三个不同的实数解，求实

数。的取值范围.

［解析］(1)由./(X)为偶函数知匕=0,

又42)=5,得c=1,...«x)=x2+1.

•••g(x)=(x+a)(f+l)=x3+i7jr+x+a,

因为曲线y=g(x)有斜率为0的切线，

所以g'(x)=3f+2ax+l=0有实数解.

.•.△=4/-］220,解得/或

(2)由题意得g'(—1)=0,得a=2.

二g(x)=》3+*+》+2,

g'(x)=3?+4x+1=(3x+1)(x+1).

令g'(x)=0,得xi=-1,X2——1.

•.,当xG(—8,—1)时，g'(x)>0,当xG(一1,一上时，g'W<0,当xG(一；,+8)

时，g'(x)>0,

，g(x)在X=-1处取得极大值，在X=-g处取得极小值.

又..法(一l)=2,g(一；)=招，且方程g(x)+b=0即g(x)=-b有三个不同的实数解，,招

<—b<2,

解得一2<兴一瑞.

16.(2010.揭阳模拟)设火x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有犬犬+2)=一

fix).当xG［0,2］时，>(x)=2x—f.

(1)求证：/(X)是周期函数；

(2)当xe［2,4］时，求y(x)的解析式；

(3)计算10)+/(1)+火2)+…+/(2011).

［分析I由兀1+2)=-兀0可得於+4)与40关系，由7U)为奇函数及在(0,2］上解析式可

求Hx)在［-2,0］上的解析式，进而可得犬X)在［2,4］上的解析式.

［解析］(1)：於+2)=—-x),

.\/(x+4)=_Kx+2)=Ax).

.\Ax)是周期为4的周期函数.

(2)当Xd[—2,0]时，-XG[O,2],由已知得

/(—x)=2(—x)—(—xp=-2%—/,

又贝x)是奇函数，-x)=一凡0=-2x—x2,

又当xG[2,4]时，x-4£[-2,0J,

4)=(x—4)2+2(x—6x+8.

又y(x)是周期为4的周期函数，

...式*)=加一4)

=/—6x+8.

从而求得xW[2,4]时，

式防二丁—6x+8.

(3加0)=0,12)=0,丸1)=1,m)=一1.

又大x)是周期为4的周期函数，

；瓜0)+大1)+犬2)+八3)=式4)+<5)+八6)+八7)=…=<2008)+42009)+犬2010)+人2011)

=0.

••.AO)+A1)+A2)+•••+/2011)=0.

4

17.(文)已知函数加)=1—彳H(a>。且。幻)是定义在(-8,+8)上的奇函数.

(1)求a的值；

(2)求函数7(x)的值域；

(3)当xe(0,l]时，版x)》2，一2恒成立，求实数f的取值范围.

[解析]⑴：段)是定义在(-8,+8)上的奇函数，即人—%)=—%)恒成立，：.#))=

0.

即「2X；)+a=。，

解得a=2.

2*—1.1+y

⑵.y=2*+「••2'=]—y'

由2、>0知0,

—l<y<l,即段)的值域为(-1,1).

2'—t

(3)不等式依)22工一2即为乔丁22，一2.

即：(2")2—"+1).2工+，一2忘0.设2'=〃，

Vxe(0JJ,；.wG(l,2J.

时I—«+I).〃+L2W0恒成立.

/一。+1)X1+L2W0

22-(r+l)X2+r-2<0，解得

x>0

(理)设函数1/二加+以+以〃、b、为实数，且。#0),F(x)=

x<0

(1)若共-1)=0,曲线y=/U)通过点(0,2。+3),且在点(一1,人—1))处的切线垂直于y

轴，求F(x)的表达式；

⑵在⑴的条件下，当时，ga)="一/w是单调函数，求实数上的取值范围；

(3)设〃皿<0,m+n>Q,Q>0,且兀r)为偶函数,证明尸(口)+尸(九)>0.

［解析］(1)因为人］)=加+区+。，所以(x)=2or+/?.

