4.7解三角形的综合应用答案

4.7解三角形的综合应用课标要求精细考点素养达成能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题测量高度、距离、角度问题通过利用正、余弦定理解决测量和计算问题,培养数学建模、数学运算素养三角形中的三角函数通过平面向量在解三角形中的应用,培养数学运算、逻辑推理素养正、余弦定理在几何中的应用通过三角形的综合应用,培养数学运算、逻辑推理素养1.(概念辨析)(多选)下列选项中,说法正确的有().A.俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围是0,B.方位角与方向角的实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系C.方位角大小的取值范围是[0,2π),方向角大小的取值范围一般是0,D.在△ABC中,AB=a,AC=b,若a·b=0,则△ABC是直角三角形答案BCD解析对于A,俯角是在竖直平面内的水平线与向下递降线段之间的角度,朝下看时,视线与水平面的夹角为俯角,故A错误;对于B,方位角与方向角的实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系,故B正确;对于C,方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,故其大小的取值范围是[0,2π),由定义可知方向角大小的取值范围为0,π对于D,a·b=0,则a⊥b,所以AB⊥AC,所以△ABC为直角三角形,故D正确.2.(对接教材)如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为().A.502m B.503mC.252m D.252答案A解析在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=AC又∠CBA=180°45°105°=30°,所以AB=ACsin∠ACBsin∠CBA=50×223.(对接教材)小李从地面点D看楼顶点A的仰角为30°,沿直线前进72m到达点E,此时看点C的仰角为45°,若BC=AC,则楼高AB约为().A.58m B.68m C.78m D.88m答案A解析设AC=x,则由题意可得AB=2x,BC=BE=x,BD=ABtan∠ADB=23x,所以DE=BDBE=23xx=72,解得x=7223-1=4.(易错自纠)(多选)如图,△ABC的三个内角A,B,C对应的三条边分别是a,b,c,∠ABC为钝角,BD⊥BA,cos2∠ABC=725,c=2,b=8A.sinA=55 B.BD=2C.5CD=3DA D.△CBD的面积为答案AC解析由cos2∠ABC=725,得2cos2∠ABC1=725,又∠ABC为钝角,解得cos∠ABC=由余弦定理得645=a2+44a×-35,解得a=2,可知△ABC为等腰三角形,即A=C,所以cos∠ABC=cos2A=(12sin2A)=3可得cosA=1−sin2A=255,在Rt△ABD中,cAD=cosA,得AD=CD=bAD=8555=355,可得|CD||DA|S△BCD=12×2×355×55.(真题演练)(2023·全国甲卷理)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=6,∠BAC的平分线交BC于点D,则AD=.

答案2解析如图所示,记AB=c,AC=b,BC=a.(法一)由余弦定理可得22+b22×2×b×cos60°=6,因为b>0,所以解得b=1+3,由S△ABC=S△ABD+S△ACD,得12×2×b×sin60°=12×2×AD×sin30°+解得AD=3b1+b(法二)由余弦定理可得22+b22×2×b×cos60°=6,因为b>0,所以解得b=1+3,在△ABC中,由正弦定理可得6sin60°=bsinB=2sinC,解得sinB=6因为1+3>6>2,所以C=45°,B=180°60°45°=75°,又∠BAD=30°,所以∠ADB=75°,即AD=AB=2.测量高度、距离和角度的问题典例1(1)如图,航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机飞行的海拔高度为10000m,速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度大约为(参考数据:2≈1.4,3≈1.7)().A.7350m B.2650mC.3650m D.4650m(2)(2024·山东青岛期初调研)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”,若要测量某蓝洞口边缘A,B两点间的距离(如图),现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=8海里,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点的距离为海里.

