苏科版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷专题07二次根式(重点)(原卷版+解析)

专题07二次根式（重点）一、单选题1．下列判断正确的是A．带根号的式子一定是二次根式B．一定是二次根式C．一定是二次根式D．二次根式的值必定是无理数2．使得有意义的的取值范围是（

）A． B．且 C． D．3．下列四个等式：①；②；③；④．正确的是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①③4．下列各式，化简后能与合并的是（）A． B． C． D．5．下列二次根式中，最简二次根式是(

)A． B． C． D．6．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．7．下列各式中，与化简所得结果相同的是（

）A． B． C． D．8．若等式成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则式子化简的结果为（

）A．a B． C． D．10．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（

）A． B． C． D．二、填空题11．①比较大小：________（填“”、“”、“”），②化简________．12．计算：=__________．13．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为________.14．如果a，b，c为三角形ABC的三边长，请化简：＝____．15．计算：（﹣2）2018（+2）2017＝___．16．若最简二次根式和是同类二次根式，那么的值是_____________．17．已知，则xy=_____________.18．设一个三角形的三边分别为a，b，c，p＝（a+b+c），则有下列面积公式：S＝（秦九韶公式），S＝（海伦公式）．一个三角形的三边长依次为2，3，4，任选以上一个公式请直接写出这个三角形的面积为_____．三、解答题19．计算：（1）；

（2）；（3）；

（4）．20．化简：（1）．

（2）．21．计算：22．计算:（）23．先化简，再求值：a+，其中a=1007.如图是小亮和小芳的解答过程.(1)_________的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_________；(3)先化简，再求值：a+2，其中a=-2007.24．张老师在微机上设计了一长方形图片，已知长方形的长是cm，宽是cm，他又设计一个面积与其相等的圆，请你帮助张老师求出圆的半径r.25．设每个小正方形网格的边长为1，请在网格内画出，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，，．（1）求的面积；（2）求出最长边上的高．26．若a，b都是正整数，且a＜b，与是可以合并的二次根式，是否存在a，b，使＋＝？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由．27．已知x＝，y＝，求下列各式的值．（1）x2﹣y2；（2）x2﹣2xy+y2．28．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=，则三角形的面积S=．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，求这个三角形的面积．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．29．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的5倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．(1)若一个三角形的三边长分别是1，，，这个三角形是否为“平方倍三角形”？请你作出判断并说明理由；(2)若一个直角三角形是“平方倍三角形”，求该直角三角形的三边之比（将比值按从小到大的顺序排列）；(3)如图，在中，，，是边上的高，若是“平方倍三角形”，求的面积．30．阅读下列材料，解答后面的问题：；；(1)写出下一个等式；(2)计算的值；(3)请求出的运算结果．31．在解决问题“已知，求的值时，小明是这样分析与解答的：∵，∴．∴，，∴，∴，请你根据小明的分析过程，解答下列问题：（1）化简：；（2）化简：；（3）若，求：①的值；②的值．专题07二次根式（重点）一、单选题1．下列判断正确的是A．带根号的式子一定是二次根式B．一定是二次根式C．一定是二次根式D．二次根式的值必定是无理数【答案】C【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解析】解：A、带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误；B、，a≥0时，一定是二次根式，故此选项错误；C、一定是二次根式，故此选项正确；D、二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键．2．使得有意义的的取值范围是（

）A． B．且 C． D．【答案】C【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解析】解：有意义，则，解得：．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．3．下列四个等式：①；②；③；④．正确的是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①③【答案】C【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解析】解：，①错误；，②错误，③正确；，④正确．故选：C．【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．4．下列各式，化简后能与合并的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案．【解析】解：与是同类二次根式即可合并，由于=2，2与是同类二次根式，∴2与可以合并，故选C．【点睛】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式，本题属于基础题型．5．下列二次根式中，最简二次根式是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1）、被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）、被开方数中不能含有开方开的尽的因数或者因式．【解析】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意，B、，是最简二次根式，符合题意，C、，不是最简二次根式，不符合题意，D、，不是最简二次根式，不符合题意，故选B．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解掌握最简二次根式定义是解题关键．6．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的加减乘除法则分别计算，即可判断．【解析】解：A、，不能合并，故本选项错误；B、，故本选项正确；C、，故本选项错误；D、，故本选项错误；故选A．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力．7．下列各式中，与化简所得结果相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．【解析】解：∵有意义，∴∴，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．8．若等式成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根据二次根式的性质，即被开方数是非负数，分数的性质，即分母不能为零，即可求解．【解析】解：根据题意得，，∴由①得，；由②得，，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查二次根式中被开方数的非负性，掌握二次根式有意义的条件时解题的关键．9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则式子化简的结果为（