又曲线y=/(x)在点(一1,火一1))处的切线垂直于y轴，故，(-1)=0,

即一2〃+。=0,因此6=2”①

因为八-1)=0，所以b=a+c.②

又因为曲线y=/(x)通过点(0,2a+3),

所以c=2a+3.③

解由①，②，③组成的方程组得，〃=-3,。=-6,c=-3.

从而«x)=—3A2—6x—3.

—3(x+I)2x>0

所以F(x)=

3(x+l)2x<0

⑵由⑴知,/(x)=-3f—6x—3,

所以g(x)=kx—fi^=3X2+(k+6)x+3.

由g(x)在上是单调函数知：

一—7~^—1或一aQ21,得kW—12或々20.

oo

(3)因为兀©是偶函数，可知6=0.

因此以幻=。/+。.

又因为mn<0,m+n>0,

可知机，〃异号.

若7?2>0,则/?<0.

则F(/H)+F(M)=fim)-fin)=am2+c-an2-c

=a{m+n)(m—z?)>0.

若m<0,则/?>0.

同理可得F(m)+F(/?)>0.

综上可知F(AH)+F(/2)>0.

高中数学高考总复习函数概念习题（附参考答案）

一、选择题

1.（文）（2010.浙江文）已知函数_Ax）=log2（x+l），若加）=1，则。=（）

A.0B.1

C.2D.3

I答案JB

［解析］由题意知，_/（a）=log2（a+l）=l,二。+1=2,

{2X—8,2］

（理）（2010・广东六校）设函数段）=《,,则满足_/（x）=4的x的值是

［log2%%e（2,+00）

（）

A.2B.16

C.2或16D.一2或16

［答案］C

I解析I当段）=2、时2'=4,解得x=2.

当式x）=log2X时，logjx=4,解得x=16.

：.x=2或16.故选C.

flogjxx>01

2.（文）（2010・湖北文，3）已知函数/）=仁xwo，则以§））=（）

A.4B,1

C.-4D.

［答案IB

:

［解析］,•,x1）=log3|=-2<0

•••A/（|））=y（-2）=2-2=1.

f2,-x—1（x<l）

（理）设函数yu）=/，若犬沏）>1,则功的取值范围是（）

Ugx（x21）

A.（一8,0）U（10,+8）

B.（-1,+8）

C.（-8,-2）U（-l,10）

D.（0,10）

［答案］A

［%0<lko^l

［解析］由匕，［或1,,=向<0或xo>lO.

［21—1>1llgx0>l

3.(2010・天津模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这

些函数为“同族函数”，那么函数解析式为,值域为{1,4}的“同族函数”共有()

A.7个B.8个

C.9个D.10个

［答案］C

|解析|由f=l得x=±l,由/=4得工=±2,故函数的定义域可以是{1,2},{-1,2},

{1,-2},{-1,-2},{1,2,-1},{1,2,-2},{1,-2,-1},{-1,2,-2}和{-1,

-2,1,2},故选C.

1—2x

4.(2010・柳州、贵港、钦州模拟)设函数40=京-,函数y=g(x)的图象与y=«r)的图

象关于直线y=x对称，则g(l)等于()

3

A.-2B・-1

C.~2D.0

［答案］D

_1—2a

［解析］设g(l)="，由已知条件知，/(x)与g(x)互为反函数，,即，+“=1,

5.(2010・广东六校)若函数y=y(x)的图象如图所示，则函数>=火1-x)的图象大致为

)

［答案］A

［解析］解法1：)=式一尤)的图象与的图象关于y轴对称.将)=<一x)的图象向

右平移一个单位得>=火1一幻的图象，故选A.

解法2：由火0)=0知，y=/(l—x)的图象应过(1,0)点，排除B、C；由x=l不在y=/(x)

的定义域内知，y=/(l-x)的定义域应不包括x=0,排除D,故选A.

