异面直线所成角问题-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）（解析版）

专题〃-5异面直线所成角问题

。常考题型目录

题型1异面直线所成的角的概念及辨析..............................................................2

题型2求异面直线所成的角.........................................................................5

♦类型1直接平移后相交......................................................................5

♦类型2利用中位线平移.....................................................................12

♦类型3补全长方体..........................................................................21

题型3由异面直线所成的角求其他量...............................................................22

♦类型1线段条数问题.......................................................................22

♦类型2线段长度问题.......................................................................27

♦类型3面积问题............................................................................34

♦类型4体积问题............................................................................35

Q知识梳理

知识点.异面直线所成角的概念：

1.定义：如图，口,。是异面直线，在空间中任选一点o,过点a分别作ac的平行线方和o',则这两条

直线。’和方所成的一锐角或直角称为异面直线a。所成的角.

2.异面直线所成角范围：（0,自

3.求异面直线所成的角的步骤

一作，即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角

二证，即证明作出的角是异面直线所成的角

三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，

则它的补角才是要求的角

4.向量法

已知a,b为两异面直线，A,C与B,D分别是a,b上的任意两点,a，b所成的角为9，则cosB=|总御

但题型分类

题型1异面直线所成的角的概念及辨析

【例题1]（2023・高一课时练习）异面直线所成角范围所构成的集合记为集合口，直线与平面所成角构成

的范围为集合O,则"OeD'是"□€。’的（）条件

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要

【答案】A

【分析】根据异面直线所成角范围、直线与平面所成角构成的范围，结合充分性、必要性的定义进行判断

即可.

【详解】因为£7=（0,刍,£7=[0,5,

所以由Oe。&自推出口e但由DeK一定能推出口eD,

因此“口€口是"口€口的充分非必要条件，

故选：A

【变式1-1】1.（多选）（2022春•浙江•高一校联考阶段练习）已知平行四边形ABCD,Z7Z7=£7,BC=1,

乙口□□=120°,E是线段CD上一动点.将△AE所在的直线进行翻转，在翻转过程中，下列结论

正确的是（）

A.当O=2时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

B.当£7=3时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

C.当。=4时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D.当。=5时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

【答案】BCD

【分析】本题从与OU垂直入手，转化为□□与口口垂直,从何转化为△□□已与A铺在一个

平面内后，z/7/7Z7>90°.

【详解】解：设翻折前的OE为方，□□/口己,则在翻折过程中，存在某个位置使得直

线□□与□鹿直,只需保证/£70方=90°,

•:乙/□□=乙□□□,由极限位置知，只需保证N方£7。245。即可.

在^^口口^,ad=1,zZ7'Z7O=45°,乙口已□=120°,奥"匚j□口=15°,

由正弦定理知，—=—,则方。=V3+1,M+sin150=sinf450-30°）=sin45°cos300-

cos450sin30°=回，;

因为皿线段的f点，则。2V5+1,

故选：BCD.

【变式1-1]2（多选X2022春•广西桂林•高一校考期末）如图所示，已知在正方体。口口。-口口口口

中，0u平面&&&&,且A与&a不平行，则下列能成立的是（）

A.口与口口^■行

B.口与口口^^

c.。与口a所成的角为30°

D.口与口匪直

【答案】BCD

【分析】依次分析每个选项，假设oil□口,得出矛盾，A错误；取磔4a所在直线，满足BD;取磔

a&成3。°角，c成立，即可得到答案.

【详解】假设on口口，则由口口IIa4可得on□[□、，与"。与aa不平行"矛盾，所以。与

平行，A错误；

取%。14所在直线，满足B,又因为O_L□]口「□、口、II口口,所以口口,D正确；

取。与04成30。角，因为4ali口□,所以此时。与所成的角为30。，C正确；

故选：BCD

【变式1-1]3.(2022春•上海青浦•高一上海市青浦高级中学校考期末)a,b为异面直线，且a,b所成

角为40。，过空间一点P作直线c,直线c与a,b均异面，且所成角均为O,若这样的c共有四条，则

范围为.

