2025版新教材高中数学第二章三角恒等变换2.3简单的三角恒等变换第2课时和差化积与积化和差公式导学案湘教版必修第二册

第2课时和差化积与积化和差公式教材要点要点和差化积公式与积化和差公式和差化积公式sinα＋sinβ＝2sinα+βsinα－sinβ＝2cosα+βcosα＋cosβ＝2cosα+βcosα－cosβ＝－2sinα+β积化和差公式sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－βcosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－βcosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－βsinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β状元随笔(1)这两组公式均可由和差角公式推导得到，而这两组公式亦可以互推．(2)和差化积公式可由以下口诀记忆“正弦和正弦在前；正弦差余弦在前；余弦和只见余弦；余弦差负不见余弦”．(3)两组公式中的倍数关系可通过值域(最值)的对比发觉，y＝sinα±sinβ与cosα±cosβ的值域应为[－2，2]而y＝sinαsinβ等的值域应为[－1，1]，所以应给积乘2或者和(差)乘12基础自测1.思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB．()(2)sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cosAsinB．()(3)cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cosAcosB．()(4)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sinAcosB．()2．把2sin10°cos8°化成和或差的形式为()A．sin18°－sin2°B．sin18°＋cos2°C．sin18°＋sin2°D．cos18°＋cos2°3．把sin15°＋sin5°化成积的形式为()A．sin5°sin15°B．2cos10°cos5°C．2sin10°sin5°D．2sin10°cos5°4．cos37.5°cos22.5°＝______.题型1和差化积公式的应用例1把下列各式化成积的形式．(1)cos3x＋cosx；(2)cos40°－cos52°；(3)sin15°＋sin35°；(4)sin6x－sin2x.方法归纳套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．跟踪训练1把下列各式化成积的形式．(1)cos8＋cos2；(2)cos100°－cos20°；(3)sin40°＋sin150°；(4)sin(x＋2)－sinx．题型2积化和差的应用例2把下列各式化成和或差的形式．(1)2sin64°cos10°；(2)sin80°cos132°；(3)cosπ6cosπ(4)sin2sin1.方法归纳积化和差公式可以把某些三角函数的积化为和或差的形式．须要留意三角函数名称的改变规律．跟踪训练2(1)sin15°cos165°的值是()A．14B．12C．－1(2)sinπ4+αA．12sin(α＋β)＋12cos(α－B．12cos(α＋β)＋12sin(α－C．12sin(α＋β)＋12sin(α－D．12cos(α＋β)＋12cos(α－题型3和差化积与积化和差公式的综合应用角度1化简与求值例31sin方法归纳当条件或结论式比较困难时，往往先将它们化为最简形式，再求解．角度2证明恒等式例4求证：sinαsin(60°＋α)sin(60°－α)＝14sin3α方法归纳当要证明的不等式一边困难，另一边特别简洁时，我们往往从困难的一边入手证明，类似于化简．跟踪训练3(1)计算：sin70(2)求证：2cos20°课堂特别钟1．sin75°－sin15°的值为()A．12B．C．32D．－2．cos72°－cos36°的值为()A．3－23B．1C．－12D．3＋23．sin37.5°cos7.5°等于()A．22B．C．2+144．求证：sin15°sin30°sin75°＝18第2课时和差化积与积化和差公式新知初探·课前预习[基础自测]1．答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．解析：2sin10°cos8°＝sin(10°＋8°)＋sin(10°－8°)＝sin18°＋sin2°.答案：C3．解析：sin15°＋sin5°＝2sin15°+5°答案：D4．解析：cos37.5°cos22.5°＝12＝14+1答案：2+题型探究·课堂解透例1解析：(1)cos3x＋cosx＝2cos3x+x2cos3x-x2＝2cos2(2)cos40°－cos52°＝－2sin40°+52°(3)sin15°＋sin35°＝2sin15°+35＝2sin25°cos(－10°)＝2sin25°cos10°.(4)sin6x－sin2x＝2cos6x+2x2sin＝2cos4xsin2x.跟踪训练1解析：(1)cos8＋cos2＝2cos8+22cos8(2)cos100°－cos20°＝－2sin100°+20°2sin(3)sin40°＋sin150°＝2sin40°+150＝2sin95°cos(－55°)＝2cos5°cos55°.(4)sin(x＋2)－sinx＝2cosx+2+x2sinx+2-x例2解析：(1)2sin64°cos10°＝sin(64°＋10°)＋sin(64°－10°)＝sin74°＋sin54°.(2)sin80°cos132°＝cos132°sin80°＝12[sin(132°＋80°)－sin(132°－80°)]＝12(sin212°－sin52＝－12(3)cosπ6cosπ4＝12cos5(4)sin2sin1＝－12[cos(2＋1)－cos(2－1)]＝－1跟踪训练2解析：(1)sin15°cos165°＝12[sin(15°＋165°)＋sin(15°－165°)]＝12sin180°－12(2)sinπ4+＝1＝1＝12cos(α＋β)＋12sin(α－答案：(1)C(2)B例3解析：原式＝2＝cos＝cos40°+cos20答案：3例4证明：左边＝sinα·-12(cos120°－cos2＝14sinα＋12sinα＝14sinα＋14[sin3α＋sin(－＝14sinα＋14sin3α－14sinα＝1跟踪训练3解析：(1)sin＝sin＝2＝2sin60°＝3.(2)证明：左边＝2＝sin＝sin＝sin＝sin＝sin＝sin＝sin＝cos15所以原等式成立．[课堂特别钟]1．解析：sin75°－sin15°＝2cos45°sin30°＝2×22×1答案：B2．解析：原式＝－2sin72°+3