人教A版选择性必修第二册5变化率问题、导数的概念

变化率问题、导数的概念

——基础练7=(30分钟60分)

一、选择题(每题5分，共30分，多项选择题全部选对得5分，选对

但不全对的得2分，有选错的得0分)

1.函数y=f(x)=2x2-1在区间［1,1+Ax］上的平均变化率兀=()

A.4B.4+2Ax

C.4+20x)2口.4Ax

【解析】选B.由于Ay=[2(1+Ax)2-1]-(2xl2-1)=4Ax+2(Ax)2,所

以笠=4+2AX.

2.假设质点A根据规律s=3t2运动，那么在t=3时的瞬时速度为

()

A.6B.18C.54D.81

(22

【解析】选B.由于黑33+At)-3x3

=At

18At+3(At)2

=At=18+3At,

所以lim-=18.

.t—>0f

3.函数f(x)=x2-1在区间［1,m］上的平均变化率为3,那么实数m

的值为()

A.3B.2C.1D.4

m2-1-(l2-1)

【解析】选B.由得———=3,

所以m+1=3,所以m=2.

3

4.假设y=f(x)=x,f(x0)=3,那么xo的值是()

A.1B.-1C.±1D.3小

【解析】选C.由于Ay=f(x0+Ax)-f(xo)

=(xo+Ax)3-Xo

=3XQAx+3xo(Ax)2+(Ax)3,

_Av

2

所以菽=3xo+3x0Ax+(Ax),

所以f(xo)=lim[3xo+3xAx+(Ax)2]=3xo,

x->00

由f'(xo)=3,得3x5=3,所以xo=±1.

5.假设曲线f(x)=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+l=O,

那么()

A.a=1,b=1B.a=-1,b=l

C.a=l/b=-lD.a=-1,b=-1

【解析】选A.由题意，知k=f(0)=

(△x+0)2+a(0+Ax)+b-b

储=1i所以a=1.

Ax

又(0,b)在切线上，所以b=1.

6.(多项选择题)假设f(x)在x=xo处存在导数，那么

f[xo+h]-f(xo)

lim()

_h->0h

A.与xo,h都有关

B.仅与xo有关

C.与h无关

D.仅与h有关，而与xo无关

【解析】选BC.由导数的定义知，函数在x=x0处的导数只与xo有关.

二、填空题(每题5分，共10分)

7.一物体的运动方程为s=7t2+8,那么其在t=时的瞬时

速度为1.

As7(to+At)2+8-〔7曲+8］

【解析】曰=-------------------------=7At+14to,

1

当lim(7At+14t0)=1时,to=77.

宏1=1崇•14

8.如图是函数y=f(x)的图象,那么

⑴函数f(x)在区间［-1,1］上的平均变化率为；

⑵函数f(x)在区间［0,2］上的平均变化率为.

【解析】⑴函数f(x)在区间［-1,1］上的平均变化率为

f⑴-f(-1J2-11

1-[-1]22,

x+3

----1<X<1

(2)由函数f(x)的图象知，f(x)=j2，--’

x+1,l<x<3.

3

f⑵-f(O)3-2

所以函数f(x)在区间［0,2］上的平均变化率为-------------二亍

2-02

_3

=4•

-13

答案：(1)2(2)~

三、解答题(每题10分，共20分)

、1、，

9.求y=x2+,+5在x=2处的导数.

11

【解析】由于Ay=(2+Ax)2+---------+5-(22+-+5)=4Ax+(Ax)2+

2+Ax2

-Ax

2(2+Ax)

所以*=4+Ax-1

4+2Ax

(11

所以y、=2=i吧得=4+Ax-

\4+2Ax7

1_15

=4+0

4+2x0-4

10.假设函数y=f(x)=-x2+x在［2,2+取］(取＞0)上的平均变化率不

大于-1,求Ax的取值范围.