【答案】(70°,90°)

【分析】设平面O上两条直线m,n分别满足口,£711D,则m,n相交，且夹角为40°,讨论5勺取值范

围，从而确定c的情况以及条数，即可得答案.

【详解】设平面入两条直线m,n分别满足Oil□，口\\口,

则m,n相交，设交点为P,且夹角为40°,

如图示：

过空间一点P作直线C,若直线c与a,b均异面，且所成角均为。，

则直线c与直线m,n所成角均为。，

当0°4。<20°时，不存在这样的直线c,

当口=20°时，这样的直线c只有一条，

当20°<U<70°时，这样的直线c有两条，

当口=70°时，这样的直线c有三条，

当70°<口<90°时，这样的直线c有四条，

当口=90°时，这样的直线c只有一条，

故答案为：(70°,90°)

题型2求异面直线所成的角

【方法总结】把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,同,当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条

异面直线所成的角..

♦类型1直接平移后相交

【例题2-1]（2023春・全国•高一专题练习）在正为本□□□□-口1口1口1口内，E舌分别是线段〃。,

□i勺中点，则异面直线0D,EF所成角余弦值是（）

A.[B.[C.[D.1

2332

【答案】C

【分析】如图所示，连接。口,确定其补角是异面直线EF与&。所成角，在直角△UUg,

计算得到答案.

【详解】如图所示：F是线段aO的中点，连接£7&交4OTF,

由正方体的性质知。,知异面直线a。，EF所成角即为直线,EF所成角，

故NOO皈其补角是异面直线讦与&斤斤成角.

设正方体边长为2,在直角△£700中，口口=垃,口口=1,£70=V3

故cos乙□□口=%=当

故选：C

【变式2-1]1.（2023春・全国•高一专题练习）在正方悻口□□□一口1口回口1中,P为&&的中点,

则直线PB与□口1所成的角的正切值为（）

A.fB.1C.V3D.2

【答案】A

【分析】平移直线至m,将直线PB与。&所成的角转化为PB与口。所成的角，解三角形即可.

【详解】逢接口□与口国于口,

因为□□□□—uy口、□、a是正方体，且p为口、a的中点,

所以S_L□□,所以4。口。为直线PB与04所成的角.

设正方体的棱长为2,

则在Rt△UU/J^,□□=V2,□□=2,所以tanzZ7£7O=-

所以直线PB与O4所成的角的正切值为日

【变式2-1】2（2023春•全国•高一专题练习如图所示在正三根在□□□—口1口、口1中口□、=口口=2,

则异面直线4口与□、口所成角的余弦值为（）

A,B立C-D立

euu

A.2-2,4-4

【答案】D

【分析】先利用棱柱的结构特征、异面直线所成角的定义得到N&oa是异面直线小ga4所求角或

其补角，再利用正三棱柱的结构特征及余弦定理进行求解.

【详解】连接口0，由棱柱的性质得,

所以Na。。是异面直线与&&所成角或其补角；

由正三棱柱的性质及£7&=O口=2,

得口口=2,口、□=\口心+口d=20,

口1口=J口1n\+口[3=2V2,

在△4OO中,由余弦定理，

得

COSN£7I£7Z7=-2□□•□、□~~

4+8-8_V2

2x2x272—T

即异面直线0口与口1口所成角的余弦值为祭

故选：D.

【变式2-1]3.（2022春福建福州•高一福建省福州高级中学校考期末）在长方体口口、口1

中，口6禽，口）我，。。1=1,则。。和口口所成的角是（）

A.60°B.45°C,30°D.90°

【答案】A

【分析】根据。&Il0a可知0a即为oz?和口口所成的角.

【详解】如图所示：易知II,

所以□□和所成的角，即为口口和所成的角，

在Rt△□□、0中，tan/口□□、==V3,

LJLjy

所以/a。£71=60°.

即□□]和□□、所成的角是60。.

