9.3-二阶微分方程

9.3二阶微分方程二阶微分方程的一般形式为

本节将介绍可降阶的微分方程与二阶常系数线性微分方程的解法.9.3.1可降阶的二阶微分方程1.形如

的微分方程这类微分方程是最简单的二阶微分方程，

过两次积分求解其通解.

它可以通它可推广为一般的形如

的微分方程，

通过n次积分求其通解.例9.3.1求微分方程

的通解.

解方程两边逐次积分得2.形如

的微分方程

这类二阶微分方程的特点是方程右边式中不显含y,

解题的基本步骤是:(1)令

把原方程化为以P为未知函数的一阶方程(9.3.1)(2)求解方程（9.3.1）得P的表达式；

(3)将P的表示式代入式子

求得原方程通解

例9.3.2求微分方程的通解.解原方程中不明显含y,

故令

则

于是

这是关于P的一阶线性非齐次方程，

即

从而,原方程的通解为3.形如

的微分方程这类二阶微分方程的特点是方程的右边式中不明显含解题的基本步骤:

(1)令

把原方程化为以

P为未知函数的一阶方程(9.3.2)

(2)求解方程（9.3.2）得P的表示式；(3)将P的表示式代入

求得原方程的通解

例9.3.3求微分方程

的通解，

初始条件

并求满足的特解.

解原方程中不明显含x,

故令

从而

代入原方程得

分离变量得

两边积分得

即

代入

得

从而得原方程通解

利用初始条件

可以得到

故所求的特解为

9.3.2二阶常系数线性微分方程设p,q为常数，形如（9.3.3）

的方程称为二阶常系数线性微分方程，

当f(x)=0时，

方程

（9.3.4）

称为二阶常系数线性齐次微分方程；

当f(x)≠0时，（9.3.3）称为二阶常系数线性非齐次微分方程.方程1.二阶常系数线性齐次微分方程先讨论方程（9.3.4）解的性质。性质设

及

是方程（9.3.4）的两个线性无关（即

为常数）的解，

任意独立的常数

那么对于则

（9.3.4）的通解。

是方程考虑到方程（9.3.4）左边的系数p、q均为常数，

导数的运算规律可以猜想方程（9.3.4）有形如

由的解(其中r为待定系数)，

将

代入方程（9.3.4）得

由于

所以上面式子可化为

(9.3.5)这表明只要r满足方程（9.3.5

）,则

就是方程（9.3.4）的解.关于r为未知数的方程（9.3.5）称为方程（9.3.4）的特征方程，

特征方程的根称为特征根。

求解二阶常系数齐次线性方程的基本步骤是：(1)写出特征方程

求出特征根;

(2)根据特征根的不同情况，

按照下表，对应地写出微分方程的通解。特征方程的两个根微分方程的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根例9.3.4求微分方程满足初始条件

的特解．

解该方程的特征方程为

特征根为

于是其通解为

将初始条件

代入得

特解为

例9.3.5求齐次方程

的通解.解该方程的特征方程为求得特征根为

从而所求通解为

例9.3.6求齐次方程的通解.

解该方程的特征方程为求得特征根为

从而所求通解为2.二阶常系数非齐次线性微分方程性质1如果y*是线性非齐次方程（9.3.3）

的一个特解，

是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则

是线性非齐次方程（9.3.3）的通解。性质2设

分别是方程

和

的解,

则

是方程

的特解。

求方程（9.3.3）

的通解可分两步(1)求对应的齐次方程的通解

(2)求方程（9.3.3）的一个特解

则方程（9.3.3）的通解为

关于齐次方程的通解

求法，在前面已作过介绍.

本节仅就自由项f(x)取三种特殊常见形式的函数时，

讨论如何求非齐次方程的一个特解y*。

悉自由项f(x)的不同类型和相应特解y*的设法.求法的关键是熟1）f(x)=型（其中是x

的n次多项式）此时，方程为

(9.3.9)从求导运算的规律看，不难发现：

的特解y*必是一个与

当q≠0时，方程(9.3.9)同次的n次多项式

当q=0而p≠0时，应是一个n次多项式，

n+1次多项式,

而y*必是一个记为

类似地，当p=q=0时，

y*应是一个n+2次多项式

例9.3.7求方程的一个特解.解方程中f(x)

是一次多项式，

由

可设特解为

将其求导

代入原方程整理得

比较系数得

即

可为任意常数

不妨取

则得原方程的一个特解

例9.3.8求方程的一个特解.解方程中f(x)

是二次多项式,

由

可设特解为

将其求导

代入原方程得

比较系数得

于是得到方程的一个特解

2）型（其中是一个n次多项式，

λ为常数）

此时方程（9.3.3）为

(1)当λ不是特征根时，即必是一个n次多项式即m=n。

此时，可设特解为

（2）当λ是特征方程的单根时，即

而

可以取零，

应是一个n+1次多项式，常数项此时，可设特解为

（3）当λ是特征方程的重根时，即

应是一个n+2次多项式，一次项系数与常数项均可以为零。

此时，可设特解为

例9.3.9求方程

的一个特解.解原方程对应的齐次方程为特征方程为

特征根为

因为不是特征方程的特征根，所以可设特解为求一阶、二阶导数并代入原方程得

比较系数得

于是得到原方程的一个特解例9.3.10求方程的一个特解。解原方程对应的齐次方程为

特征方程为

特征根为

因为

是特征方程的单根，故可设特解

求导得代入原方程整理得

比较系数得

于是得到原方程的一个特解例9.3.11求方程的通解。

解原方程对应的齐次方程为

特征方程为

特征根为

故原方程对应的齐次方程的通解为因为λ=3是特征方程的重根,所以可设求导得

代入原方程并整理得

比较系数求得

从而得原方程的一个特解故原方程的通解为3）型（其中

为常数）此时方程为（9.3.12）

由于指数函数的各阶导数仍为指数函数,

和余弦函数的各阶导数也总是正弦函数或余弦函数,

正弦函数此可设方程(9.3.3)的特解为

因其中

为待定常数。(1)当

不是方程(9.3.12)对应齐次方程的特征根时,取

(2)当

是方程(9.3.12)对应齐次方程的特征根时,取

注:因为二阶齐次方程的特征方程是二次的,所以当有复特征根时,不可能出现重根,因此k不可能取2.例9.3.12求方程的一个特解.

解原方程对应的齐次方程为特征方程为

特征根为

因为

不是特征方程的根,

所以取

可设原方程的特解为求导数得

代入原方程整理得比较系数得

即

从而得原方程的一个特解

例9.3.13求方程的一个特解.解根据本节的性质2知,

只要分别求得下列方程

的特解

则

即为得原方程的一个特解.先求方程

的特解

可设

代入方程

求得

故得特解

再求方程

的特解

由

是特征方程

的根,

故取k=1所以可得特解为

求导数得