人教版 高中数学知识点

高中数学主要知识点

必修1数学知识

第一章、集合与函数概念

§1.1」、集合

1、把研究的对象统称为元素，把・♦些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

3、常见集合：正整数集合:N*或N+，整数集合:Z,有理数集合:Q,实数集合:R.

4、集合的表示方法：列举法、描述法.

§1.1.2,集合间的基本关系

1、一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的

子集。记作AqB.

2、如果集合A=B,但存在元素xeB,且x史A,则称集合A是集合B的真子集.记作：A®.

3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作:。.并规定：空集合是任何集合的子集.

4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有2"个子集.

§1.1.3、集合间的基本运算

1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作:AUB.

2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：AOB.

3、全第、补集?CuA={x\xeU,^.x^U]

运算交集并集补集

类型

定由所有属于A且属由所有属于集合A或设S是一个集合，A是

义S的一个子集，由S中

于B的元素所组成属于集合B的元素所

所有不属于A的元素组

的集合，叫做A,B的组成的集合，叫做A,B

成的集合，叫做S中子

交集.记作AfiB（读的并集•记作：AUB集A的补集（或余集）

作'A交B'）,即（读作‘A并B'）,即记作CsA，即

AAB={XIX€A,且AljB={x|xeA,或

xeB）.xeB}）.CsA={xIXGS,A}

韦

.B

恩

图

示图1图2

性Ap|A=AAUA=A(C„A)n(C„B)

①二小AUO=A

AA=c„(AUB)

AAB=BQAAUB=BUA

(C„A)U(CuB)

APIBCAAUBOA

质AQBCBAUBOB=Cu(ApB)

AUCA)=U

Ap(C,A)=①.

§1.2.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都

有惟一确定的数和它对应，那么就称fTB为集合A到集合B的一个函数,记作：y=A.

2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域为□果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致，

则称这两个函数相等.

§1.2.2、函数的表示法

1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.

§1.3.1、单调性与最大(小)值

单调性的定义：见书P28

1、注意函数单调性证明的一般格式：

解：设X],为e以,“且X]<，贝I」：/(x1)-/(x2)="-

§1.3.2、奇偶性

1、一般地，如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有/(—x)=/(x),那么就称函数为偶函数.

偶函数图象关于y轴对称.

2、一般地，如果对于函数/(x)的定义域内任意一个x,都有/(-x)=—/(x),那么就称函数/(X)为直函数.

奇函数图象关于原点对称.

第二章、基本初等函数(I)

§2.1.1、指数与指数新的运算

1、一般地，如果x"=a,那么x叫做a的〃次方根。其中〃>l,〃wN+.

2、当〃为奇数时，叱=a；当〃为偶数时，底=同.

3、我们规定：

n__«

⑴优"=(61>N",加>1)；(2)。一"=—(n>0)；

4、运算性质：

(l)aZ,=ar+s(a>0,r,5GQ)；⑵(屋丫=ars{a>0,r,5GQ)；(3)(ab)r=arbr[a>0,b>0,r€Q).

§2.1.2、指数函数及其性质

1、记住图象：y-ax(a>0,a1)

相关性质:

-般地•指数函数(a>0.ft1)的图象和性

质如卜衣所示.

§2.2.1、对数与对数运算

log,N

1优=NQlog,,N=x：2、a'=a.3、log(J1=0,logaa=l.

4、当。>0,«1，>0”>0时：

M

⑴log“(MN)=log“M+logN；n

fl⑵log“=log”M-log„N；(3)log”M=nlogrtM.

N

5、换底公式：log„b=10g^(a>0,al,c>0,c*l,b>0).

b

6、log(,=-——

log,alog—

(a>0,a#1,6>0,bN1).