故选：A

【变式2-1]4.（2023・全国•高一专题练习）如图，已知正三棱柱£700-口口口的棱长都相等，孤

棱中点，则口口与所成角的正弦值为（）

A邛B.当C.半D.4

4444

【答案】B

【分析】取&&的中点。，芭妾□□、d口、口口,设正三棱柱0/70-a&a的棱长为2,证明出

口5口、口,所以，口口与£74所成的角即为&D与£74所成的角，NO4皈其补角即为所求，推导

*□□□、=90°,即可计算出Noa。的正弦值，即为所求.

【详解】取aa的中点。，凿妾□□、口］□、口口,设正三棱柱-a。1a的棱长为2,如下图

因为□□川口□】且口口1=,所以，四边形O&0。为平行四边形，

所以，口口1旧1口1且口口=口［□］,

又因为口为锁为口口、口］口、的中氤，典\口口“口1口且口口=□］口,

所以，四边形。口口孕平行四边形，地□□《［□国□□、=口□,

年为□□#口口1且口□、=,所以，□□“□□县□□=□□、,

所以，四边形。。为平行四边形，所以，口口口u,

所以OZ7与。&所成的角即为aZ7与£74所成的角，ND&O或其补角即为所求.

在^□□［O43,□□1-J/Z7炉+CJCJy-2V2,口口=J口民+口、-V5，口、口=V3.

因为£7/才=□己+4行，所以△口□、灰直角三角形，□□□□、=90°,

即以S\nz□口、口=墨=矗=号・

故选：B.

【变式2-1］5.（2023•高一单元测试）在如图所示的正方体OOOO-口&&口中，异面直线。口与

a。所成角的大小为（）

【答案】c

【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解

【详解】连接a。，,如图，

因为正方体中口1口〃口、口,

所以no就是a□与口1次斤成的角，

在4,□、□=□]□—

:□=60°.

故选：C

【变式2-1]6.（2023•高一课时练习）在棱长为1的正方体口□□□-□[□]□目中,a为&&的

中点，那么直线口口与aa所成角的余弦值是（）

DC

4

小B、

A4B•嚅C.|D.1

【答案】B

【分析】根据异面直线夹角的概念平移找角，再结合余弦定理计算即可.

【详解】解：连接&□、交口、口于口,取口。中点为o,连接口口,an,口□,

由正方体可知，□、口、〃□□,□、□、=,又口口、交口、口、于口，口为口［□］中点,所以。切/

1

□、□、,□□二3口、口、'

我口□,所以四边形OZ7OH）平行四边形，而以□□

则直线与&&所成角为/00。1或其补角，

在△口、口仔,口、口=三口、口1=净□口=□□=3+$=1,&£7=心+3=苧,

所以cosN/J/Zy=

2口口口、口

则直线。。与。15所成角的余弦值是詈.

故选：B.

♦类型2利用中位线平移

【例题2-2］（2023春•全国•高一专题练习）在正方体-□】4&&中A狡别为口阖

中点，则异面直线4门与口。所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】由题易得。avaa,连接口a,即可得出4a0a为等边三角形，从而得出所求角的大小为eo°.

［详解］如下图所示，连接ao

*：口口旧口,DUHDy□、,：.□□旧］d

则异面直线a。与。。所成角为n4口a

•••口、口「口、口=口、口即4口为等边三角形

:.乙口1口1口=60.

故选:C.

【变式2-2］1.（2023•高一单元测试）在正四面体。-□□徜,D为。中）中点，则直线口。与0次斤

成角的余弦值为（）

【答案】C

【分析】作出直线口口与口。所成角,并利用余弦定理求得其余弦值.

【详解】取。。的中点为E,连接£70,口口，则Z7OII,

所以为。。与。。所成的角（或其补角）.

设正四面体的棱长为20,则£7,口口=心口,口口=瓜口,

所以在△口口8,口£□□□=("+V?=圣

ZXVoL_/1£_/O

故选：C

【变式2-2】2.（2023・高一课时练习）空间四边形Z7SG）两对边£7口=口口=3.口、口分别是£70、

□□甘氤，目口口=小，□□:口口=□□.□口=1:2,观\□□与口所睚大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】根据题意，作□□“□□^口方口,蘸口口，可礴口□”口口，得乙口口口是□□与口所

成的角或其补角，由平行线性质求得。a。口，由余弦定理求得NODD,从而得。。与。。所成的角.

