第四章 一次函数压轴题考点训练（解析版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

第四章一次函数压轴题考点训练评卷人得分一、单选题1．如图，一次函数与的图象相交于点，则函数的图象可能是（

）A． B．C．D．【答案】A【分析】根据y1,y2的图象判断出k、b的符号以及k+b的值，然后根据k-1、b的符号判断出所求函数图象经过的象限即可．【详解】解：根据y1,y2的图象可知，k＜0，b＞0，且当x=1时，y2=0，即k+b=0.∴对于函数，有b＞0，当x=1时，y=k-1+b=0-1=-1＜0.∴符合条件的是A选项.故选：A.【点睛】本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．2．在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B=60°，BC=2cm，动点E从点A出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D﹣C﹣B运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，则y与x的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意找到临界点，E、F分别同时到达D、C，画出一般图形利用锐角三角函数表示y即可．【详解】在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，∴AD＝DC＝DB＝2，∠CDB＝60°，∵EF两点的速度均为1cm/s，∴当0≤x≤2时，y＝•DE•DF•sin∠CDB＝x2，当2≤x≤4时，y＝•AE•BF•sin∠B＝−x2＋x，由图象可知A正确，故选A．【点睛】本题为动点问题可函数图象探究题，考查了二次函数图象和锐角三角函数函数的应用，解答关键是分析动点到达临界点前后图形的变化．3．已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有几个（

）①动点H的速度是2cm/s；②BC的长度为3cm；③当点H到达D点时的面积是8cm2；④b的值为14；⑤在运动过程中，当的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和9.25s．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时△HAF的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法．【详解】解：当点H在AB上时，如图所示，AH=xt（cm），S△HAF=×AF×AH=4xt（cm2），此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，当点H在BC上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP=AB，∴S△HAF=×AF×AB，此时三角形面积不变，当点H在CD上时，如图所示，HP是△HAF的高，C，D，P三点共线，S△HAF=×AF×HP，点H从点C点D运动，HP逐渐减小，故三角形面积不断减小，当点H在DE上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP=EF，S△HAF=×AF×EF，此时三角形面积不变，当点H在EF时，如图所示，S△HAF=×AF×HF，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，对照图2可得0≤t≤5时，点H在AB上，S△HAF=4xt=4•5x=40（cm2），∴x=2，AB=2×5=10（cm），∴动点H的速度是2cm/s，故①正确，5≤t≤8时，点H在BC上，此时三角形面积不变，∴动点H由点B运动到点C共用时8-5=3（s），∴BC=2×3=6（cm），故②错误，8≤t≤12时，当点H在CD上，三角形面积逐渐减小，∴动点H由点C运动到点D共用时12-8=4（s），∴CD=2×4=8（cm），∴EF=AB-CD=10-8=2（cm），在D点时，△HAF的高与EF相等，即HP=EF，∴S△HAF=×AF×EF=×8×2=8（cm2），故③正确，12≤t≤b，点H在DE上，DE=AF-BC=8-6=2（cm），∴动点H由点D运动到点E共用时2÷2=1（s），∴b=12+1=13，故④错误．当△HAF的面积是30cm2时，点H在AB上或CD上，点H在AB上时，S△HAF=4xt=8t=30（cm2），解得t=3.75（s），点H在CD上时，S△HAF=×AF×HP=×8×HP=30（cm2），解得HP=7.5（cm），∴CH=AB-HP=10-7.5=2.5（cm），∴从点C运动到点H共用时2.5÷2=1.25（s），由点A到点C共用时8s，∴此时共用时8+1.25=9.25（s），故⑤正确．