§2.22、对数函数及其性质

1>记住图象：y-log„x(a>0,a1)

当a>1时当0Wa<l时

相关性质:

一般地.对数函数了一|。&，（。＞（）•且a#l）的曲象和

性质如下袅所示：

§2.3、募函数

1、儿种毒函数的图象:

通过图2.3“与上夷.我们得到・

1.函数y=-T.了=/.y=jr'.y=j".和.v=M'的图象

部通过点（1,1）:

2.函数y=f.y-j.y=.r'是奇函数，函数y=r

是网的数；

3.在第一象限内.南敖*=*.y=j^.»="和y=r

是增函数.函数y，'是减函数：

I.在第一象限内.函数》，=r'的图象向上与了轴无限

接近,向右与，轴无限接近..，一.，一"-

基本初等函数的图像和基本性质

对数数函数

表指数函数y=Q、（a>°，aWl）

1y=log“x(<7>0,aW1)

定

义xeRxe(0,+8)

域

值

ye(O,-K«)yeR

域

\

0<a<l

J\031

图

象a>1/1

i1：1V^.73

过定点（0』）过定点（1,0）

减函数增函数减函数增函数

xw(-oo,0)时,ye(1,尤w(-oo,0)时，ye(0,1XE(0,1)时，yG(0,4-cxxc(0,I)时，ye(-<«,

xw(0,+oo)时,ye(0,工£(0,+8)时，y£(l,Txw(l,+8)时，yG(-«X£(l,+8)时，ye(0,

性

质

1

…!Iy=log*

ya*

用iog“*,

\j/Jy=log/—

a<b

a<ba>ba>b

表2基函数y=xa（aeR）

a=—a<00<a<la>1a=1

q

./

)

p为奇数a,i-/a.i)

/a,D

q为奇数'1/奇函数

■>1-1,-17

(-1,-1)

1

/

p为奇数■

a,1)

\Q,D一

q为偶数/a,i)

■

\,

P为偶数7

(-1,1)J\(1.1)

(・1川\

q为奇数X偶函数

-1—1—1—■

——-1-(-1,1)\'

第一象限过定点

减函数增函数

性质(0,1)

第三章、函数的应用

§3.1.1、方程的根与函数的零点

I、方程/(x)=0有实根=函数y=/(x)的图象与x轴有交点=函数y=/(x)有零点.

2、性质：如果函数y=/(x)在区间以㈤上的图象是连续不断的•条曲线，并且有/(a)•/⑹<0,那么，

函数)，=/(x)在区间(〃,力内有零点，即存在ce(a,b),使得/(c)=0,这个c也就是方程/(x)=0的根.

§3.1.2、用二分法求方程的近似解

1、掌握二分法.

§3.2.1、几类不同增长的函数模型

§3.2.2、函数模型的应用举例

1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.

必修2数学知识点

1、空间儿何体的结构

⑴常见的多面体有•:棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱:有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面

7^而做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图

把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影,

平行投影的投影线是平行的。

3、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积；⑵圆锥侧面积：S侧面⑶圆台侧面积：SKIS=7r-r-l+7r-R-l

⑷体积公式：

V柱体=Sh；丫锥体=gS•〃；%体=g(S上+1S上.S下+sj?

⑸球的表面积和体积：S球=4成\,V球=§4加?3.a

第二章：点、直线、平面之间的位置关系

1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

6、线线位置关系：平行、相交、异面。

7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。

8、面面位置关系：平行、相交。

9^线面平行:

⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

10、面面平行：

⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

11、线面垂直：

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

12、面面垂直：

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

第三章：直线与方程

1、倾斜角与斜率：1=tana=乃一”

x2-x1

2、直线方程：

⑴点斜式：y-y0-k(x-x0)⑵斜截式：y=kx+b⑶两点式：—~~—

力一%》2一天

⑷一般式：Ax+By+C=Q

3、对于直线：

/1:y=kxx+by,l2:y=k2x+b2^z

k=kk1-k

⑴/[〃/2=<12；(2)/]和相交o』W92；⑶/[和重合=<2；⑷/1_L4=女1%2=—1,

氏手b?[b,=b2

4、对于直线：

L:Ax+By+C=0,

}]]有：

i2：4尤+色丁+。2=0

AS=A.B,

(DZ,//Z2<=><~；⑵乙和4相交=A1%。A/]；

B[C?W82G

A.B?=A^B.

⑶4和4重合"；(4)/1_L4QA&+=0.