作。。〃0U交口O于£7,如图，翅妾口口,

则携=携，蜷=需，所以卷=程，所以口口/口口，

所以n。。。是oa与。。所成的角或其补角，

口口=口口=3,常口口;，所以携=携|,口口=2,

历

□口携=J所以00=1

玩二

口仔+口曰-口仃_22+F_(V7)2

△UUU^,cos乙□□口=2

-2□口□口一_2x2x1-2

是三角形内角,所以乙口口口=120。，

所以。。与。。所成的角是60。，

故选：C.

【变式2-2]3.（2023・高一单元测试）已知。。是圆锥的一条母线,。。是底面圆。的一条直径，

△口口口为正三角形”口口口=30°,则。〃与OO所成角的余弦值为（）

A]B.lC.lD.I

【答案】A

【分析】延长。融圆土FO,连接。O,取的中点O,翅妾口口，令析可知乙□□牛口口与口行

成的角,利用余弦定理可求得然后利用余弦定理可求得/0口重余弦值，即为所求.

【详解】如图，延长O融圆O于。，连接口口,取£70的中点。，连接。口，她口口1口口,

则为。。与£70所成的角，

不妨设圆二勺半径为1,则口□=□□=2,□□=、]口=1,

因为a为。。的中点，则四边形oooa为平行四边形，

•:乙□□□=30：：,乙□□匚!=60°,则ZZ7ZZ7=□□—1,

口仃+口d-必_22+22-12_7

在4，CO"□□□=-2£70£70-2x2x2-8

由余弦定理可得口炉=口仃+口仃-2DCJ-□□/乙□口□=22+12-2x2x1=5

o2

221

口仔+口仔-口仔1+1-|

-

所以,coszZZ7ZZ7ZZ7=4

2口口口□~2x1x1

故选：A.

【变式2-2］4.（2023・高一单元测试）如图，在直三棱柱口□］口］口曲山叨。是等边三角形，

□□「□□,口,口，a分别是棱。4,,o■中点，则异面直线oa与a。所成角的余弦值

是（）

B

A.B.C.D.W

35105

【答案】c

【分析】在棱上取一点O,使得。&=4S,取Z74的中点。，连接。O即可得

到00/0。，则/£7。。或其补角是异面直线。。与&5斤成的角，求出£70,口□，□口,再利用余

弦定理计算可得.

【详解】解：如图，在棱。&上取一点〃,使得口4=400,取O4的中点£7,连接口。

由于a。分别是棱。a,的中点，所以0口,□□1口、n，故四边形公平行四边形，

又因为a口是口□,口中）中点，耐以口□“口□，所以。。/4口，则皈其补角是异面直线0o与

口。所成的角.

设_□□=4,则。£7=2,□□=1,□口=2,

从而Z7O=J口^+[JLf=V5,□□=J口仔+DD)2=V17

□□=J丁-£7仃=2V3,UD=d口仃+皿=4

故COSN□□□=16+5-1=西

口入2x4xV510'

故异面直线OZ7与4。所成角的余弦值是寻

B

故选：C

【变式2-2]5.（2023・全国•高一专题练习）在正方体口□、中,a侬别是面&5口&和口D

的中心，则。OF口口二所成的角是.

【答案】45。%

【分析】连接口a口口，则点班&。0勺中点，利用中位线的性质可得出口从而可知。3口

口所成的角为4口口口，即为所求.

【详解】连接4。、口口则点a为4中）中点，如下图所示:

易知点a为04的中点，又因为a为a粥中点，所以，

所以，口匚和口匚斯或捌能为乙□□□1=45°.

故答案为：45°.

【变式2-2]6.（2023•高一课时练习）直三棱柱心口口一口1口1口1中,乙□□口=90°,□□=口□=

□口、="则与所成角大小为.

【答案】60°

【分析】作出。&与O&所成角，并判断出角的大小.

【详解】设口口1n□、口=口,设O是口蜜勺中点，连接oa口口,

则,所以与oa所成角是/。口强其补角.