故正确的有①③⑤，共计③个，故选：B．【点睛】本题是动点函数的图象问题．考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义，是解决本题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（5，0）点P为线段OA上任意一点．在直线y＝x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（）A．2.5 B．2.4 C．2.8 D．3【答案】B【分析】如图，连接PM，PN，设AF交EM于J，连接PJ．证明四边形PMJN是矩形，推出MN=PJ，求出PJ的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，连接PM，PN，设AF交EM于J，连接PJ．∵PO=PE，OM=ME，∴PM⊥OE，∠OPM=∠EPM，∵PF=PA，NF=NA，∴PN⊥AF，∠APN=∠FPN，∴∠MPN=∠EPM+∠FPN=（∠OPF+∠FPA）=90°，∠PMJ=∠PNJ=90°，∴四边形PMJN是矩形，∴MN=PJ，∴当JP⊥OA时，PJ的值最小此时MN的值最小，∵AF⊥OM，A（5，0），直线OM的解析式为y=x∴设直线AF的解析式为y=x+b∵直线AF过A（5，0），∴=0，∴b=，∴y=，由，解得∴∴PJ的最小值为=2.4即MN的最小值为2.4故选：B．【点睛】本题考查一次函数的应用，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．5．如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；······，按此作法继续下去，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据所给一次函数判断出直线与轴夹角是30°，在含有30°角的直角三角形中依次得到线段长度，表示出A、A1、A2…及B、B1、B2…的坐标，找到规律后求出A2020的坐标，再根据A2020的坐标与B2020的纵坐标相同即可得出结论．【详解】解：∵直线l的解析式为：，∴直线l与x轴的夹角为30°，∵AB∥x轴，∴∠ABO＝30°，∵OA＝1，∴AB＝，∵A1B⊥l，∴∠ABA1＝60°，∴AA1＝3，∴A1（0，4），B1（，4），同理可得B2（，16），…∴A2020纵坐标为：，∴A2020（0，），∴B2020（，），故选C．【点睛】本题考查了一次函数的综合题应用，从可求得的坐标中寻找规律，得出结论，解决本题的关键是判断出直线与轴的夹角．6．如图，已知点A（1，-1），B（2，3），点P为x轴上一点，当|PA-PB|的值最大时，点P的坐标为（）A．（-1，0） B．（，0） C．（，0） D．（1，0）【答案】B【分析】由题意作A关于x轴对称点C，连接BC并延长，BC的延长线与x轴的交点即为所求的P点；首先利用待定系数法即可求得直线BC的解析式，继而求得点P的坐标．【详解】解：作A关于x轴对称点C，连接BC并延长交x轴于点P，∵A（1，-1），∴C的坐标为（1，1），连接BC，设直线BC的解析式为：y=kx+b，∴,解得，∴直线BC的解析式为：y=2x-1，当y=0时，x=，∴点P的坐标为：（，0），∵当B，C，P不共线时，根据三角形三边的关系可得：|PA-PB|=|PC-PB|＜BC，∴此时|PA-PB|=|PC-PB|=BC取得最大值．故选：B．【点睛】本题考查轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此题难度较大，解题的关键是找到P点，注意数形结合思想与方程思想的应用．7．如图，已知点是第一象限内横坐标为2的一个定点，轴于点，交直线于点，若点是线段上的一个动点，，，点在线段上运动时，点不变，点随之运动，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是（

）

A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根据题意利用相似三角形可以证明线段就是点运动的路径（或轨迹），又利用∽求出线段的长度，即点B运动的路径长．【详解】解：由题意可知，，点在直线上，轴于点，则为顶角30度直角三角形，.如下图所示，设动点在点（起点）时，点的位置为，动点在点（终点）时，点的位置为，连接，∵，∴又∵，∴（此处也可用30°角的）∴∽，且相似比为，∴现在来证明线段就是点运动的路径（或轨迹）.

