2025版新教材高中数学第六章概率2离散型随机变量及其分布列2.1随机变量2.2离散型随机变量的分布列课时作业北师大版选择性必修第一册

2．1随机变量2．2离散型随机变量的分布列必备学问基础练学问点一随机变量的概念1.先后抛掷一枚质地匀称的骰子5次，那么不能作为随机变量的是()A．出现7点的次数B．出现偶数点的次数C．出现2点的次数D．出现的点数大于2小于6的次数2．一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最终不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y是否是离散型随机变量．学问点二离散型随机变量的分布列3.某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列．4．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列．(注：若三个数a，b，c满意a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)学问点三离散型随机变量分布列的性质5.设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则q等于()X－101P0.51－2qq2A.1B．1±eq\f(\r(2),2)C．1－eq\f(\r(2),2)D．1＋eq\f(\r(2),2)6．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝eq\f(i,2a)(i＝1，2，3)，则P(X≥2)＝()A．eq\f(1,6)B．eq\f(5,6)C．eq\f(1,3)D．eq\f(2,3)7．已知离散型随机变量X的分布列P(X＝k)＝eq\f(k,15)，k＝1，2，3，4，5，令Y＝2X－2，则P(Y＞0)＝________．关键实力综合练一、选择题1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率2．某人进行射击训练，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，记射击次数为ξ，则“ξ＝10”表示的试验结果是()A．第10次击中目标B．第10次未击中目标C．前9次均未击中目标D．第9次击中目标3．已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝eq\f(a,n（n＋1）)(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(eq\f(1,2)＜X＜eq\f(5,2))＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3)D．eq\f(5,6)4．设随机变量X的分布列为X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)则P(|X－3|＝1)＝()A．eq\f(7,12)B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,6)5．已知随机变量X的分布列为X－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(3,12)eq\f(4,12)eq\f(1,12)eq\f(2,12)eq\f(1,12)若P(X2＜x)＝eq\f(11,12)，则实数x的取值范围是()A．[4，9]B．(4，9]C．[4，9)D．(4，9)6．[易错题]若离散型随机变量X的分布列为X01P9c2－c3－8c则常数c的值为()A．eq\f(2,3)或eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3)D．1二、填空题7．设某项试验的胜利率是失败率的2倍，用随机变量ξ表示1次试验的胜利次数，则P(ξ`＝0)等于________．8．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq\f(c,k（1＋k）)，k＝1，2，3，其中c为常数，则P(ξ≥2)等于________．9．一批产品分为一、二、三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P(eq\f(1,3)≤ξ≤eq\f(5,3))＝________．三、解答题10．[探究题]甲乙两人进行围棋竞赛，约定先连胜两局者干脆赢得竞赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得竞赛．假设每局甲获胜的概率为eq\f(2,3)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，各局竞赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得竞赛的概率；(2)记X为竞赛决出输赢时的总局数，求X的分布列．学科素养升级练1．[多选题]下列说法正确的是()A．某网站中某歌曲一天内被点击的次数X是离散型随机变量B．一天内的温度X是离散型随机变量C．若随机变量X听从两点分布，且P(X＝1)＝0.2，Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝0.8D．若离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(m,k＋1)(k＝0，1，2，3)，则m＝eq\f(12,25)2．若P(X≤x2)＝1－β，P(X≥x1)＝1－α，其中x1＜x2，则P(x1≤X≤x2)等于________．3．[学科素养——逻辑推理]在心理学探讨中，常采纳对比试验的方法评价不同心理示意对人的影响，详细方法如下：将参与试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理示意，另一组接受乙种心理示意，通过对比这两组志愿者接受心理示意后的结果来评价两种心理示意的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理示意，另5人接受乙种心理示意．(1)求接受甲种心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理示意的女志愿者人数，求X的分布列．2．1随机变量2．2离散型随机变量的分布列必备学问基础练1．解析：∵抛掷一枚骰子不行能出现7点，出现7点为不行能事务，∴出现7点的次数不能作为随机变量．答案：A2．解析：设X表示抽到的白球个数，则由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值为0，1，2，3，所以Y对应的值为5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6，即Y的可能取值为6，11，16，21.明显，Y为离散型随机变量．3．解析：由题设知，X的可能取值为10，5，2，－3，且P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.所以X的分布列为X1052－3P0.720.180.080.024.解析：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))＝eq\f(5,84).(2)X的全部可能取值为1，2，3，且P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))＝eq\f(17,42)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))＝eq\f(43,84)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))＝eq\f(1,12)，故X的分布列为X123Peq\f(17,42)eq\f(43,84)eq\f(1,12)5.