数学（北师大版选修22）练习第2章1变化的快慢与变化率活页作业5

活页作业(五)变化的快慢与变化率1．一辆汽车在起步的前10秒内，按s＝3t2＋1做直线运动，则在2≤t≤3这段时间内的平均速度是()A．4 B．13C．15 D．28解析：Δs＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15.∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(15,3－2)＝15.答案：C2．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝eq\f(1,8)t2，则当t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为()A．2 B．1C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)解析：因为Δs＝eq\f(1,8)(2＋Δt)2－eq\f(1,8)×22＝eq\f(1,2)Δt＋eq\f(1,8)(Δt)2，所以eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,8)Δt.当Δt无限趋近于0时，eq\f(1,2)＋eq\f(1,8)Δt无限趋近于eq\f(1,2)，因此当t＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为eq\f(1,2).答案：C3．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy等于()A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)－Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)解析：由定义可以得出．答案：D4．在求平均变化率时，关于自变量的改变量Δx的说法正确的是()A．Δx＞0 B．Δx＜0C．Δx＝0 D．Δx≠0解析：平均变化率为eq\f(Δy,Δx)，分母是Δx，不为零．答案：D5．关于函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，下列说法正确的是()A．函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是在x＝x0处的平均变化率B．函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是在x＝x0处平均变化率的近似值C．当Δx趋于0时，函数f(x)在x＝x0处的平均变化率趋于瞬时变化率D．当Δx＝0时，函数f(x)在x＝x0处的平均变化率等于瞬时变化率解析：由瞬时变化率的定义可以得出．答案：C6．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为_____________．解析：当自变量从－2变化到－2＋Δx时，函数的平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－2＋Δx2－2－2＋Δx＋1－4＋4＋1,Δx)＝Δx－6.答案：Δx－67．将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的体积的平均变化率为______________．解析：ΔV＝eq\f(4π,3)(R＋ΔR)3－eq\f(4π,3)R3，体积的平均变化率＝eq\f(ΔV,ΔR)＝eq\f(4π,3)(ΔR2＋3R·ΔR＋3R2)．答案：eq\f(4π,3)(ΔR2＋3R·ΔR＋3R2)8．设函数y＝x2＋2x，x从1变到2时，函数的平均变化率为________．解析：Δx＝2－1＝1，Δy＝(22＋2×2)－(12＋2×1)＝5.答案：59．已知质点M按规律s＝2t2＋2t(s的单位：m，t的单位：s)做直线运动．求：(1)前3s内的平均速度；(2)从2s到3s内的平均速度；(3)从2.8s到3s内的平均速度；(4)从2.9s到3s内的平均速度；(5)估计质点在3s时的瞬时速度．解：(1)Δt＝3(s)，Δs＝(2×9＋2×3)－0＝24(m)，故前3s内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(24,3)＝8(m/s)．(2)Δt＝3－2＝1(s)，Δs＝(2×32＋2×3)－(2×22＋2×2)＝12(m)，故从2s到3s内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(12,1)＝12(m/s)．(3)Δt＝3－2.8＝0.2(s)，Δs＝(2×32＋2×3)－(2×2.82＋2×2.8)＝2.72(m)，故从2.8s到3s内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2.72,0.2)＝13.6(m/s)．(4)Δt＝3－2.9＝0.1(s)，Δs＝(2×32＋2×3)－(2×2.92＋2×2.9)＝1.38(m)，故从2.9s到3s内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(1.38,0.1)＝13.8(m/s)．(5)eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2t＋Δt2＋2t＋Δt－2t2＋2t,Δt)＝4t＋2＋Δt，当Δt趋于0时，平均速度趋于14，故可估计质点在3s时的瞬时速度为14m/s.10．若一物体运动函数如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2t≥3，,29＋3t－320≤t＜3.))求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．解：(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵物体在t＝0附近的平均变化率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(29＋3×0＋Δt－32－29－3×0－32,Δt)＝3Δt－18，当Δt趋于0时，eq\f(Δs,Δt)趋于－18，∴物体在t＝0时的瞬时速度(初速度)为－18(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．∵物体在t＝1附近的平均变化率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(29＋3[1＋Δt－3]2－29－3×1－32,Δt)＝3Δt－12，当Δt趋于0时，eq\f(Δs,Δt)趋于－12，∴物体在t＝1处的瞬时变化率为－1211．国家环保总局对某企业的排污量w分别于某月5日、10日、15日、20日和25日连续进行检测，检测结果如右图所示．从图中观察，在哪两次检测日期之间，治理效率最高？()A．5日到10日 B．10日到15日C．15日到20日 D．20日到25日解析：相邻检测日期之间都相差5日，而从15日到20日之间曲线下降最多，即排污量下降最多，所以治理效率最高．答案：C12．某物体走过的路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s＝2t2，通过平均变化率估计该物体在t＝2s时的瞬时速度为________m/s.解析：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(22＋Δt2－2×22,Δt)＝eq\f(8＋8Δt＋2Δt2－8,Δt)＝8＋2Δt，当Δt趋于0时，eq\f(Δs,Δt)趋于8.答案：813．设f(x)＝－3x＋2，则f(x)在x＝2附近的平均变化率为____________，在x＝3附近的平均变化率为______________．解析：在x＝2附近的平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f([－32＋Δx＋2]－－3×2＋2,Δx)＝eq\f(－3Δx,Δx)＝－3；在x＝3附近的平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f([－33＋Δx＋2]－－3×3＋2,Δx)＝eq\f(－3Δx,Δx)＝－3.答案：－3－314．某市一天12h内的气温变化情况如下图所示，则气温(单位：℃)在[0,4]h内的平均变化率为__________________．解析：eq\f(－2－－1,4－0)＝eq\f(－1,4)＝－eq\f(1,4).答案：－eq\f(1,4)15．设函数y＝f(x)＝x2＋eq\f(1,x).(1)求x从1变到2时，f(x)的平均变化率；(2)当x从1变化到1.1,1.01,1.001时的平均变化率，并由此估计f(x)在x＝1处的瞬时变化率．解：(1)所求平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f2－f1,2－1)＝eq\f(22＋\f(1,2)－12－\f(1,1),2－1)＝eq\f(5,2).(2)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2＋\f(1,1＋Δx)－12－\f(1,1),Δx)＝2＋Δx－eq\f(1,1＋Δx).当x从1变化到1.1时，Δx＝0.1，则平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝2＋0.1－eq\f(1,1＋0.1)≈1.191；当x从1变化到1.01时，Δx＝0.01，则平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝2＋0.01－eq\f(1,1＋0.01)≈1.020；当x从1变化到1.001时，Δx＝0.001，则平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝2＋0.001－eq\f(1,1＋0.001)≈1.002.由此估计当Δx趋于0时，平均变化率趋于1，即f(x)在x＝1处的瞬时变化率为1.16．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如下图所