6.(文)(2010・广东四校)已知两个函数4x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定

义如下表，填写下列g(/U))的表格，其三个数依次为()

Xx1223

J於x)22--33f1

X123

g(x)132

X123

A.3,1,2B.2,1,3

C.1,2,3D.3,2,1

I答案］D

［解析］由表格可知，41)=2,.穴2)=3,-3)=1,g⑴=1,g(2)=3,g(3)=2,

••.g(/U))=g(2)=3,g-2))=g(3)=2,g(/(3))=g(1)=1,

二三个数依次为3,2,1,故选D.

(理)(2010•山东肥城联考)已知两个函数火x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其

定义如下表：

X123

加)231

X123

g(x)321

则方程g[/(x)]=x的解集为()

A.{1}B.{2}

C.{3}D.。

[答案]C

[解析]g[/U)]=g(2)=2,g[/(2)]=g(3)=l；

g[A3)]=g(D=3,故选C.

7.若函数1x)=l0go(x+1)(”>0且a#l)的定义域和值域都是[0,1],则a等于()

A.|B.巾

［答案ID

［解析］•；O4W1,，1WX+1W2,

又OWlog“(x+1)<1,故。>1,且log“2=1,..tz=2.

(g(x)+x+4,x<g(x)

8.(文)(2010•天津文)设函数g(x)=f-2(xCR),小尸、、，、，则段)

lg(x)—x,x与g(x)

的值域是()

A.［，，0U(l,+8)B.［0,+8)

C+8)D.0U(2,+8)

［答案］D

f+x+2x<—1或x>2

［解析］由题意可知於)=/,々c

x~~x—2—

I。当x<—I或x>2时，f^x)=X2+X+2=+4

由函数的图可得«r)W(2,+°°).

2。当一1WXW2时，Xr)=/-r_2=G—，2一1，

故当X=£时，7U)min=£')=-*

当X=-l时，7U)max=A—1)=0,

...段)豆「一9子10.

「9口

综上所述，该分段函数的值域为一币oU（2,+°°）.

（理）定义在R上的函数yu）满足汽x）=

Jlog2(l-X)(xWO)

,则共2010）的值为（）

l)-y(x-2)(x>0)

A.-1B.0

C.1D.2

［答案］B

［解析］/(2010)=/2009)-/2008)=(/(2008)-/2007))-/(2008)=-^2007),同理火2007)

=-/2004),.•决2010)=/(2004),

；.当x>0时，7U)以6为周期进行循环，

.\y(20io)=xo)=iog2i=o.

a,若aWb；

9.(文)对任意两实数〃、b,定义运算“*”如下：〃坨=，竹函数加：)=log43x

力，右a>b2

—2)*log2X的值域为()

A.(一8,0)B.(0,+8)

C.(一8,0]D.[0,+8)

[答案]C

a,若

［解析］而函数/U）=logl3x—2）与k）g2X的大致

h,若2

图象如右图所示，

「•危）的值域为（-8,0］.

（理淀义max{〃、b、c}表示〃、b、c三个数中的最大值,/（x）=max{Q},x—2,log2J（x＞0）},

则兀i）的最小值所在范围是（）

A.（-8,-1）B.（-1,0）

C.（0,1）D.（1,3）

［答案］C

［解析］在同一坐标系中画出函数y=x—2与y=log＞的图象，》=（；＞与y=

log"图象的交点为4（为,yi）,y=x—2与y=log2大图象的交点为及）,则由於）的定义

知，当xWr时，当时，1Ax）=log2X,当xeM时，./U）=x—2,

.7/U）的最小值在A点取得，故选C.

10.（文）（2010•江西吉安一中）如图，已知四边形ABC。在映射/：（x,y）f（x+l,2y）作用

下的象集为四边形AiBCiQi，若四边形451Goi的面积是12,则四边形A3CZ）的面积是

)

A.9B.6

C.6小D.12

［答案］B

［解析］本题考察阅读理解能力，由映射了的定义知，在了作用下点(x,y)变为(x+l,2y),

二在f作用下14Gl=|AC|,|BQi|=2|BQ|,且4、G仍在x轴上，Bi、A仍在y轴上，故

SAB8=3［AC|［M|=||AIC卜如办|=躯18/。|=6,故选B.

f+jx+cJVW0

c八、，若人-4)=A0)，K—2)=—2,则关于X的方程y(x)

{2x>0

=尤的解的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

［答案］C

［解析］解法1：当xWo时，yu)=/+bx+c.