解析：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5＋1－2q＋q2＝1，,0≤1－2q≤0.5，,q2≤0.5，))解得q＝1－eq\f(\r(2),2)，故选C.答案：C6．解析：由概率和为1可知，eq\f(1,2a)＋eq\f(2,2a)＋eq\f(3,2a)＝1，解得a＝3，则P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(2,6)＋eq\f(3,6)＝eq\f(5,6)，故选B.答案：B7．解析：由已知得Y的取值为0，2，4，6，8，且P(Y＝0)＝eq\f(1,15)，P(Y＝2)＝eq\f(2,15)，P(Y＝4)＝eq\f(3,15)，P(Y＝6)＝eq\f(4,15)，P(Y＝8)＝eq\f(5,15).则P(Y＞0)＝P(Y＝2)＋P(Y＝4)＋P(Y＝6)＋P(Y＝8)＝eq\f(14,15).答案：eq\f(14,15)关键实力综合练1．解析：逐一考查所给的选项，A中取到产品的件数是一个常量而不是变量，B，D中的量也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．答案：C2．解析：射击次数ξ＝10，说明前9次均未击中目标，故选C.答案：C3．解析：依据分布列的性质，得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝a(eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5))＝1，解得a＝eq\f(5,4).由eq\f(1,2)＜X＜eq\f(5,2)，知X＝1，2，所以P(eq\f(1,2)＜X＜eq\f(5,2))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(5,4)×eq\f(1,1×2)＋eq\f(5,4)×eq\f(1,2×3)＝eq\f(5,6).答案：D4．解析：由eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，得m＝eq\f(1,4).由|X－3|＝1，得X＝2或X＝4，所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12).答案：B5．解析：由随机变量X的分布列，知X2的全部可能取值为0，1，4，9，且P(X2＝0)＝eq\f(4,12)，P(X2＝1)＝eq\f(3,12)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,3)，P(X2＝4)＝eq\f(1,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(1,4)，P(X2＝9)＝eq\f(1,12)，∵P(X2＜x)＝eq\f(11,12)＝eq\f(4,12)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，∴实数x的取值范围是(4，9].答案：B6．解析：∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9c2－c≥0,3－8c≥0,9c2－c＋3－8c＝1))，∴c＝eq\f(1,3).答案：C7．解析：由题意知该分布为两点分布，又P(ξ＝1)＝2P(ξ＝0)且P(ξ＝1)＋P(ξ＝0)＝1，∴P(ξ＝0)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．解析：依据分布列中全部概率的和为1，得eq\f(c,1×2)＋eq\f(c,2×3)＋eq\f(c,3×4)＝1，解得c＝eq\f(4,3).即P(ξ＝k)＝eq\f(4,3)·eq\f(1,k（1＋k）)所以P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(4,3)×(eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4))＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)9．解析：设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有eq\f(k,2)个，总数为eq\f(7k,2)个，分布列为ξ123Peq\f(4,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)P(eq\f(1,3)≤ξ≤eq\f(5,3))＝P(ξ＝1)＝eq\f(4,7).答案：eq\f(4,7)10．解析：用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得竞赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)＝eq\f(2,3)，P(Bk)＝eq\f(1,3)，k＝1，2，3，4，5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝(eq\f(2,3))2＋eq\f(1,3)×(eq\f(2,3))2＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×(eq\f(2,3))2＝eq\f(56,81).(2)X的全部可能取值为2，3，4，5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝eq\f(5,9)，P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝eq\f(2,9)，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝eq\f(10,81)，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝eq\f(8,81)，故X的分布列为X2345Peq\f(5,9)eq\f(2,9)eq\f(10,81)eq\f(8,81)学科素养升级练1．解析：A中X均满意离散型随机变量的四个特征，而B中一天内的温度X改变的范围是连续的，无法逐一列出，它不是离散型随机变量，故A正确，B错误；因为Y＝3X－2，所以X＝eq\f(1,3)(Y＋2).当Y＝－2时，X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝0.8，故C正确；因为离散型随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝eq\f(m,k＋1)(k＝0，1，2，3)，所以eq\f(m,0＋1)＋eq\f(m,1＋1)＋eq\f(m,2＋1)＋eq\f(m,3＋1)＝1，解得m＝eq\f(12,25)，故D正确．故选ACD.答案：ACD2．解析：明显P(X＞x2)＝β，P(X＜x1)＝α.由随机变量分布列的性质可知P(x1≤X≤x2)＝1－P(X＞x2)－P(X＜x1)＝1－β－α＝1－(α＋β).答案：1－(α＋β)3．解析：(1)设“接受甲种心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1”为事务M，则P(M)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10)))＝eq\f