2017-2018学年高一数学上学期基础达标检测2

课时提升作业(二十二)幂函数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数中,是幂函数的是()A.y=2x B.y=2x3C.y=QUOTE D.y=2x2【解析】选C.由幂函数所具有的特征可知,选项A,B,D中x的系数不是1;故只有选项C中y=QUOTE=x-1符合幂函数的特征.【补偿训练】下列函数:①y=x2+1;②y=QUOTE;③y=3x2-2x+1;④y=x-3;⑤y=QUOTE+1.其中是幂函数的是()A.①⑤ B.①②③C.②④ D.②③⑤【解析】选C.由幂函数所具有的特征可知②④符合,而①③⑤中有常数项1,均不符合幂函数的特征.2.(2015·长治高一检测)若幂函数y=(m2-3m+3)xm-2的图象不过原点,则m的取值范围为()A.1≤m≤2 B.m=1或m=2C.m=2 D.m=1【解析】选D.由题意得QUOTE解得m=1.3.函数y=x-2在区间QUOTE上的最大值是()A.QUOTE B.QUOTE C.4 D.-4【解析】选C.y=x-2在区间QUOTE上单调递减,所以x=QUOTE时,取得最大值为4.【延伸探究】若本题的条件不变,则此函数在区间QUOTE上的最大值和最小值之和为多少?【解析】y=x-2在区间QUOTE上单调递减,所以x=2时,取得最小值为QUOTE,当x=QUOTE时,取得最大值为4.故最大值和最小值的和为QUOTE.4.在下列函数中,定义域为R的是()A.y=QUOTE B.y=QUOTEC.y=2x D.y=x-1【解析】选C.选项A中函数的定义域为[0,+∞),选项B,D中函数的定义域均为(-∞,0)∪(0,+∞).【误区警示】本题在确定函数的定义域时易忽略指数是负数,从而自变量不能为0的情况,导致错选B或D.【补偿训练】设α∈QUOTE,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为()A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3【解析】选A.函数y=x-1的定义域是QUOTE,函数y=QUOTE的定义域是[0,+∞),函数y=x和y=x3的定义域为R且为奇函数.5.(2015·荆门高一检测)函数y=|xQUOTE(n∈N,n>9)的图象可能是()【解析】选C.因为y=|xQUOTE为偶函数,所以排除选项A,B.又n>9,所以QUOTE<1.由幂函数在(0,+∞)内幂指数小于1的图象可知,只有选项C符合题意.二、填空题(每小题5分,共15分)6.幂函数f(x)=xα过点QUOTE,则f(x)的定义域是.【解析】因为幂函数f(x)过点QUOTE,所以QUOTE=2α,所以α=-1,所以f(x)=x-1=QUOTE,所以函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).答案:(-∞,0)∪(0,+∞)7.(2015·铁岭高一检测)若y=aQUOTE是幂函数,则该函数的值域是.【解析】由已知y=aQUOTE是幂函数,得a=1,所以y=QUOTE,所以y≥0,故该函数的值域为[0,+∞).答案:[0,+∞)【补偿训练】(2014·济宁高一检测)当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)xm为减函数,则实数m的值为.【解析】由于函数y=(m2-m-1)xm为幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.当m=2时函数在(0,+∞)上递增,所以要舍去.当m=-1时函数在(0,+∞)上递减,所以m=-1符合题意,故填-1.答案:-18.若函数f(x)是幂函数,且满足QUOTE=3,则fQUOTE的值等于.【解析】依题意设f(x)=xα,则有QUOTE=3,得α=log23,则f(x)=QUOTE,于是fQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.比较下列各组数的大小:(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2【解析】(1)由于函数y=x0.1在第一象限内单调递增,又因为1.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1(2)由于函数y=x-0.2在第一象限内单调递减,又因为0.24<0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.(3)首先比较指数相同的两个数的大小,由于函数y=x0.3在第一象限内单调递增,而0.2<0.3,所以0.20.3<0.30.3再比较同底数的两个数的大小,由于函数y=0.3x在定义域内单调递减,而0.2<0.3,所以0.30.3<0.30.2所以0.20.3<0.30.3<0.30.210.已知幂函数y=x3-p(p∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上为增函数,求满足条件(a+1QUOTE<(3-2aQUOTE的实数a的取值范围.【解析】因为幂函数y=x3-p(p∈N*)的图象关于y轴对称,所以函数y=x3-p是偶函数.又y=x3-p在(0,+∞)上为增函数,所以3-p是偶数且3-p>0.因为p∈N*,所以p=1,所以不等式(a+1QUOTE<(3-2aQUOTE化为:(a+1QUOTE<(3-2aQUOTE.因为函数y=QUOTE是[0,+∞)上的增函数,所以QUOTE⇒QUOTE⇒-1≤a<QUOTE,故实数a的取值范围为QUOTE.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·沈阳高一检测)下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是()A.y=QUOTE B.y=x2C.y=x3 D.y=QUOTE【解析】选B.