B]C2=B2Ci

5、两点间距离公式：

|4舄|=42-占)2+。2-Hl

6、点到直线距离公式：

/_|AX()+By。+C|

-2+/

第四章：圆与方程

1、圆的方程：

⑴标准方程：(x-a)2+(y-Z?)2=r2

⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

2、两圆位置关系：d=\O,O2\

⑴外离：d>R+r；⑵外切：d=R+r；⑶相交：R-r<d<R+r；

⑷内切：d=R-r；⑸内含：d<R-r.

3、空间中两点间距离公式：

山鸟I=奴一』)2+也-yJ)+(?2-Z]」

必修3数学知识点

第一章：算法

1、算法三种语言：

自然语言、流程图、程序语言；

2、算法的三种基本结构：

顺序结构、选择结构、循环结构

3、流程图中的图框：

起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；

4、循环结构中常见的两种结构：

当型循环结构、直到型循环结构

5、基本算法语句：

①赋值语句：“=”(有时也用“一”)②输入输出语句：“INPUT”“PRINT”

③条件语句：

If…Then

Else…

EndIf

④循环语句：“Do”语句

Do

Until…

End

“While”语句

While…

WEnd

⑹算法案例：辗转相除法一同余思想

第二章：统计

1、抽样方法：

①简单随机抽样（总体个数较少）②系统抽样（总体个数较多）③分层抽样（总体中差异明显）

注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为

N

2、总体分布的估计：

⑴一表二图：

①频率分布表——数据详实②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势

注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。

⑵茎叶图：

①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的药重复写。

3、总体特征数的估计：

⑴平均数：（J1+X2+X3+…+乙；

n

取值为M,》2,…,X”的频率分别为P|,P2,…,P”，则其平均数为X|P1+X2P2+…+X”p”；

注意：频率分布表计算平均数要取组中值。

⑵方差与标准差：一组样本数据看,犯，…，人

1“-21”_2

方差：52=—（X,-X）；标准差：5=.—V（X；-X）

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。

平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。

⑶线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：y=bx+a（最小二乘法）

/__

工苍必一〃xy

\Vb=2K----2---

工善一"X

i=i

a=y-bx

注意：线性回归直线经过定点（工亍）。

第三章：概率

1、随机事件及其概率：

⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；

⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；

⑶随机事件A的概率：尸(4)=%,O<P(4)<1；

n

2、古典概型：

⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；

⑵古典概型的特点：

①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件都是等可能发生。

⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件

A发生的概率P(A)=%。

n

3、几何概型：

⑴几何概型的特点：

①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。

⑵几何概型概率计算公式：P(4)=嘤舞:

。的测度

其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。

4、互斥事件：

⑴不能同时发生的两个事件称为互斥事件；

⑵如果事件4,%，…，4,任意两个都是互斥事件，则称事件A,A2,…,4,彼此互斥。

⑶如果事件A,B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A,B发生的概率的和，

即：P(A+B)=P(A')+P(B)

⑷如果事件4,&，…，A“彼此互斥，则有：

P(Ai+&+…+A”)=P(4)+P(&)+…+2A”)

⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。

①事件A的对立事件记作入

P(A)+P(A)=1,P(A)=1-P(4)

②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。

必修4数学知识点

第一章、三角函数

§1.1.1、任意角

1、正角、负角、零角、象限角的概念.

2、与角a终边相同的角的集合：

板£=a+2k7r,kGz}.

§1.1.2、弧度制

1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

2、|<z|=—.

3、弧长公式：I="成=\(X\R.

18011

4、扇形面积公式：s=US=LIR.

3602

§121、任意角的三角函数

1、设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点尸（x,y）,那么：

.V

sina-y.cosa=x,tana=—.

x

2、设点A（Xo，y（））为角a终边上任意一点，那么：（设r=Jx：+y；）

sina=—,cosa=—,tana=—.

厂r%。

3、sina,cosa,tana在四个象限的符号和三角函数线的画法.

4、诱导公式一：

sin（a+2k兀）=sina,

cos（a+2k1）=cosa,（其中：&eZ）

tan（a+2k兀）=tana.

5、特殊角丁，36,45,60s,

9cp,18ff,27（T的三角函数值.

冗JI

a7T

sina

cosa

tana

§122、同角三角函数的基本关系式

1、平方关系：sin?a+cos2a=1.