）A．a B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得：，，从而可得，，然后利用二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简计算，即可解答．【解析】解：∵，，∴，，∴故选：D【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键．10．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【解析】∴a的小数部分为，∴b的小数部分为，∴，故选：B．【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．二、填空题11．①比较大小：________（填“”、“”、“”），②化简________．【答案】/【分析】①先比较，推出，即可求解；②判断，再利用二次根式的性质化简．【解析】解：，，∵，∴，∴；∵，∴．故答案为：；．【点睛】本题考查了二次根式大小的比较，二次根式的化简，，解题的关键是掌握实数大小比较的方法．12．计算：=__________．【答案】【分析】先化简二次根式，再合并即可.【解析】原式==.故答案为：【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．13．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为________.【答案】8-12【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC,再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解.【解析】∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为4cm，＝cm，∴AB＝4cm，BC＝（＋4）cm，∴空白面积＝（＋4）×4－12－16＝8＋16－12－16＝（8－12）cm2，故答案为8－12.【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出AB、BC的长度，从而求出空白部分面积.14．如果a，b，c为三角形ABC的三边长，请化简：＝____．【答案】2a+2c-2b【分析】根据三角形三边关系定理得出a+c＞b，再根据二次根式性质进行计算，最后求出即可．【解析】解：∵a，b，c为三角形的三边长，∴a+c＞b，即a+c-b＞0，b-c-a<0，∴=|a+c-b|+|b-c-a|=a+c-b-b+c+a=2a+2c-2b．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，二次根式的性质的应用，解此题的关键是根据三角形三边关系得到a+c-b＞0，b-c-a<0．15．计算：（﹣2）2018（+2）2017＝___．【答案】﹣2.【分析】把（﹣2）2018（+2）2017改写为（﹣2）×（﹣2）2017（+2）2017，然后逆用积的乘方法则和平方差公式计算即可.【解析】﹣2）2018（+2）2017＝（﹣2）×（﹣2）2017（+2）2017＝（﹣2）×[（﹣2）（+2）]2017＝（﹣2）×1=﹣2.故答案为﹣2.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，逆用积的乘方法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应.16．若最简二次根式和是同类二次根式，那么的值是_____________．【答案】0【分析】先根据同类二次根式的定义求出a、b，再代入计算即可．【解析】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，∴，，∴，，∴，故答案为0．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．17．已知，则xy=_____________.【答案】【分析】根据已知和二次根式的性质求出x、y的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x、y的值代入式子计算即可．【解析】∵1-8x≥0，x≤,8x-1≥0，x≥，∴x=，y=，∴xy=×=．故答案为.【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，根据已知条件求出x、y的值是解题的关键．18．设一个三角形的三边分别为a，b，c，p＝（a+b+c），则有下列面积公式：S＝（秦九韶公式），S＝（海伦公式）．一个三角形的三边长依次为2，3，4，任选以上一个公式请直接写出这个三角形的面积为_____．【答案】/【分析】选取海伦公式进行计算，根据公式将三边长以及的值代入求解即可．【解析】解：∵一个三角形的三边长依次为2，3，4，∴p＝S＝故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．三、解答题19．计算：（1）；

（2）；（3）；

（4）．【答案】（1）0；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（3）先去括号然后把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（4）根据二次根式乘法法则计算．【解析】（1）．（2）．（3）．（4）【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．化简：（1）．

（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）原式先进行二次根式的乘除运算，再化简即可得到结果；（2）原式根据平方差公式和分母有理化化简各项，再进行运算即可得到答案．【解析】解：（1）====．