函数y=QUOTE,y=x3,y=QUOTE在各自定义域上均是增函数,y=x2在(-∞,0)上是减函数.【补偿训练】下列幂函数中过点(0,0),(1,1)且为偶函数的是()A.y=QUOTE B.y=x4C.y=x-2 D.y=QUOTE【解析】选B.函数y=x4是过点(0,0),(1,1)的偶函数,故B正确;函数y=x-2不过点(0,0),故C不正确;函数y=QUOTE,y=QUOTE是奇函数,故A,D不正确.2.在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-QUOTE的图象可能是()【解析】选C.当a<0时,函数y=ax-QUOTE在R上是减函数,此时y=xa在(0,+∞)上也是减函数,同时为减的只有D选项,而函数y=ax-QUOTE与y轴相交于点QUOTE,此点在y轴的正半轴上,故D选项不适合.当a>0时,函数y=ax-QUOTE在R上是增函数,与y轴相交于点QUOTE,此点在y轴的负半轴上,只有A,C适合,此时函数y=xa在(0,+∞)上是增函数,进一步判断只有C适合.【补偿训练】函数y=xα与y=αx(α∈{-1,1,QUOTE,2,3})的图象只可能是下面中的哪一个()【解析】选C.A中直线对应函数y=x,曲线对应函数为y=x-1,1≠-1,故A错;B中直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=QUOTE,2≠QUOTE,故B错;C中直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=x2,,22=2×2,故C对;D中直线对应函数为y=-x,曲线对应函数为y=x3,-1≠3.故D错.二、填空题(每小题5分,共10分)3.设a=QUOTE,b=QUOTE,c=QUOTE,则a,b,c的大小关系是.【解析】因为y=QUOTE在x∈(0,+∞)上递增,所以QUOTE>QUOTE,即a>c,因为y=QUOTE在x∈(-∞,+∞)上递减,所以QUOTE>QUOTE,即c>b,所以a>c>b.答案:a>c>b4.(2015·徐州高一检测)已知幂函数fQUOTE=QUOTE(m∈Z)的图象与x轴,y轴都无交点,且关于原点对称,则函数fQUOTE的解析式是.【解题指南】由于函数的图象与x轴,y轴都无交点,所以m2-1<0,再根据图象关于原点对称,且m∈Z,确定m的值.【解析】因为函数的图象与x轴,y轴都无交点,所以m2-1<0,解得-1<m<1;因为图象关于原点对称,且m∈Z,所以m=0,所以fQUOTE=x-1.答案:fQUOTE=x-1三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·广州高一检测)幂函数fQUOTE的图象经过点(QUOTE,2),点QUOTE在幂函数gQUOTE的图象上,(1)求fQUOTE,gQUOTE的解析式.(2)x为何值时fQUOTE>gQUOTE,x为何值时fQUOTE<gQUOTE?【解析】(1)设fQUOTE=xα,则(QUOTE)α=2,所以α=2,所以fQUOTE=x2.设gQUOTE=xβ,则(-2)β=QUOTE,所以β=-2,所以gQUOTE=x-2(x≠0).(2)从图象可知,当x>1或x<-1时,fQUOTE>gQUOTE;当-1<x<0或0<x<1时,fQUOTE<gQUOTE.6.(2015·秦皇岛高一检测)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)·x-5m-3在(0,+∞)上是增函数,又g(x)=loQUOTE(a>1).(1)求函数g(x)的解析式.(2)当x∈(t,a)时,g(x)的值域为(1,+∞),试求a与t的值.【解析】(1)因为f(x)是幂函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以QUOTE解得m=-1,所以g(x)=logaQUOTE.(2)由QUOTE>0可解得x<-1或x>1,所以g(x)的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞).又a>1,x∈(t,a),可得t≥1,设x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,于是x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE>0,所以QUOTE>QUOTE.由a>1,有logaQUOTE>logaQUOTE,即g(x)在(1,+∞)上是减函数.又g(x)的值域是(1,+∞),所以QUOTE得g(a)=logaQUOTE=1,可化为QUOTE=a,解得a=1±QUOTE,因为a>1,所以a=1+QUOTE,综上,a=1+QUOTE,t=1.【补偿训练】已知函数f(x)=xm-QUOTE且f(4)=QUOTE.(1)求m的值.(2)判定f(x)的奇偶性.(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.【解析】(1)因为f(4)=QUOTE,所以4m-QUOTE=QUOTE,所以m=1.(2)由(1)知f(x)=x-QUOTE,因为f(x)的定义域为{x|x≠0},又f(-x)=-x-QUOTE=-QUOTE=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3)f(x)在(0,+∞)上单调递增.设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=x1-QUOTE-QUOTE=(x1-x2)QUOTE,因为x1>x2>0,所以x1-x2>0,1+QUOTE>