专题函数对称性周期性和奇偶性的规律讲义-高三数学一轮复习

2024届高三一轮复习专题讲义——函数对称性、周期性和奇偶性规律同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。对称性定义（略），请用图形来理解。对称性：我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数关于对称也可以写成或若写成：，函数关于直线对称（2）函数关于点对称或若写成：，函数关于点对称周期性：（1）函数满足如下关系系，则A、B、定理3：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.两个函数的图象对称性 与关于X轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。与关于Y轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。关于点(a,b)对称。换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。与关于直线对称。函数的轴对称：定理1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论2：如果函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.函数的点对称：定理2：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论3：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论4：如果函数满足，则函数的图象关于原点对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三、试题1．已知定义为R的函数满足，且函数在区间，且，则的值（）.A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负.分析：形似周期函数，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用代替，使变形为对称.在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.，且函数在上单调递增，所以，又由，有，.选A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.2：6.在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则() 上是增函数，在区间上是增函数 上是增函数，在区间上是减函数 上是减函数，在区间上是增函数 上是减函数，在区间上是减函数分析：由可知图象关于为偶函数图象关于对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图.故选B既是奇函数，又是周期函数，在闭区间上的根的个数记为，则可能为（） D.5分析：，，∴，则可能为5，选D.4．已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求的值.分析：由推论1可知，的图象关于直线对称，即，同样，满足，现由上述的定理3知是以4为周期的函数.，同时还知是偶函数，所以.5．设函数为奇函数，则（） A．0 B．1 C． D．56．设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（）(A)；(B)；(C)；(D)7．设函数与的定义域是,函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（）A. B. C. D.8.已知函数y＝f(x)是定义在上的周期函数