根据直棱柱的性质以及N000=90。可知口口]=□□]=□□3,

所以。£7=□□=,

所以三角形。£72是等边三角形，所以4口口口=60°,

所以0口1与□口、所成角大小为60。.

故答案为：60°

【变式2-2]7.(2023春・全国•高一专题练习)如图所示，圆锥SO的底面圆半径0氏1,母线口□=3.

(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；

(2)过点0在圆锥底面作0A的垂线交底面圆圆弧于点P,设线段SO中点为M,求异面直线AM与PS所

成角的余弦值

【答案】(1)。=竽；〃=3n

⑵誓

【分析】(1)根据圆锥的体积和侧面积公式即可；

(2)异面直线所成角，平移其中一条线，然后放到三角形中用余弦定理即可.

【详解】(1)圆锥SO的底面圆半径061,母线口□:3,所以圆锥的高为力=V32-1=2V2,

所以圆锥的体积O=gxnx俨x2夜=雪

圆锥的侧面展开图扇形的面积。=nX1X3=3n

(2)在圆锥中,交口方口,则异面直线AM与PS所成角为4口口口,

□d+ad-ucf_3+衿_4V3

所以COSN□□□=

-2•□口□口-=2xV3x1=V

所以异面直线AM与PS所成角的余弦值为子.

【变式2-2]8.（2023・高一单元测试）如图所示，在四面体。中，E、F分别是线段AD、BC上的

（1）求证：直线。。与。〃是异面直线；

口若口口=口口=3,□□=小，球□□、。。所成角的大小.

【答案】Q）证明见解析

(2)60°

【分析】（1）a为上靠近2勺三等分点，易证a口,口,。四点共面ooo£7（面□□□、,结合异面

直线的定义判断。口与口。是否异面;

（2）aa分别为oa□on近口,中）三等分点，易知口以。。所成角为/。口■其补角，进而求其

大小.

【详解】（1）若。为DO上靠近。的三等分点，则需=翟=]故口口,

所以以口,D,。四点共面。£7口。，显然a口,D不共线，故面与面。£70%同一个平面，

而口遹□□□,□强□□□,即口口。面□□口=□,□□口,□先□□,

所以直线oo与。a是异面直线；

（2）若a为别为口□,女薄近aBJ三等分点，则等=|g=券=gg=]

怩以,£70〃£70//£70,故£7。。口为平行四边形，目口□、口匚麻成羯为乙口口独

其补角，

19

又EJU--UU=1,ULJ=-DLJ-2,则cosz£7Z7/27=cos（n-z£7ZZ7Z7）=-cosz£7£7Z7=

口日+口4-口曰__2

-2口□•口口——Q，

由乙口口口2（0,180°）,故乙□□□=120°,则£7。、O方成角为60°.

♦类型3补全长方体

【例题3]（2023春・全国•高一专题练习）在长方体口口。口一口1口1□]口[（平面a口、口1a为下底面）

中，2/70=3口口=6,4,点班线段&&的中点，则异面直线aa与口。所成角的余弦值为

【答案】察##券国

【分析】在长方悻□□□□-&&&&的上方补一个全等的长方体口口。。一口2口2口2口2,进而在

△利用余弦定理求解即可.

【详解】解：在长方体。。口口-4aoi4的上方补一个全等的长方体0/70/7-口2口2口2口2，

所以，由长方体的性质可知：直线&nil口口2,

因为=3口口=6,□□=4,点。为线段&&的中点

所以ZZ7ZZ7=VT7,=VT3,口口2=V40,

所以C°SNR74=名需/=5V221

221

所以，异面直线0口与BF所成角的余弦值为咨.

故答案为：察

题型3由异面直线所成的角求其他量

♦类型1线段条数问题

【方法总结】一般地，如果两条异面直线所成的角为o(o＜口内,过空间一点。作直线口与aD

所成的均为。，即直线d勺条数为口，则

(1)若0＜。＜当，则口=0；

(2)若。，则。=1;

(3)若年＜〃(竽，则0=2;

(4)若。=竽，则。=3;

⑸若竽＜□吟,则口=4

(6)若。=微，则Z7=1.

