高中数学讲义微35 形如向量AD=xAC+yAB条件的应用

微专题35形如而=x^+y/条件的应用

一、基础知识：

1、平面向量基本定理：若平面上两个向量不共线，则对平面上的任一向量均存在唯

一确定的(4,4),(其中,使得Z=4e；+4l。其中称为平面向量的一

组基底。

(1)不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量

(2)唯一，性：若a=4q+4«2且4=4©,则，

4=以2

2、“爪，，字型图及性质："

(1)已知而，而1为不共线的两个向量，则对于向量,方，必存在x,y,/\

使得加=X而+)灰亍。则5,。,。三点共线ox+y=lB-口c

当0<x+y<l,则。与A位于6c同侧，且。位于A与BC之间

当x+y>l,则。与A位于8C两侧

x+y=l时，当x>0,y>0,则。在线段BC上；当冲<0,则。在线段6C延长线上

(2)已知。在线段8C上，且忸。|:仁口=加：〃，则4方=」一A月+—^—恁

m+nm-\-n

3、AD=xAB+yAC中无y确定方法

(1)在几何图形中通过三点共线即可考虑使用"爪''字型图完成向量的表示，进而确定

(2)若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程而=+可考虑两边对

同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解

(3)若所给图形比较特殊(矩形，特殊梯形等)，则可通过建系将向量坐标化，从而得到关

于x,y的方程，再进行求解

二、典型例题：

例I：在AABC中，。为边的中点，”为AO的中点，过点H作一直线MN分别交

AB,AC于点M,N,若磁=工通，丽=y/，则x+4)，的最小值是()

9r~

A.-B.2C.y/3D.1

4

思路：若要求出x+4y的最值，则需从条件中得到的关系。

由”,〃,N共线可想到“爪”字型图，所以加=加丽/+〃丽，

其中帆+“=1,下面考虑将加,〃的关系转为x,y的关系。利用条

件中的向量关系：5且Ad=，（A月+恁），所以

22、'

AH^-（AB+AC）,因为布1=瓦丽=），/，所以南丽+町正，由平面

11

-加--

4

n<4X

向量基本定理可得：＜11所以m+〃=1=1---=1,所以

一

--〃-4x4y

4分

小+4+4y_4yx、_Myx.,

x+4y=(x+4y)(LN---1—,而1—22=4,所以

4yJy)xy丫xy

x+4y>—

答案：A

——1―-____2__

例2：如图，在AABC中，AN=-NC,P是BN上的一点，若A7=〃*月+—印仁，则

311

实数用的值为()

95人32

A.—B.—C.—D.—

11111111

思路：观察到B,P,N三点共线，利用“爪”字型图，可得

AP=mAB+nAN,且m+〃=1,由AN=-NC可得AN=—AC,

34

____i______2__.i98

所以Z户=，”/4万+—〃4。，由已知耳户=俏入»+—4c可得：一〃=—=>n=—,所以

41141111

3

H

答案：C

例3：在平面内，已知|砺|=1,|而|=百，丽•砺=0,NAOC=30°,设

OC=mOA+nOB,(^m,ne7?),则竺等于()

n

I

A.i\/3B.i3C.±—D.士---

33

思路：所求为生，可以考虑对OC=+eR）两边同时对同一向量作数量积,

从而得到m,n的方程，解出m,n,例如两边同对砺作数量积，可得：

OCOA=mOA+nOBOA,因为|oX|=lOAOB=0，所以有

0C-OAcosAOC

m=同理，两边对。后作数量积，可得：

一一一一一2℃.03\oc\cosBOCm31

OCO8=mOA・O8+〃O3-,即〃=J~~-------，所以竺=±----------

OBV3n2cosBOC

Im

通过作图可得N8OC=6(r或ZBOC=120°,从而cosBOC=±—，代入可得：一=±3

2n

答案：B

小炼有话说：（1）当向量等式中的向量系数含参时，可通过对两边作同一向量的数量积运算

便可得到关于系数的方程。若要解出系数，则可根据字母的个数确定构造方程的数量

（2）本题也可通过。小。6=0判定砺1_0有，从而想到建立坐标系通过坐标解出机,〃，进

m

而求出一=±3

n

例4：如图，在正六边形ABC。砂中，点P是AC。石内（包括边

界）的一个动点，设4/>=445+4"'（/1，4€7?）,则九+〃的取

值范围是（）

A.[1,2]B.[2,3]C.[2,4]D.[3,4]