如图所示，当点运动至上的任一点时，设其对应的点为，连接，，∵，∴又∵，∴∴∽∴又∵∽∴∴∴点在线段上，即线段就是点运动的路径（或轨迹）.综上所述，点运动的路径（或轨迹）是线段，其长度为.故选：【点睛】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中.评卷人得分二、填空题8．如图，矩形中，点、、坐标分别为，，，直线与矩形的边相交，则的取值范围是．【答案】【分析】根据矩形的性质求得点的坐标，根据图像得到直线与矩形的边相交，则交点在线段之间，代入求解即可．【详解】解：矩形中，点、、坐标分别为，，根据矩形的性质可得：根据图像得到直线与矩形的边相交，则交点在线段之间将点代入得：，解得将点代入得：，解得由此可得故答案为【点睛】此题考查了一次函数与几何图形的应用，涉及了矩形的性质，解题的关键是结合函数图像确定直线与矩形的边相交时所满足的条件．9．如图，A（1，0），B（0，1），若是一个三角形台球桌，从O点击出的球经过C、D两处反弹正好落在A洞，则C的坐标是．【答案】（，）【分析】根据A、B两点求得所在直线的解析式为，作点关于直线的对称点，求出、C、D所在直线的解析式为：，得到C（，），作点关于轴的对称点，求出、D、A所在直线的解析式为：，得到，即可求出点C坐标．【详解】解：设所在直线的解析式为,∵A（1，0），B（0，1），∴，解得：，∴所在直线的解析式为，作点关于直线的对称点（，）交直线AB于点E，过轴，由勾股定理得：∵，∴∴∵,即①∵中点坐标为（，）在直线上，∴②，联立①②解得：，即坐标为（1，1），设点D（0，），点、C、D在同一条线上，设该直线解析式∵点（1，1）、D（0，）在直线上，∴，解得：，∴、C、D所在直线的解析式为：，联立方程：，解得，即点C（，），作点关于轴的对称点，则（，），点、D、A在同一条线上，设该直线解析式，∵点A（1，0）、D（0，）在直线上，∴，解得：，∴、D、A所在直线的解析式为：，把坐标代入，解得：，此时点C（，），故答案为（，）．【点睛】本题考查了一次函数解析式、对称点坐标，根据交点坐标求解析式，巧妙利用对称点是解题关键．10．如图，在平面直角坐标系中，点，B的坐标分别为，，直线的函数表达式为．若线段与直线没有交点，则的取值范围是．【答案】或或【分析】分别利用当直线过点时，k值最小，当直线过点时，k值最大，即可求出线段与直线有交点时，k的取值范围，据此即可求解．【详解】解：当直线过点时，k值最小，则，解得，当直线过点时，k值最大，则，解得，故线段与直线有交点时，k的取值范围为，故线段与直线没有交点时，k的取值范围为或或，故答案为：或或．【点睛】本题考查了直线相交或平行问题，熟练掌握直线相交或平行问题的特点是解题的关键．11．已知平面直角坐标系中A、B两点坐标如图，若PQ是一条在x轴上活动的线段，且PQ=1，求当BP+PQ+QA最小时，点Q的坐标．【答案】（，0）【分析】如图把点向右平移1个单位得到，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的值最小，求出直线的解析式，即可解决问题．【详解】如图把点向右平移1个单位得到，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的值最小．设最小的解析式为，则有，解得，直线的解析式为，令，得到，．故答案为．【点睛】本题考查轴对称最短问题、坐标与图形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．12．在平面直角坐标系中，已知、，为一次函数的图像上一点，且，则点的坐标为.【答案】【分析】根据，把线段AB绕点B逆时针旋转90°，构造等腰直角三角形，再通过构造全等三角形，求出点C的坐标，进而求出线段BC的中点坐标，即可得到直线BP的解析式，根据点P是直线BP和直线的交点，即可得到答案．【详解】如图所示：把线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点A作ADy轴，过点C作CEy轴，过点B作DEx轴，分别交AD，CE于点D，E，∵∠BAD+∠ABD=∠ABD+∠CBE=90°，∴∠BAD=∠CBE，又∵∠D=∠E=90°，AB=BC，∴∆BAD≅∆CBE（AAS），∴BD=CE，AD=BE，∵，，∴BD=CE=4，AD=BE=8，∴点C的坐标是：(-5，-4)．由旋转的性质，可知：∆ABC是等腰直角三角形，令线段AC和线段BP交于点M，∵∠ABP=∠CBP=45°，∴点M是选段AC的中点，∴点M的坐标是：(1，-2)，设直线BP的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线BP的解析式为：y=-3x+1，联立，解得：，∴点P的坐标是：．故答案是：．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质和两直线交点坐标的求法，通过旋转变换，添加辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形，是解题的关键．评卷人得分三、解答题13．A城有某种农机30台，B城有该农机40台．现要将这些农机全部运往C、D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C、D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C、D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（100＜a＜250）作为优惠，其他费用不变．