【例题3-1*2022春•江苏扬州•高一校考阶段练习而正方悻口□□□-£71dUy4的所有面对角线中，

所在直线与直线口。互为异面直线且所成角为60°的面对角线的条数为()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】作图，直接观察可得.

【详解】如图，易知△□[为等边三角形，所以NO&&=60°,又□[□、,所以异面直线s

与aO的夹角为60°,符合题设.

同理，面对角线a口,□、□「也满足题意，所以满足条件的面对角线共4条，

故选：B.

【变式3-1]1.(2021秋•陕西西安•高一陕西师大附中校考阶段练习)若过正方体ABCD-A1B1C1D1

的顶点A作直线I,使得直线I与三条棱AB,AD,AA1所在直线的夹角均相等，则这样的直线I的条数为

A.0B.1C.3D.4

【答案】D

【分析】将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数.

设ABCD-A1B1C1D1边长为1.

第一条：AC1是满足条件的直线；

第二条：延长C1D1到C2且D1C2=1,AC2是满足条件的直线；

第三条：延长C1B1到C3且B1C3=1,AC3是满足条件的直线；

第四条：找C1关于A1的对称点C4,AC4是满足条件的直线.

综上，满足题意的直线I的条数为4条.

故选：D

【变式3-1]2.（2021春•高一课时练习）在正方体。。口口-口口[&各个表面的对角线中，与

所成角为60°的有

A.4条B.6条C.8条D.10条

【答案】C

【分析】首先确定与。&共面的面对角线中成60°角的共有4条，再通过平行关系确定异面的面对角线中也

有4条，共8条.

以oa为一边的面对角线构成的等边三角形如上图为：□□□]口、和口

可知与O4夹角为60°的面对角线有：□1口1,口口

根据平行关系可知。a□、D,口1口,口、0也与O&成60°角

可知满足题意的面对角线共有8条

本题正确选项：D

【点睛】本题考查两条直线夹角的问题，关键是在考虑共面的直线的同时，也需要考虑异面直线的情况.

【变式3-1]3.（2019秋•江西上饶•高一上饶中学校考阶段练习）已知两异面直线口，。所成的角为80°,

过空间一点O作直线，使得口与口,。的夹角均为50°,那么这样的直线有条

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】分析：如图所示，把a。平移到点侬，则与a。所成的角都为50。的直线有3条.

详解：过g乍与a⑪行的直线。,口,

如图，乙□□□=&）：

直线口匚冠点、口^/口口口=乙□口□=50°,这样的直线有两条.

又乙□□□=100°,直线口口^为乙□□匚蝌平令线,贝（k00/27=4□口□=50°,

综上，满足条件的直线的条数为3.

【变式3-1】4.（多选）（2021春•重庆沙坪坝•高一重庆南开中学校考阶段练习）已知空间中两条直线O,

。所成的角为50。，。为空间中给定的一个定点，直线血点O且与直线货口直线O所成的角都是

<□<90°）,则下列选项正确的是（）

A.当□=15°时，满足题意的直线&F存在B.当。=25°时，满足题意的直线砥且仅有1条

C.当口=40。时，满足题意的直线。有且仅有2条D.当口=60。时,满足题意的直线O有且仅有3条

【答案】ABC

【分析】为了讨论：过点□与口、。所成的角都是。（0°（90°）的直线。育且仅有几条，先将涉及到的

线放置在同一个平面内观察,只须考虑过点。与直线&所成的角都是。（0°4□490。）的直线。有且

仅有几条即可，再利用cos。=cos4•cos4.进行角之间的大小比较即得.

【详解】过点Of乍&〃。，&〃0则相交直线&、&确定一个平面与&之间形成的角为50。或130。，

设直线0A与4、&均为。角，

作■□口1面/_>十点。,UU10于点Z7,ZZ7ZZ71于点Z7,

记上□□□=□、,乙□□□=口2（口2-25°或65°）,则有cos£7=cos&•cos/Z^.

因为0°《490°,所以0<cosZZ7<cosQ.

当4=25°时,由0<cos£7<cos250,得25。<£7<90°;

当口2=65。时,由0<cos£7<8s650,得65。<□<90°.

