2025版高考数学一轮总复习专题检测9.3双曲线及其性质

.3双曲线及其性质一、选择题1.(2024届安徽名校联盟质检(一),5)已知双曲线x225-y25=1上一点P到其左焦点F的距离为8,则PF的中点M到坐标原点OA.9B.6C.5D.4答案A由题意知,|PF|=8,设双曲线的右焦点为F2,则由双曲线的定义,可得||PF2|-|PF||=10,又|PF2|>0,所以|PF2|=18,因为M是PF的中点,O是FF2的中点,所以由三角形中位线定理可知|MO|=12|PF2|=182=9,故选2.(2024届江苏百校大联考,4)图1所示的为陕西历史博物馆保藏的国宝——金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的典范之作.如图2,该杯的主体部分可以近似看作是由双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支、y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体.若该金杯主体部分的上杯口外直径为1033,下底座外直径为2393,杯高为6,A.2B.2C.3D.4答案A由题意知M533,4,N393,-2,∵M,N都在双曲线上,∴253a2-16b3.(2024届江西赣州月考,6)已知双曲线C1经过点A(4,-33),并且和双曲线C2:x216-y29=1有共同的渐近线,则双曲线C1A.y29-x216=1B.C.x232-y218=1D.答案D设双曲线C1的方程为x216-y29=λ(λ≠0),将点A的坐标(4,-33)代入,可得1616-(-33)29=λ,解得λ=-2,所以双曲线4.(2024届成都零诊,5)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)A.y=±2xB.y=±12C.y=±xD.y=±2x答案A不妨取双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线bx-ay=0,右焦点(c,0),则右焦点到该渐近线的距离d=|bc|a2+5.(2024届昆明质检(一),7)直线3x+y=0是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线,且双曲线的一个顶点和一个焦点到渐近线的距离之和为A.23B.3C.1D.2答案A由双曲线渐近线方程知ba=3①,不妨取右顶点(a,0)和右焦点(c,0),则右顶点到渐近线3x+y=0的距离为3a2,易知双曲线焦点到渐近线的距离为b,则3a2+b=332②,联立①②解得a=1,b=3,6.(2024届吉林辽源一模,10)已知双曲线C的离心率为3,F1,F2是C的两个焦点,P为C上一点,|PF1|=3|PF2|,若△PF1F2的面积为2,则双曲线C的实轴长为()A.1B.2C.3D.6答案B由离心率为3,得c=3a,由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=2a,又知|PF1|=3|PF2|,∴|PF1|=3a,|PF2|=a.在△PF1F2中,由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2×3a×a×cos∠F1PF2,解得cos∠F1PF2=-13,所以sin∠F1PF2=223,又知△PF1F2的面积为2,所以12×3a×a×223=2,解得a=1,所以双曲线7.(2024届河南焦作一模,11)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线上有一点A,若|F1F2|=10,|AF1|+|AF2|=14,且AF1⊥AFA.x225-y224=1B.C.x2-y224=1D.x2答案C设|AF1|=m,|AF2|=n,由|AF1|+|AF2|=14,得m+n=14,又AF1⊥AF2,所以m2+n2=102,解方程组m+n=14,m2+n2=100得m=8,n=6或m=6,n=8,所以由双曲线定义得||AF1|-|AF2||=2a=2,所以a=1,又知|F1F2|=2c=10,所以c=5,所以b8.(2024河北衡水中学联考(二),6)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点F(c,0)到渐近线的距离为32c,且点(2,3A.x29-y23=1B.C.x23-y212=1D.答案D双曲线x2a2-y2b2=1的焦点F(c,0)到渐近线bx±ay=0的距离为bca2+b2=32c,解得b=32c,所以b2=34c2,又c2=a2+b2,所以b2=3a2,因为点(2,3)在双曲线上,所以4a2-9.(2024届兰州摸底,10)已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和双曲线C2:x2a22-y2b22=1(a2>0,bA.23B.3C.33D.答案D设椭圆的半焦距为c1,双曲线的半焦距为c2,由已知不妨设双曲线的一条渐近线与椭圆的交点为c1,b12a1,所以双曲线的此条渐近线的斜率k=b12a1c10.(2024河南四校3月模拟,10)已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点A是双曲线上其次象限内一点,且直线AF1与双曲线的渐近线y=bax平行,△AF1FA.2B.5C.3D.23答案A由题意知,|AF2|-|AF1|=2a,|AF2|+|AF1|=9a-2c,解得|AF2|=11a-2c2因为直线AF1与双曲线的渐近线y=bax平行所以tan∠AF1F2=ba,即cos∠AF1F2=a所以cos∠AF1F2=ac=|化简,得c2+2ac-8a2=0,即e2+2e-8=0,解得e=2(舍负).故选A.11.(2024届河南十校联考(一),9)已知双曲线E:x23-y2=1,F为E的左焦点,P,Q为双曲线E右支上的两点,若线段PQ经过点(2,0),△PQF的周长为83,则线段PQ的长为(A.2B.23C.4D.43答案B由已知得a=3,b=1,c=2,则双曲线E的右焦点F'(2,0)在线段PQ上,则|PF|=|PF'|+23,|QF|=|QF'|+23,所以△PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=2|PQ|+43=83,所以|PQ|=23.