在（2）的条件下，若总费用最小值为10740元，直接写出a的值．【答案】（1）W关于x的函数关系式为W＝140x+12540，自变量x的取值范围为0≤x≤30；（2）有三种调运方案：①A城运往C乡28台，运往D乡2台；B城运往C乡6台，运往D乡34台；②A城运往C乡29台，运往D乡1台；B城运往C乡5台，运往D乡35台；③A城运往C乡30台，运往D乡0台；B城运往C乡4台，运往D乡36台；（3）a的值为200元．【分析】（1）设A城运往C乡x台农机，可以表示出运往其它地方的台数，根据调运单价和调运数量可以表示总费用W；（2）列出不等式组确定自变量x的取值范围，在x的正整数解的个数确定调运方案，并分别设计出来；（3）根据A城运往C乡的农机降价a元其它不变，可以得出另一个总费用与x的关系式，根据函数的增减性，确定当x为何值时费用最小，从而求出此时的a的值．【详解】解：（1）设A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡（6+x）台农机，由题意得：W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）＝140x+12540，∵x≥0且30﹣x≥0且34﹣x≥0，∴0≤x≤30，答：W关于x的函数关系式为W＝140x+12540，自变量x的取值范围为0≤x≤30．（2）由题意得：，解得：28≤x≤30，∵x为整数，∴x＝28或x＝29或x＝30，因此有三种调运方案，即：①A城运往C乡28台，运往D乡2台；B城运往C乡6台，运往D乡34台；②A城运往C乡29台，运往D乡1台；B城运往C乡5台，运往D乡35台；③A城运往C乡30台，运往D乡0台；B城运往C乡4台，运往D乡36台；（3）由题意得：W＝（250﹣a）x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）＝（140﹣a）x+12540，∵总费用最小值为10740元，∴140﹣a＜0∴W随x的增大而减小，又∵28≤x≤30，∴当x＝30时，W最小，即：（140﹣a）×30+12540＝10740，解得：a＝200答：a的值为200元．【点睛】考查一次函数的性质、一元一次不等式组等知识，准确理解题意，熟练掌握一次函数的增减性、弄清调运的台数是解决问题的关键．14．有、、三家工厂依次坐落在一条笔直的公路边，甲、乙两辆运货卡车分别从、工厂同时出发，沿公路匀速驶向工厂，最终到达工厂，设甲、乙两辆卡车行驶后，与工厂的距离分别为、（）．、与函数关系如图所示，根据图象解答下列问题．（提示：图中较粗的折线表示的是与的函数关系．）（1）、两家工厂之间的距离为__________，__________，点坐标是__________．（2）求甲、乙两车之间的距离不超过时，的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）或．【分析】（1）根据y轴的最大距离为B、C两地间的距离，再加上A、B两地间的距离即可；先求出甲的速度，再求出到达C地的时间，然后加上即为a的值；利用待定系数法求一次函数解析式求出甲从B地到C地的函数解析式，再求出乙的解析式，然后联立求解即可得到点P的坐标；（2）根据两函数解析式列出不等式组求解即可．【详解】解：（1）由图可知，A、B两地相距，B、C两地相距，所以，A、C两家工厂之间的距离为，甲的速度为：，，∴；设甲：时的函数解析式为，∵函数图象经过点、，∴，解得：，∴，∵乙的速度为，乙函数解析式为：，联立，解得：，所以，点；（2）∵甲、乙两车之间的距离不超过，∴，解不等式①得，，解不等式②得，，所以，x的取值范围是；当甲车停止后，乙行驶小时时，两车相距，故时，甲、乙两车之间的距离不超过．综上所述：x的取值范围是或甲、乙两车之间的距离不超过．【点睛】本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间三者之间的关系，待定系数法求一次函数解析式，（2）读懂题目信息，理解题意并列出不等式组是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点O顺时针旋转90°后，分别与x轴y轴交于点D、C．(1)若，求直线AB的函数关系式；(2)连接BD，若的面积是5，求点B的运动路径长．【答案】（1）y=2x+4（2）【分析】（1）根据图像求出B的坐标，然后根据待定系数法求出直线AB的解析式；（2）设OB=m，然后根据△ABD的面积可得到方程，解方程可求出m的值，由此可根据旋转的意义求出B的路径的长．【详解】解：（1）因为，且点B在y轴正半轴上，所以点B坐标为．设直线AB的函数关系式为，将点，的坐标分别代入得，解得，所以直线AB的函数关系式为．（2）如图，设，因为的面积是5，所以．所以，即．解得或(舍去)．因为，所以点B的运动路径长为．16．如图，已知为正比例函数的图像上一点，轴，垂足为点.（1）求的值；（2）点从出发，以每秒个单位的速度，沿射线方向运动.设运动时间为.①过点作交直线于点，若，求的值；②在点的运动过程中，是否存在这样的，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）6；（2）①2或8；②或或.【分析】（1）把代入，即可得到m的值；（2）①由，得，分两种情况当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别列出方程，即可求解；②当为等腰三角形时，分三种情况讨论：