【解析】由于函数f(x)在［2,2+必上的平均变化率为*=

Z-aA

f(2+Ax)-f[2]

△x

-〔2+Ax〕2+〔2+Ax]-〔-4+2〕

=-----------------------------7------------------------------=-3-Ax,

△x'

所以由-3-Ax<-1得Ax>-2,

又由于Ax>0,所以Ax的取值范围是(0,+g).

=提升练^:^=(30分钟60分)

一、选择题(每题5分，共15分)

1.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如下图，那么治污效

果较好的是()

A.甲B.乙C.相同D.不确定

【解析】选B在to处,Wi(to)=W2(to)，但

Wi(to"At)<W2(to-At)t

wWi[to]~Wi(to-At]W2[to]-W2〔to-At〕

那么---------------------<-----------------------,

AtAt，

所以，在相同的时间At内，甲厂比乙厂的平均治污率小，即乙厂的

治污效果较好.

2.函数y=f(x)=x?在xo到xo+Ax(Ax>0)之间的平均变化率为ki,在

Xo-Ax到X。之间的平均变化率为k2那么k1与k2的大小关系为()

A.ki>k?B.ki<k2

c.ki=k2D.不确定

f(xo+Ax]-f[xo]

[解析]选1=-------------T------------

LS/\

2

(x0+Ax]-Xo

=以=2x0+Ax；

f(xo)-f〔xo-Ax〕

Xo-(Xo-Ax)2

一Ax

=2xo-Ax.

所以ki>k2.

2

3.点P(x0,yo)是抛物线y=3x+6x+1上一点,且f(x0)=0,那么点

P的坐标为()

A.(1,10)B.(-1,-2)

C.(1,-2)D.(-1,10)

【解析】选点f(xo+Ax]-f〔Xo]

△x

3〔Xo+Ax]2+6(Xo+Ax]+1-(3XQ+6xo+1]

一Ax

=3Ax+6xo+6,

△y

所以f'(xo)=limT-=lim(3Ax+6xo+6)=6xo+6=0,

,xf0AXx—>0

所以X0=-L

把Xo=-1代入y=3x2+6x+1,得yo=_2.

所以P点坐标为(-1,-2).

二、填空题(每题5分，共15分)

4.函数y=f(x)=A(A为常数)，那么口2)=

【解析】由于△y=W2+Ax)-f(2)=A-A=0,

.AyAy

所以鼠二°，口2)=理鼠=粤。=。

答案：0

5.函数y=f(x)=ax?+c且f")=2,那么a=

f[1+Ax]-f(1)

【解析】Hl)=lim驾=lim

△x

a(1+Ax)2+c-a-c2a-Ax+a(Ax)2

==lim

四&x->0△x

=lim(2a+a-Ax)=2a=2.

ax->0

所以a=l.

答案：1

6.函数f(x)=A/X在x=1处的导数fz(l)=.

【解析】由导数的定义知，函数在x=l处的导数仪1)=号常

f[l+Ax]-f(1)f[1+Ax]-f[1]

△x'而Ax

71+Ax-1i

Axq1+Ax+1'

111

又lim/=5，所以f'⑴

oyi+Ax+i乙L

冬口室•,—2

三、解答题(每题10分，共30分)

7.将半径为R的球加热，假设半径从R=1到R=m时球的体积膨胀

率(体积的变化量与半径的变化量之比)为亍，求m的值.

4n,4n,4n,

【解析】由于=§m3--xl3=y(m3-1),

4n

28Tl

所以而=—

m-1-V

BPm2+m+1=7,解得m=2或m=-3(舍去).

8.路灯距地面8m,一个身高1.6m的人以84m/min的速度在地面

上从路灯在地面上的射影C沿某直线离开路灯,

⑴求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式.

⑵求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率.

【解析】⑴如下图，设人从c点运动到B处的路程为xm,AB为身

影长度，AB的长度为ym.

一一“ABBE

由于CDIIBE,那么斤=75

y1

即-

4

y+XX.

(2)设人离开路灯的时间为t,

由于84m/min=1.4m/s,而x=1.4t.

11Z

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