华师版八年级全等三角形

全等三角形考点考试内容考试要求全等三角形全等三角形的定义了解全等三角形的性质理解全等三角形的判定掌握1．(2014宜宾中考)如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一直线上，AE＝CF，∠B＝∠D，AD∥BC.求证：AD＝BC.证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.∵在△ADF和△CBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠D，,∠A＝∠C，,AF＝CE，))∴△ADF≌△CBE(A.A.S.)，∴AD＝BC.2．(2015宜宾中考)如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，求证：∠A＝∠D.证明：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE，即∠ACB＝∠DCE.又∵AC＝DC，BC＝EC，∴△ACB≌△DCE，∴∠A＝∠D.3．(2016宜宾中考)如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.证明：∵∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC，∴∠DAB＝∠CBA.在△ADB与△BCA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CAB＝∠DBA，,AB＝AB，,∠DAB＝∠CBA，))∴△ADB≌△BCA(A.S.A.)，∴BC＝AD.4．(2017宜宾中考)如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF.求证：BE＝CF.证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D，,∠ACB＝∠F，,AB＝DE，))∴△ABC≌△DEF(A.A.S.)；∴BC＝EF，∴BC－CE＝EF－CE，即BE＝CF.全等三角形的概念1．能够__完全重合__的两个三角形叫做全等三角形．三角形全等的判定2．一般三角形全等的判定定理：(1)边角边定理：有两边和它们的__夹角__对应相等的两个三角形全等；(可简写成“边角边”或“S.A.S.”)(2)角边角定理：有两角和它们的__夹边__对应相等的两个三角形全等；(可简写成“角边角”或“A.S.A.”)(3)角角边定理：有两角和__一边__对应相等的两个三角形全等；(可简写成“角角边”或“A.A.S.”)(4)边边边定理：有__三边__对应相等的两个三角形全等．(可简写成“边边边”或“S.S.S.”)3．直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，除以上判定以外，还有H.L.定理(斜边、直角边定理)：有__斜边__和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“H.L.”)．4．三角形全等的证明思路eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(已知两边\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找夹角—S.A.S.,找直角—H.L.,找另一边—S.S.S.)),已知一边一角\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(边为角的对边：找任意角—A.A.S.,\a\vs4\al(边为角,的邻边)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找夹角的另一边—S.A.S.,找夹边的另一角—A.S.A.,找边的对角—A.A.S.)))),已知两角\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找夹边—A.S.A.,找对边—A.A.S.))))全等三角形的判定与性质【例1】(2017苏州中考)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．【解析】(1)根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；(2)由(1)可知：EC＝ED，∠C＝∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数．【答案】解：(1)∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE.在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠B，,AE＝BE，,∠AEC＝∠BED，))∴△AEC≌△BED(A.S.A.)．(2)∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°，∴∠BDE＝∠C＝69°.【点评】本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．【针对训练】1．(贵阳中考)如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是(B)A．∠A＝∠CB．∠D＝∠BC．AD∥BCD．DF∥BE2．(2017温州中考)如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD.(1)求证：△ABC≌△AED；(2)当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．解：(1)∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，∴∠ACB＝∠ADE.在△ABC和△AED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝ED，,∠ACB＝∠ADE，,AC＝AD，))∴△ABC≌△AED(S.A.S.)；(2)当∠B＝140°时，∠E＝140°.又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，∴五边形ABCDE中，∠BAE＝540°－140°×2－90°×2＝80°.全等三角形的应用【例2】如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：分别在BA和CA上取BE＝CG；②在BC上取BD＝CF；③量出DE的长am，FG的长bm.如果a＝b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？【解析】给出的三组相等线段都分布在△BDE，△CFG中，判断他们全等，条件充分，利用全等的性质容易得出∠B＝∠C.【答案】解：这种做法合理．理由：在△BDE和△CFG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CG，,BD＝CF，,DE＝FG，))∴△BDE≌△CFG(S.S.S.)，∴∠B＝∠C.【点评】本题考查了全等三角形的应用；判断两个角相等，或者边相等，可以把他们分别放到两个可能全等的三角形中，围绕全等找判断全等的条件．【针对训练】3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法的依据是__S．S.S.证明△COM≌△CON__．直角三角形的判定与应用【例3】如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF.求证：Rt△BCE≌Rt△DCF.【解析】连接BD，根据等腰三角形的性质和判定，求出BC＝DC，根据直角三角形全等的判定定理HL推出两三角形全等即可．【答案】证明：连接BD，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC，∵BE⊥EF，DF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°，在Rt△BCE和Rt△DCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝DC，,BE＝DF，))∴Rt△BCE≌Rt△DCF(H.L.)．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形全等的判定的应用，主要培养学生运用定理进行推理的能力，题型较好，难度适中．【针对训练】4．如图所示，∠C＝∠D＝90°，可使用“H.L.”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是__AC＝AD(答案不唯一)__．,(第4题图)),(第5题图))5．如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC＝BD.说明OD＝OC成立的理由．证明：∵DA⊥AC，DB⊥BC，∴∠A＝∠B＝90°，在Rt△ADC和Rt△BCD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BD，,DC＝CD，))∴Rt△ADC≌Rt△BCD(H.L.)，∴∠BDC＝∠ACD，∴OD＝OC.1.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是(A)A．S.S.S.B．S.A.S.C．A.S.A.D．A.A.S.2．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝42°，则∠P的度数为(C)A．44°B．66°C．96°D．92°,(第2题图)),(第3题图))3．小涛在家打扫卫生，一不小心把一块三角形的玻璃台板打碎了，如图，如果要配一块完全一样的玻璃，至少要带__2__块，序号分别是__3，4__．4．(2017齐齐哈尔中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连结EF，若AC＝10，求EF的长．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△BDG和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝AD，,∠BDG＝∠ADC，,DG