故选B.12.(2024届河北沧州一中月考,8)已知F1,F2分别是双曲线C:x23-y2=1的左,右焦点,点M在直线x-y+3=0上,则|MF1|+|MF2|的最小值为(A.213B.6C.26D.5答案C由双曲线C:x23-y2=1可得a2=3,b2=1,所以c2=a2+b2=4,可得c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0),设点F2(2,0)关于直线x-y+3=0由m+22-n所以|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|≥|PF1|,当且仅当P,M,F1三点共线时等号成立,|PF1|=[-3-(-2)]2+(5-0)2=2613.(2024届四川南充适应性考试,9)已知双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,过F1作双曲线渐近线的垂线F1P,垂足为点P,若△POF1(O为坐标原点)的面积为36A.2B.3C.396D.答案D不妨取渐近线ax-by=0,则双曲线的上焦点(0,c)到该渐近线的距离为|bc|a2+b2=b,所以|F1P|=b,在Rt△F1PO中,|OF1|=c,所以|OP|=|OF1|2-|F1P|2=c2-b2=a,所以S△OF1P=1214.(2024届安徽蚌埠调研,10)已知F1、F2分别为双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为圆x2+y2=c2与双曲线C1的交点,且tan∠PF1F2=A.102B.173C.2答案A如图,不妨设点P在第一象限.由已知得PF1⊥PF2.在Rt△F1PF2中,tan∠PF1F2=13,可设|PF2|=m,则|PF1|=3m,则|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=10m=2c,又由|PF1|-|PF二、填空题15.(2024届湖北部分学校11月质检,13)已知双曲线C的中心在坐标原点,一个焦点与抛物线y=x212的焦点相同,且它的一条渐近线方程为y=255x,则答案y24-解析由题意可设双曲线C的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),因为双曲线的一条渐近线方程为y=255x,所以ab=255①,又因为抛物线y=x212的焦点是(0,3),所以c=3,则a2+b2=c2=9②.由①②16.(2024届湖南岳阳一中入学考试,14)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线答案x24-y解析双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,由已知得与直线2x+y=0垂直的渐近线为y=ba又a2+b2=c2=5,则a=2,b=1.故双曲线的方程为x24-y17.(2024届安徽蚌埠10月联考,14)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A,若以C的右焦点为圆心,4为半径的圆经过A,O两点(O为坐标原点答案x24-解析由题意得c=4,∴a2+b2=16,而双曲线的渐近线方程为y=±bax,故不妨设A(a,b),则有(a-4)2+b2=16,又b2=c2-a2,从而可得a=2,则a2=4,b2=12,所以双曲线C的方程为x2418.(2024届湖北部分重点中学开学联考,13)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为答案5解析由题意得ba=2,所以e2=c2a2=1+b2a2=1+22=5,即e=19.(2024届长沙雅礼中学月考一,15)已知F为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,过F作与x轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,若以答案5解析设双曲线的半焦距为c,c>0,则F(c,0),把x=c代入双曲线方程得y=±b2a,不妨令Ac,b2a,Bc,-b2a,因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以c=b2a,所以ac=c2-a三、解答题20.(2024届广东11月大联考,20)已知双曲线C:x2a2-y2b(1)求C的方程;(2)斜率为55的直线l与C交于P,Q两点,且与x轴交于点M,若Q为PM的中点,求l的方程解析(1)因为e=ca=1+ba2=2,所以ba=3,即b=3a.将点P(2,3)代入得4a2-解得a2=1,故C的方程为x2-y2(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(m,0),因为Q为PM的中点,所以y1=2y2.因为直线l的斜率为55,所以可设l的方程为x=5联立x2-y23=1,xΔ=(65t)2-4×14×3(t2-1)=12(t2+14)>0,由根与系数的关系可得y1+y2=-35t7,y1y2因为y1=2y2,所以y1+y2=3y2=-35t7,解得y2y1y2=2y22=2×-5t72=即t=±21,故l的方程为x-5y±21=0.21.(2024届广东深圳试验学校、长沙市一中联考,20)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别是F1,F2,渐近线分别为l1,l2,过F2作渐近线的垂线,垂足为P,且(1)求双曲线C的离心率;(2)动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8,是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C?若存在,求出双曲线C的方程;若不存在,说明理由.解析(1)由题意知,|PF2|=b,|OP|=a,由PF2⊥OP得S△OPF2=ab2,又因为S△OPF1=解得b=2a,则c=5a,所以双曲线C的离心率e=5.(2)由(1)得渐近线l1:y=2x,l2:y=-2x,设双曲线的方程为x2a2-y24a