思路：因为P为动点，所以不容易利用数量积来得到；的关系，

因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定,

可得:5(1,0),Cl-,Q(1询,F,E(0,@,则

__(1用

AB=(1,O),AF=——,所以设P(x,y),则由

、22,

〃=4通/可得：等因为P在ACDE内

7

x+6y23

且+=3,C£）:、Qx+y=2百,所以尸所满足的可行域为<y<>/3，代

y/3x+y<2A/3

A+//>3

人可得：J//<2,通过线性规划可得：2+//e[3,4]

A<2

答案：[3,4]

例5：已知|况|=1,|而|=2,N4OB=^,5^=；0X+go8,则函与玩的夹角的余弦

值为___________

OAOC

思路：若要求。4与（9心的夹角可联想至4cos（次，反）=所以只需确定函•反

与|反卜由oC=goZ+；o后一方面可以两边同时对o/i作数量积得到。另一方

面等式两边可以同时取模长的平方计算出|反|,进而求出cos〈丽，玩）

解：OC=-OA+-OB=^OCOA=-dAdA+-OBOA=-

23236

----►1----1--------*22

且OC=—OA+—OBnOC=(LQA+LOB\=LOA+LOA.OB+LOB^11

23123；43936

1

_V13

二.cos(OAOC\OAOC_6

，可凶一].巫一--13~

6

答案：—

13

_____________27r__.__.

例6：如图，平面内有三个向量砺，而，反，其中砺与丽的夹角为一，砺与近的夹

3

角为.，且网=阿=2,西=46，若反=2砺+//丽（4〃eR）,则4+〃的值

为_______

思路一：由图像可得：ZBOC=-,由此条件中可提供0A,。艮0C的模长及相互的夹角，

2

若要求得2+〃，可考虑求出的值。则需要两个方程。对反=2砺+〃丽两边同时对

作数量积，^OCOA=ZOA+^iOBOA,由西•丽=一2,西•配=12,可得：

12=4/1-2〃，再将OC=AOA+^OB两边对。后作数量积，则

——•—•——"2fl2=4X-2〃2=4

OCOB=AOAOB+LIOB,即一2丸+4〃=0,所以《卜=“2’即

1-24+4〃=0

X+〃=6

思路二：从图形中可想到建系，得到砺，砺，反的坐标，从而利用坐标可求得九4的值：如

图建系可得：8（2,0）,。倒,2Gm⑹，所以

OC=（0,4>/3）,204==（2//,0）,从而可得,J］；，所

以4+〃=6

答案：6

例7：已知在AABC中，。为AABC的外心，MM=16,|AC|=1O0,70=X^+），〃，

且32x+25y=25,贝"=4

思路：通过观察条件发现很难从几何方向直接求|而|,从而考

虑利用计算数量积正,如何利用32x+25y=25这个条件/、\

----------飞

呢？对于已知正=%而+丁彳。可以考虑等式两边对同一向

量作数量积，从而得到关于的实数方程。由于。是外心，进而。在AB,AC上的投影为

各边的中点，所以可用数量积的投影定义计算出

ABAO,ACAd,结合所求，可确定两边同时与作数

量积即可。

解：由AO=xAB+yAC,可得：

AO-AO=xAB-AO+yAC-AO(*)

•.・正在入月上的投影向量为印冠（"为AB中点）

二通.荷=|丽^同=g|画、二恁.荷=|丽||丽卜：而『=100

=128,同理:

所以（*）变形为：正2=128x+100y=4（32x+25y）=l（X）

.1叫=10

小炼有话说：对于形如XO=x而+y/,若想得到关于x,y的方程，可以考虑对同一向量

作数量积即可，而向量的选择要尽量能和等式中的向量计算出数量积。

例8：给定两个长度为1的平面向量宓和。后，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O

为圆心的圆弧耳耳上变动.若反=xE+y砺，其中则B^—^0

x+y的最大值是.\

思路：所求x+y的最值，可考虑对方=x^+y砺等号两边对°A

同一向量作数量积，从而转化为x,y的等式：

OC=xOA+yOB=>OCOA=xOA+），QB•Q4即OC•=x-务y

•.•.•...2।

OC=xOA+yOB=>OC-OB=xOA-OB+yOB即OCOB=—万》+y,从而可发现

x+y=2（x—gyj+2（-;x+y）=23•（丽+丽），所以只需求得反•（砺+砺）的

最大值，其中根据扇形AO8的特点可知0W+O8的终点为AB的中点M,即0而，所以

OC-（QA+aB）=|oc||oM|cos^OC,OA/^只需cos（反，加）最大即可。可知C,M重

合时，cos（Od,加）=1,所以x+y的最大值为2

答案：2

例9：已知。是AABC外接圆的圆心，A,B,C为AABC的内角，若

"日通+您2/=2加•荷，则用的值为（）

sinCsinB

A.1B.sinAC.cosAD.tanA

思路：本题所求与等式中的系数机相关，。是外心所以O在A3,AC上的投影为两边中点，

考虑两边同时对Z0做数量积，再结合正弦定理变形等式即可

解：竺^4月+吧£恁=2“而可得:

sinCsinB

i^-ABAO+^^ACAd=2mAO(*),因为O是外心

sinCsin3

AB-AO=g函,•/=||AC|2

I2cosB1I2cosC

(*)变形为-----------1—2m•AO

sinC2sinB

在AABC中，设外接圆半径为E,即尺=|瓦|,且|A@=2R-sinC,|AC=2R-sin6

；.(*)变形为：-(2/?sinC)2+-(2/?sinB)2=2m-R2

2、7sinC2V7sinB

=>sinCcosB+sinBcosC=7?7

.'.m=sin(B+C)=sin(»-A)=sinA

例10：已知△A5C的外接圆圆心为O,且满足函=〃2m+〃区,46+3〃=2,且

同=46,词=6,则而.曲二()

A.36B.24C.24GD.12G

思路：由外接圆的性质可知。在CA,CB上的投影为CA,CB中点，所以考虑对

CO=mCA+nCB两边同时对CA.CB作数量积，从而得到系数小,〃的关系：

COCA=mCA+nCB-CA因为0°.5=：m『=24,。0.方=；|词2=18,所

CO-CB=mCA-CB+nCB

24=48/n+nCB-C4

以有<——，再结合4m+3〃=2,解三元一次方程组即可得至1：

18=mCA-CB+36〃

CACB=36

答案：A

历年好题精选

1、如图，在正方形A8CD中，£为A8的中点，尸是以A为圆心，A8为半径的圆弧上的

任意一点，设/=/1诙+〃而，则/L+〃的最小值为

答案」

2

2、(2016,郑州一测)已知点A(0,—l),8(3,0),C(l,2),平面区

域P是由所有满足=X而+〃/(2<A<m,2<〃<〃)的点

M组成的区域，若区域P的面积为16,则机+〃的最小值为

3、（2015,北京）在AABC中，点M,N满足

AM=2MC,BN=NC.^MN=xAB+yAC,贝！|x

4、（2015,新课标I）设。为AABC所在平面内一点，且8C=3CD,

―-1—4—.—•1一4--

A.AD=——AB+-ACB.AD^-AB——AC

3333

—.4—.1—•―■4—•1—

C.AD^-AB+-ACD.AD=-AB——AC

3333

5、（安徽六校联考）如图，在扇形。钻中，ZAOB=60,。为弧A8上且与A8不重合

的一个动点，且4=x^+y而，若〃=%+办（；1>0）存在最大值，则X的取值范围为

（）A

?2

6、（2016,河南中原第一次联考）在直角梯形43C。中，

48=24。=2。。,£为3。边上一点，方=3沅，/为AE中点，则6户=（）

2—1—1—2—2—1—1—2—

A.-AB——ADB.-AB——ADC.——AB+-ADD.——AB+-AD

33333333

7、如图，在直角梯形A8CD中，AD±AB,AB//DC,AD^DC^1,AB^2,动点P在以

点C为圆心，且与直线8。相切的圆上或圆内移动，设

丽=4加+M诟（Z/zeR）,则4+〃的取值范围是加八\

（'