:火-4)=A0),八-2)=-2,

［(一4尸+力(-4)+c=c仿=4

,,|(-2)2+/?-(-2)+C=-2'解得|c=2'

fx2+4x+2xWO

12x>0

2

当xWO时，由y(x)=x得，X+4X+2=X9

解得x=—2,或x=—1；

当x>0时，由/(x)=x得，x=2,

二方程兀O=X有3个解.

解法2：由人-4)=/(0)且八-2)=—2可得，|x)=『+fer+c的对称轴是x=-2,且顶

点为(-2,-2),于是可得到y(x)的简图如图所示.方程_/U)=x的解的个数就是函数图象y

=/(x)与y=x的图象的交点的个数，所以有3个解.

二、填空题

11.(文)(2010•北京东城区)函数y=qm+lg(2—x)的定义域是.

［答案］［-1,2)

x+120

［解析］由八得，一lWx<2.

［2—x>0

(理)函数兀0=也+，=的最大值与最小值的比值为.

［答案］^2

x20----------

［解析］4_v>0，，0WxW4,72(x)=4+2^4^%)W4+［x+(4—x)］=8,且/

2(x)2,

,］x)20,；.2WJ(x)W2小,故所求比值为

［点评］⑴可用导数求解；⑵：0<启4,.•.0・卜1,故可令§=sin28(0W但与转化为

三角函数求解.

12.函数>=案0xw［o,兀］的值域为.

［答案］o.1

［解析］函数表示点(sina,cosa)与点(2,1)连线斜率.而点(sina,

,,4

cosa)a£［0,兀］表示单位圆右半部分，由几何意义，知yG［0,辛.

13.(2010.湖南湘潭市)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均

为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过〃(〃GN*)个整点，则称函数兀t)为〃阶

整点函数，有下列函数

①*x)=sin2x®g(x)—x3③%(x)=(9V

④9(x)=lnx.

其中是一阶整点函数的是.(写出所有正确结论的序号)

［答案］①④

［解析］其中①只过(0,0)点，④只过(1,0)点；②过(0,1),(1,1),(2,8)等，③过(0,1),(-

1,3)等.

14.(文)若式。+勿=火分加)且网)=1,贝琳+招+•一+瑞品

［答案J2011

［解析］令匕=1,则"焉”=•*1)=晨

・叫龄+…+迎1=2011

"AOA2)A2011)

(理)设函数J(x)=x\x\+bx+c,给出下列命题：

①b=0,c>0时，方程/(x)=0只有一个实数根；

②c=0时，)=%)是奇函数；

③方程式x)=0至多有两个实根.

上述三个命题中所有的正确命题的序号为

［答案I①②

［解析］①/(x)=Rx|+c

Jf+c,xNO

f+c,x<0'

如右图与X轴只有一个交点.

所以方程«r)=O只有一个实数根正确.

②c=0时，y(x)=x|x|+Zzr显然是奇函数.

i^+bx,x》O八/

③当c=O,XO时，於)=小|+公=」八八—/X/_.

l—^+bx,x<0/。|\_/x

如右图方程兀v)=0可以有三个实数根./

综上所述，正确命题的序号为①②.

三、解答题

15.(文)(2010•深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中

注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,f小时内供水总量为12(>而吨,(0W/W24).

(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？

(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，

有几小时出现供水紧张现象.

［解析］(1)设，小时后蓄水池中的水量为y吨，

贝！Iy=400+60L12()V^(0WrW24)

令«t=x,则f=6f且OWxW12,

二5=400+10^-120%=10(x-6)2+40(0WxW12)；

.,.当X=6,即f=6时，)，min=40,

即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨.

(2)依题意400+10A2-120A<80,

得d-12x+32<0,

o32

解得4<x<8,即4<^6/<8,1</<亍;

•.考一|=8,.•.每天约有8小时供水紧张.