故当O<25。时,直线。不存在；

当口=25°时，直线怎且仅有1条；

当25°<。<65°时，直线U有且仅有2条；

当口=65°时，直线二有且仅有3条；

当65°<£7<90°时，直线。有且仅有4条;

当。=90。时，直线O有且仅有1条.

故O,口均正确，Z3错误.

故选：ABC.

【点睛】关键点睛：本题考查线面角大小的判断，处理技巧上，将直线口2专化成共面直线非常关键，考

查了数形结合，分类讨论的数学思想.

♦类型2线段长度问题

【例题3-2]（2023春・全国•高一专题练习）在空间四边形Z7OO乙中，口口口,2分别是£70,口口,

£70,勺中点.若0。=00=2,且。若口丽成的角为60。，则£7中）长为（）

A.1B.V2C.1或V3D.g或6

【答案】C

【分析】趣妾口口，口口,可得4口口口=60。或120。，求解三角形即可求出.

【详解】如图，连接oa□□,在4口£7。中，因为ae为中点，即以,□□=1,

在^□口田,因为a孕中点，所以=1,

因为。。与Z7O所成的角为60°,而以乙□□口=60°或120°,

当乙□□□=60。时，△口口。为等边三角形，所以口口=1,

当乙□□□=120°,由余弦定理可得=1+1-2x1x1x（一；）=3,即Z7Z7=V5,

所以口方长为1或百.

故选：C.

【变式3-2]1.（2022・高一课时练习）圆柱的高为4厘米，底面半径为3厘米，已知上底面一条半径S

所在直线与下底面的一条半径方方所在直线的夹角为60°,求：

Q）直线与圆柱的轴。方所成角的正切值；

⑵线段。方的长.

【答案】（年或苧

（2）ZZ7Z7-5cm或V？5cm.

【分析】⑴利用异面直线所成角的定义作平行线，再利用几何知识求角即可；

⑵利用勾股定理求心方即可.

(1)

已知上底面一条半径OO所在直线与下底面的一条半径Oo'所在直线的夹角为60。，则N方方方=60。或

120°,则£7’的位置可能有如图两种情形：方与位置可能有如图两种情形：口与口.

由口仃\\口已，直线Z7。'与圆柱的轴。/7'所成角为方或其补角，在两种情况下，已已=3cm或

375cm,tanzO£7n=?或苧,所以直线O方与圆柱的轴£7方所成角的正切值为;或苧.

（2）

,,,I2~2

由（1）知，在两种情况下，仃仃=3cm或3vsem,口仃=-JZ7Z7+Z7£7=5cm或"5cm.

【变式3-2]2.（2020春•辽宁沈阳・高一沈阳二中校考期末）已知：平面口n□=□,口€□,□€口,

□□=4,口€□,□□>口,口□=3,DEU,口口〜LJ,口口=3.直线AC与BD的夹角是60。，则

线段CD的长为.

【答案】5或闻

I令析、作□□//□□目□□=□□幅妾口口,□□,□□□（或其补角）为异面直线口所成

的角，所以乙口□口=60。或4口□口=120°,证明口0_L□口,先求出£70,再得口O.

【详解】如图族□□"□近口口=□□曲□口,□□网乙□□□（或其补角）为异面直线。2口口

所成的角，所以4口□口=60。或乙□口□=120°,

因为□□“口•口□=口□,所以是平行四边形，所以,□□=00=4,

因为1口□,口□1口口,所以口口1口口口□1口口,£7/7n□口=D,所以0口1平面£700,

口口U平面□□□,所以£7口1口口,

□口=□口=3,若乙□口□=60°,则口口=3,□□=V32+42=5,

若乙口口口=120°,则口£7=2x3sin60°=3V3,口口=<27+16=V43.

故答案为：5或闻.

【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，都可空间两点间的距离.解题关键是作出异面直线所成的角.构

造三角形，在三角形中求线段长.

【变式3-2]3.（2020秋・全国•高一专题练习）如图，在底面边长为1的正四棱柱口Z7S-口口&a

中，点E为04的中点，异面直线口。与口a所成的角的正弦值为噂,则侧棱口a的长度为.