A.（1,2）B.（0,3）C.[1,2]D.[1,2）

A---------------D

8、如图，四边形。钻C是边长为1的正方形，00=3,点P

为ABCD内（含边界）的动点，设丽=。反+万丽（a,#eR）,则。+，的最大值等于

B

9、在AABC中，A8=2AC=2,而•恁=一1,若

OAD

AO^xtAB+x2AC（。是△ABC的外心），则斗+占的值为

27r

10、在△ABC中，边AC=1,AB=2,A=——，过A作AP±BC于P,且

3

AP-AAB+/.lAC,贝!]九〃=

11、如图，A8是圆。的直径，C,。是圆。上的点，且NC84=60,NABO=45,若

CD=xOA+yBC,则x+y=（）

y/312/T

A.--B.——C.-D.-V3

333,

12、如图，将45的直角三角板AOC和30的直角三角板ABC拼

在一起组成平面四边形A8C。，其中45的直角三角板的斜边

AC与30。的直角三角板的30。所对的直角边重合，若

丽=尤丽+），反，则分别等于（）

A.\/3,1B.A/3+l,y/3C.2,5/3D.■\/3,'\/3+1

13、如图，在AABC中，CM=2MB,过点M的直线分别交射线AB,AC于不同的两点P,Q,

若AP=〃?A8,AQ=〃AC,则"》7+m的最小值为（）/\

A.65/3B.2百C.6D.2

14、在AABC中，点。在线段BC的延长线上，且86=3。万，八””

点。在线段C£＞上（与C,。不重合），若湎=%而+。一》）/，则x的取值范围是

15、已知在AA6C中，AB=l,BC=y[6,AC=2,点。为AA6C的外心，若

AO^sAB+tAC,则有序实数对（s,/）为（）

习题答案:

1、解析：本题所处图形为正方形与圆的一部分，所以考虑建系处理，以为轴建立坐

标系•设正方形边长为单位长度，则C(l,l)

Z)(O,I),£|1OLP点所在圆方程为x2+y2=l(x>0,y>0),

设P(x,y)

则衣=(1,1),2D£=R2,-Aj,〃而=,由

—1Z,4-LIX=1i2x+y

2，解得：<

3

-2+=1〃二-------

2x+y

2y-2x।32y-2x+3..

丸+〃=——=-..............=-1+3•y+i

2x+y2x+y2x+y2x-\-y

71sinO+1

设工=cos。,y=sin。,。£0,—,k=y+i

2x+y2cos8+sin。

,,e2ce

•八।[1+tan2一itan--。+2tan—+、1.tan—+1

----s-m---6--+--1----=------------------o-——122j2

2cos6+sin61+2。---.0-----2.900~2l-tan^tan"

1-tan—20tan—l-tan~—+tan—+

22+2^2222

1,+tan-2-。1।+tan-

22

9

令左二tan,,攵£[0,1],所以：

sin^+l1仅+1『1________1_____________________1_______

2cos6+sin6-2'-k2+k+l~~2'13M~~2'?~\3T5

(%+l)-(%+l)(k+\)~2~4

1

由左e[0,l]可得:e-,1,结合分式的单调性可得当=1=>%=0时,

k+12攵+1

sin6+1即(包也〕J

达到最小值,

2cos6+sin。12cos夕+sin6Jmin2

•,.(4+4).=—

\/mm2

2、答案：4+272

解析：设用(x,y),通=(3,1),恁=(1,3),

VAM=AAB+^AC,：.

(x,y+1)=4(3,1)+//(1,3)=(32+4"+3〃).

x=32+〃8

y+1=几+3〃—x+3)+3

u=---------

8

3x-y-l

2<--------<m

8即17<3x-”8〃?+l

,/2<A<m,2<pi&n：.<

~x+3y+313<—x+3yW8〃一3

2<-----:<n

17<3x-y<8m+l

表示的可行域为平行四边形,如图:

13<—x+3y£8H—3

3x-y=17[3x—y=8m+l,

由《',得A(8,7),由《)，得5(3加+2,〃2+2),

—x+3y=13[―x+3y=13

I=7(3m-6)2+(w-2)2=(/n-2)-V10,

A(8,7)到直线—x+3y=8〃-3的距离d=包J

'V10

A6|.d=(/〃-•配咎=16,

1Vio

二(加一2)•(刀-2)=2,:.2=(m-2)-(n-2)<(-....—)2,

/.(m+«-4)2>8,m+n>4+2'j2

3、答案：x=-,y=~-

26

解析：MN=MC+CN=-AC+-CB=-AC+-(AB-AC}=-AB--AC,所以

3232、>26

11

*=-，>=一一

26

4、答案：A

解析：由图可想到“爪字形图得：AC=-AB+-AD,

44

解得：AD=--AB+-AC

33

5、答案：D

//\\

解析：以06为X轴建立坐标系，设NCOS=0e&\0,-，则C(cos。,sin。),3(1,0),

、I3J,

2.八

cos0=x+—yx=—3=sin^

(1⑸——一2V3

A,由OC=xQA+)05可得:.a6n

、22,八sin。

sin”=——yy=cos6----l

2

sin6+%cos6,6G,若〃存在最大值，则“(e)存在极值点

u=J=4cos，-4sine在0,工］有零点

6I3J

2-22-4

令一^cose—asineuOnJ」tan。，因为

V3V3A

tan8£(0,百)

0<—厂：<乖>,解得：Ae|一,2|

13几\2)

6、解析：取AB的中点G,连结OG,CG,则DG〃8C,

所以能=而=同一而=Z5—,通，

2

__________2_____2__.1__

AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-(AD--AB)=

2—2——►——►——►

-AB+-AD,于是BF=AF—AB

33

12—•2—•—■2一1—■

-(-AB+-AD)-AB=——AB+-AD

23333

7、答案：C

解析：由直角梯形可知依直角建立坐标系，则0(0,1),8(2,0),直线

Y

BD:―+y=l=>x+2y-2=0

|1+2-2|_V5

・•.圆C的半径r=

~15--T

/.OC:(x—1)+(y-1)——

设尸(x,y),由丽=4击+〃而可得：

♦.•尸在圆C内.-.(2//-l)2+(A-l)2<|

PI—1=n八「、rJ5Ircos/9+1

设,《2urcosff，8e[0,2〃),re0,匚，则,/u=---2---

2-1=rsin6>5,,八，

'L」x=rsint/+l

।33।

二.％+4=5rcos0+rsin6+彳=—rsin(^+夕)+彳，其中tan°=a

由。£[0,2乃)0,可知

二人正「+%亘@+3=2,且之+资-避〃+%-叵立+-1

2225222252

所以;1+〃«1,2]

4

8、答案：一

3

解析：可依直角建立坐标系，则C(0,l),A(l,0),0(3,0),3(1,1)

:.CD:x+3y-3^0,BD:x+2y-3^0,BC:y^l

+3y-3>0

.v-x

设P(x,y),则有一',由图可得尸所在的区域为不等式组：x+2y-3<0所求

}=#[,<1

14

a+j3=-x+yf利用线性规划可得：£的最大值为最优解在。处取得

13

9、答案：—

6

'---------------------2------.-------

—►—►—►AO-AB=x,AB+x?AB-AC

解析：由4。=%|46+%24。可得：｛

AO-AC-x,AB-AC+x2AC

_..1*2.■],2

由。是AABC的外心可得：AOAB=-AB=2,AOAC=-AC=1

22

5

2=4m一x2王

:,所以演+工2=?

1=<

=X+

2~'"2

3

10、答案：—

49

AP-AB=AAB'+uAC-AB2万

解析：AP^AAB+pAC=>___二_「由AC=1,AB=2,A=一

APAC^AABAC+^AC23

—■27rAP-A6=42-/z

可得：ABAC=21cos——=-1,所以《

3AP-AC——A+/J

•/APLBC:.APBC-0=>AP-(XC-AB)^0

即(_4+M)_(4/L_M)=0=2〃=5；1

♦所以T

另一方面，由P,8,C三点共线可得：4+〃=1,所以解得：■

11、答案：A

解析：以圆。为单位圆建系，可得A(-1,0),8(1,0)

由图可知90,N50C=60',所以

、

D(cos90',sin90)=(0,l),C(cos(-60),sin(-6(T))=-^，-―