（2）==．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．21．计算：【答案】【分析】根据二次根式的运算法则和乘法公式进行计算和化简，可得出结果【解析】解：原式=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握乘法公式和运算法则是解题关键.22．计算:（）【答案】【分析】先根据平方差公式对进行变形，再进行计算，即可得到答案.【解析】===【点睛】本题考查二次根式的乘除计算、平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的乘除计算、平方差公式.23．先化简，再求值：a+，其中a=1007.如图是小亮和小芳的解答过程.(1)_________的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_________；(3)先化简，再求值：a+2，其中a=-2007.【答案】（1）小亮；（2）=-a(a<0)；（3）2013.【分析】（1）根据二次根式的性质=|a|，判断出小亮的计算是错误的；（2）错误原因是：二次根式的性质=|a|的应用错误；（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可．【解析】（1）小亮；（2）=-a（a＜0）；（3）∵a=-2007，∴a+2＝a+2＝a+2（3-a）=6-a=6-（-2007）＝2013．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握=-a（a＜0）是解本题的关键.24．张老师在微机上设计了一长方形图片，已知长方形的长是cm，宽是cm，他又设计一个面积与其相等的圆，请你帮助张老师求出圆的半径r.【答案】r=【分析】设圆的半径为R，根据圆的面积公式和矩形面积公式得到πR2=•，再根据二次根式的性质化简后利用平方根的定义求解．【解析】解：设圆的半径为R，根据题意得πR2=•，即πR2=70π，解得R1=，R2=-（舍去），所以所求圆的半径为cm．故答案为．【点睛】本题考查二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．25．设每个小正方形网格的边长为1，请在网格内画出，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，，．（1）求的面积；（2）求出最长边上的高．【答案】（1）；作图如图；（2）．【分析】（1）因为每个小正方形网格的边长为1，利用勾股定理，首先作出最长边，同理即可作出，；（2）根据三角形面积不变，设出最长边上的高，根据三角形面积公式，即可求解．【解析】解（1）作图如图：，，，由图可知：，即．故的面积为2．（2）设最长边上的高为，而最长边为，∴，解得．故最长边上的高为．【点睛】本题目考查二次根式与勾股定理的综合，难度不大，熟练掌握勾股定理的逆用是顺利解题的关键．26．若a，b都是正整数，且a＜b，与是可以合并的二次根式，是否存在a，b，使＋＝？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【答案】当a＝3，b＝48；当a＝12，b＝27.【解析】试题分析：直接利用同类二次根式的定义得出，与是同类二次根式，进而得出答案．试题解析：∵与是可以合并二次根式，+=，∴+==5，∴当a=3，则b=48，当a=12，则b=27．27．已知x＝，y＝，求下列各式的值．（1）x2﹣y2；（2）x2﹣2xy+y2．【答案】（1）2﹣2；（2）3﹣2【分析】（1）将x、y的值代入到原式＝（x+y）（x﹣y）计算即可；（2）将x、y的值代入到原式＝（x﹣y）2计算即可．【解析】解：（1）当x＝，y＝时，原式＝（x+y）（x﹣y）＝（+）×（﹣）＝2×（1﹣）＝2﹣2；（2）当x＝，y＝时，原式＝（x﹣y）2＝（﹣）2＝（1﹣）2＝1﹣2+2＝3﹣2．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式与平方差公式的运用．28．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=，则三角形的面积S=．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，求这个三角形的面积．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【答案】（1）这个三角形的面积等于6；（2）这个三角形的面积是．【分析】（1）把a、b、c的长代入p，然后代入S，计算即可得解；（2）把a、b、c的长代入S，计算即可得解．【解析】解：（1），，答：这个三角形的面积等于（2）答：这个三角形的面积是【点睛】本题属于材料阅读题，创新题型，主要考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．29．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的5倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．(1)若一个三角形的三边长分别是1，，，这个三角形是否为“平方倍三角形”？请你作出判断并说明理由；(2)若一个直角三角形是“平方倍三角形”，求该直角三角形的三边之比（将比值按从小到大的顺序排列）；(3)如图，在中，，，是边上的高，若是“平方倍三角形”，求的面积．【答案】(1)这个三角形是“平方倍三角形”，理由见解析(2)(3)或【分析】（1）根据“平方倍三角形”的定义，即可求解；（2）设直角边长为，，斜边为，根据“平方倍三角形”的定义，可得，从而得到，，即可求解；（3）由（2）知，的三边比为，从而得到，或，，再结合勾股定理，即可求解．【解析】（1）解：结论：这个三角形是“平方倍三角形”