【答案】1或2

【分析】连aa由知异面直线与口乜所成角的平面角为故过点t忤

□1K点、□，设口□=及即可表示出oaoa又由。az?。。可得其对应线段成比例,列出等

式代入数据后即可得解.

【详解】连&&由题可知&。/。&,

可得异面直线。口与口口所成角的平面角为N4□口,

过点E作口。J.口方彘口设□□=h.

有□口=—4=Vw/i,□口=SIDEF-nd-=

sM/口、口口关

又□□、□□s□□、口□有程=器

得:=尸二，解得」=1^1

1285

JI+4（104-1）

所以口口=；或1

所以O4=1或2.

【点睛】本题考查空间中棱长的求法，需要学生有一定的空间思维和计算能力，解题关键是将异面直线所成角

转化为平面角求解.

【变式3-2J4.（2022・全国•高一假期作业）如图，在△口口*,£7/7=1,□□:2^2,□=亨，将△□□□

绕边口。1组转至△口口口，行面□□□L平面口□□，口是口曲中息，设。是线段口。的动点，则当。口

与口。所成角取得最小值时，线段。中于（）

A由n3V52V5275

M-2e-5ec,5UD-3

【答案】C

【分析】由题意可将三棱锥D-DOGft在棱长为2的正方体中如图所示，当口口11口匚鸵,□□与口所

成的角取得最小值，利用相似计算得到答案.

【详解】由题意可将三棱锥口一口口。放在棱长为2的正方体中如图所示,

延长。依正方体的棱于点。，连接则ao均为其所在正方体棱上的中点，

过点0（乍05勺垂线£7口，垂足为点O,她平□□□,所以。口1口口,

又因为匚彷7,口口,口口门口口=n,而以口口上平面□□□□,

则。。为。口在平面。。口。内的投影,

则当OB/OOB寸，O,口斤斤成的角取得最小值，

此时由oo//oa口源x□□□"□□□,则携=携

在口口2口口收,易得口口=V，所以□□=写养=孝=等，

故选：C.

【点睛】本题考查了异面直线夹角的最值，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥放在棱长

为2的正方体中是解题的关键.

【变式3-2】5（2019春•湖北•高一校联考期中班图在底面为正方形侧棱垂直于底面的四棱柱

□通口口曲，□口=】，若异面直线&。与所成角的余弦值为k,则第的值为（）

A.3C.2D.|

【答案】A

【分析】连结,可得异面直线与所成角为N0O0.利用余弦定理可求出,

最后可求出案的值.

连结44,

••・异面直线&£片57所成角为/&04.

令□□、=口,则a£7=□□、=/力+1,aa=夜.

COSNZZ7I£7Z7I

「・行=9,£7=3.即=3.

・•・第=3.故选A.

【点睛】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：

一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向

量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用

平面几何性质求解.

♦类型3面积问题

【例题3-3]（2023春•全国•高一专题练习）如图，已知空间四边形OOOO两对角线口二口口。的长分别

为8和10,所成的角为60°,依次连接各边中点所得四边形。。口。的面积是_______；

【答案】10V3

【分析】根据口，口,。分别为OO,口口，口口,DO中点得到四边形0/7。/7为平行四边形，且

口口=口口=三口口=5,□□:□□=；□□=4,根据口。与口。所成角为60。得到平行四边形

0002勺一个内角为60°,然后求面积即可.

【详解】因为O,口,□,已分别为口口，□口，□口,口口^彘,

所以OZ7IIZZ7OII□口,□□,且□□=口口=；口口=5'=□□=；□口=&,

所以四边形。。。口为平行四边形，

因为OD与口。所成角为60。，所以平行四边形口口口量勺一个内角为60。，

所以□□口口口=2x；x4x5xsin60°=10V3.

故答案为：10V3.

【变式3-3]（2023・全国•高一专题练习）已知长方体OOOO-aaaa的体积为9,UD>LJIJ,

□□一旦异面直线AC与口&所成的角为60。，则该长方体的表面积为.

【答