(理)某物流公司购买了一块长4M=30米，宽4N=20米的矩N尸、----------

形地块AMPN,规划建设占地如图中矩形A8C。的仓库，其余地

方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别—0/

在边AM、AN上，假设AB长度为x米.

(1)要使仓库占地ABC。的面积不少于144平方米，A8长度应在什么范围内？

(2)若规划建设的仓库是高度与AB长度相同的长方体形建筑，问AB长度为多少时仓库

的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)

［解析I(1)依题意得三角形M3C与三角形NAM相似，所以盥=翳，即亳=生辛，

Z>xK*1V/AJV/^\J

2

A£>=20—尹，

矩形ABCD的面积为S=20x-1.r2(0<x<30),

要使仓库占地ABC£>的面积不少于144平方米，

2

即20x—豕2144,

化简得/-30工+216忘0,解得12Wx<18.

所以AB长度应在［12,18］内.

2

(2)仓库体积为丫=201一尹^OwOO),

V'=40犬一*=0得x=0或x=20,

当0<%<20时，V'>0,当20a<30时/<0,

所以x=20时，V取最大值8詈n?,

即AB长度为20米时仓库的库容最大.

16.(2010•皖南八校联考)对定义域分别是外Qg的函数y=/(x),y=g(x),规定：

贝x)g(x),当xefyKxecg,

函数极)=,危)，当xeDfRx^Dg,

.g(x),当xeDgRxiDf.

(1)若函数_/0：)=金1g(x)=d,写出函数〃(x)的解析式；

(2)求问题(1)中函数力(x)的值域；

(3)若g(x)=«x+a),其中a是常数，且aG［0,兀］,请设计一个定义域为R的函数y=«r),

及一个a的值，使得〃(x)=cos4x,并予以证明.

［解析］(1)由定义知，

士，xG(-0o,1)U(1,+8),

h(x)=yx1

J,x=l.

(2)由(1)知，当xWl时，/J(X)=X-1+±［+2,

则当尤>1时,有以龙)24(当且仅当x=2时,取“=”)；

当x<l时，有〃(x)W0(当且仅当x=0时，取

则函数/?(x)的值域是(一8,0］U(l}U［4,+8).

71

(3)可取/U)=sin2x+cos2x,1=不则g(x)=y(x+a)=cos2x—sin2x,

于是〃(x)=y(xV(x+a)=cos4x.

(或取式x)=1+6sin2x,a=B，则g(x)=/(x+a)=1—6sin2x.于是h{x)=J(x)fix+a)=

cos4x).

［点评］本题中(1)、(2)问不难求解，关键是读懂〃(x)的定义，第(3)问是一个开放性问题,

乍一看可能觉得无从下手，但细加观察不难发现，cos4x=COS22X—sin22x=(cos2r+

sin2x)(cos2x—sin2x)积式的一个因式取作./(x),只要能够找到a,使./(x+a)等于另一个因式

也就找到了>(x)和g(x).

17.(文)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间*天)的函数关系如图所示：

该商品在30天内日销售量Q(件)与时间f(天)之间的关系如表所示:

第，天5152030

。(件)35252010

(1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；

(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(f,Q)的对应点，并确定日销

售量。与时间t的一个函数关系式；

(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几

天？(日销售金额=每件的销售价格X日销售量)

r+20(0<r<25,reN*)

［解析］(1)P=

-z+100(25W/W30,fdN-)

(2)图略，Q=40-/(fGN*)

(3)设日销售金额为y(元)，

-?+20r+800(0<f<25,PN*)

贝(Iy—

?-140/+4000(25WfW30,fCN*)

J-（Z-10）2+900（0</<25,/GN*）

一［（L70>-900（250W30,£N*）

若0<7<25（yN"）,

则当f=10时，ymax=900；

若25WW30（£N*）,

则当f=25时，），max="25.

由1125>900,知ymax=1125,

,这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大.

（理）（2010・广东六校）某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当

地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x万元，可获得纯利润尸=一击。

―40）2+100万元（已扣除投资，下同），当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产

的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前

5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产

只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售

的投资收益为：每投入X万元，可获纯利