〜皿乂—sina

2、商数关系：tan（7=----.

cosa

§1.3,三角函数的诱导公式

1、诱导公式二：

sin（〃+a）=-sina,

cos（7r+a）=-cosa,

tan（万+a）=tana.

2、诱导公式三:

J*

s=-sina.

cin

osU-cosa,

uan

«)=一tana.

3、诱导公式四:

sin（〃一a）=sina.

cos（乃-a）=-cosa,

tan（〃一a）=—tana.

4、诱导公式五:

sinJa=cosa.

(2

cos2一a|=sina.

12

sinfy+a-cosa,

5、诱导公式六:

cos—+a=-sina.

12

§1.4.1,正弦、余弦函数的图象

1、记住正弦、余弦函数图象：

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、

单调性、周期性.

3,会用五点法作图.

§1.4.2、正弦、余弦函数的性质

1、周期函数定义：对于函数/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时、都有

/(x+T)=/(x),那么函数/(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

7=sinx的想象

y=cosx的闻敛

§1.4.3、正切函数的图象与性质

2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

§1.5＞函数y=Asin(〃r+夕)的图象

I、能够讲出函数y=sinx的图象和函数y=Asin(cax+(p)+b的图象之间的平移伸缩变换关系.

2、对于函数：

y=Asin（0r+8）+MA>O,0>O）有：振幅A,周期T=——，初相夕，相位3+。，频率/=/=券.

0）

§1.6、三角函数模型的简单应用

1、要求熟悉课本例题.

第二章、平面向量

§2.1.1、向量的物理背景与概念

1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.

2、既有大小又有方向的量叫做向量.

§2.1.2、向量的几何表示

1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.

2、向量而的大小，也就是向量薪的长度（或称模），记作旋；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1

个单位的向量叫做单位向量.

3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.

§2.1.3、相等向量与共线向量

1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

§2.2.1、向量加法运算及其几何意义

1、三角形法则和平行四边形法则.2、|a+^|<|a|+|b|.

§2.2.2、向量减法运算及其几何意义

1、与]长度相等方向相反的向量叫做工的相反向量.

§2.2.3,向量数乘运算及其几何意义

1、规定：实数2与向量Z的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：^1,它的长度和方向规定如下:

（1）|/1«|=|/1||«|）⑵当4>0时，力。的方向与a的方向相同；当之<0时，4。的方向与a的方向相反.

2、平面向量共线定理：向量与Z共线，当且仅当有唯一一个实数4,使g=/lZ.

§2.3.1、平面向量基本定理

1、平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任向量5,有且只

有一对实数4,九2，使a=4C]+402.

§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示

1、a=xi+yj-（x,y）.

§2.3.3、平面向量的坐标运算

1、设4=（的，>]）,3=G2，力），则：

⑴a+B=（X]+》2,%+为），^）a—b=（xl—x2,yi—y2）,（3）Aa=（弱,机），⑷a//&<=>x,y2=x2y}.

2、设4（项,％）,8（》2，>2），则:AB=（X2-%i，y2-JI）.

§2.3.4、平面向量共线的坐标表示

1、设4（再,月）,5（%2，%），（（尤3，乃）则

⑴线段AB中点坐标为（空，空），⑵aABC的重心坐标为（坐出，安皇）.

§2.4.1,平面向量数量积的物理背景及其含义

1、ab=|a||^|cos^.2、a在「方向上的投影为：“cose.

-•2|-*|2|-*|/-*2--•-*

3、a=\a\.4、\a\=ya.5、a」b=ab=0.

§242、平面向娜幽福豕模夹角

1、设a=(X],yjA=(X2，y2)，贝I：

(Da-b=xx+yy(2)a=Jx；+y：

t2x2(3)。J_bqxtx2+yty2=0

2、设4（匹，》|）,8（x2，为），贝I」：28=J%-xJ+（＞2—必）2・

§2.5.1、平面几何中的向量方法

§2.5.2、向量在物理中的应用举例

第三章、三角恒等变换

§3.1.1、两角差的余弦公式

1、cos（a-7?）=cosacos£+sinasin/?

2、记住15°的三角函数值：

asinacosatana

nV^一衣