答案(1)B(2)85解析(1)如图,设飞机的初始位置为点A,经过420s后的位置为点B,山顶为点C,作CD⊥AB于点D,则∠BAC=15°,∠CBD=45°,所以∠ACB=30°,在△ABC中,AB=50×420=21000(m),由正弦定理得ABsin∠ACB=BC则BC=2100012×sin15°=10500(6因为CD⊥AB,所以CD=BCsin45°=10500(62)×22=10500(3所以山顶的海拔高度大约为100007350=2650(m).(2)如图,在三角形ACD中,∠DCA=15°,∠ADC=135°+15°=150°,∠CAD=180°150°15°=15°,所以AD=CD=8,所以AC=64+64−2×8×8×cos150°=8×2+3在三角形BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=15°+120°=135°,∠CBD=180°15°135°=30°,由正弦定理得8sin30°=BCsin15°,BC=8·sin15°sin30°=16×sin(45°30°)=16×22×3在三角形ABC中,∠ACB=120°,所以AB2=AC2+BC22×AC×BC×cos120°=128+643+16(843)2×8×2+3×4(62)×-12=256+64×2+3×1.求距离、高度问题(1)选定或确定要创建的三角形,要先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的量.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.2.求角度问题(1)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步,画图时,要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义,并能准确找到这些角.(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理的综合应用.训练1一艘船航行到点A处时,测得灯塔C与其相距30海里,如图所示.随后该船以20海里/小时的速度,沿直线向东南方向航行1小时后到达点B,测得灯塔C在其北偏东25°方向,则sin∠ACB=().A.23sin70° B.23sin75°C.32cos70°答案A解析由题意可知,∠ABC=45°+25°=70°,AB=20海里,AC=30海里,由正弦定理可得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,代入数据得sin∠ACB=三角形中的三角函数典例2已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,满足sinB+sinCsinA=2−cosB-cosCcosA,函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间(1)证明:b+c=2a.(2)若fπ9解析(1)因为sinB+sinCsinA=2−cosB所以sinBcosA+sinCcosA=2sinAcosBsinAcosCsinA,所以sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA,所以sin(A+B)+sin(A+C)=2sinA,即sinC+sinB=2sinA,所以b+c=2a.(2)由题意知f(x)=sinωx在x=π3处取到最大值,且最小正周期T≥4π3,所以sinωπ3=1,2πω≥4π3,得ω=32.因为fπ9=sinπ6=12=cosA,A∈(0,π),所以A=π3,由余弦定理知cosA=b2+c2-a22bc=1关于三角函数、三角变换与解三角形的综合题的解题思路,一般是由正弦定理、余弦定理求出某个量作为下面问题的已知量,然后利用三角变换,将所求的量化成f(x)=Asin(ωx+φ)或f(x)=Acos(ωx+φ)的形式,再利用三角函数的性质求出最值或者范围.解三角形问题的总体思路就是转化思想和消元,要注重正弦定理、余弦定理多种表达形式及公式的灵活应用.训练2(2023·福建厦门一中调研)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的最小正周期为π,(1)求ω,φ;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,fA2=3解析(1)依题意,T=2πω由题意得2×π3解得φ=kπ2π3(k∈Z),而0<φ<π所以取k=1,则φ=π3(2)由(1)知,f(x)=sin2x+π3,因为fA2=32,所以sin因为A∈(0,π),所以A+π3∈π3,4π3,则A+π由余弦定理得4=b2+c2bc,因为b2+c2≥2bc,所以4=b2+c2bc≥2bcbc,所以bc≤4(当且仅当b=c=2时,bc有最大值4).因为S△ABC=12bcsinA=34bc,所以△ABC面积的最大值为正弦定理、余弦定理在几何中的应用典例3如图,平面四边形ABCD中,AD=5,CD=3,∠ADC=2π3,△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a+bc=(1)求四边形ABCD的外接圆半径R;(2)求△ABC内切圆半径r的取值范围.解析(1)在△ACD中,AC2=AD2+DC22AD·DC·cos2π3由正弦定理,得a+bc=sinA-sinCsinA-sinB=a-再由余弦定理,得cosB=12,又0<B<π,所以B=π因为∠ADC=2π3则四边形ABCD的外接圆半径就等于△ABC外接圆的半径.又2R=bsinB=732=14(2)由(1)可知a2+c2ac=49,则(a+c)2=49+3ac,S△ABC=12acsinB=1则r=32·ac7+a+c=123·(在△ABC中,由正弦定理,得asinA=csinC=bsinB所以a=1433sinA,c=则a+c=143=14=14=14=14sinA·32又A∈0,2π3,所以A+π6∈π6,5π6,所以sinA+1.几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角度的计算,这样就可以利用正弦定理、余弦定理解决问题,解决此类问题的关键是构造三角形,把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.2.在三角形的面积公式中,S=12absinC=12bcsinA=3.解题过程中,要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质等,要注意把这些性质与正弦定理、余弦定理相互结合.训练3(2023·江苏通州中学质检)某园区有一块三角形空地(如图△ABC),其中AB=20m,AC=40m,∠B=π2,现计划在该空地上选三块区域种上三种不同颜色的花卉,为了划分三种花卉所在的区域且浇灌方便,需要在空地内建一个正三角形形状的水池,要求正三角形的三个顶点分别落在空地的三条边界上(如图△DEF),则水池面积的最小值为m2答案300解析设DE=EF=DF=x,∠BDE=θ,因为AB=20m,AC=40m,∠B=π2所以∠A=π3,∠C=π因为θ+∠FDE+∠ADF=θ+π3∠AFD+∠ADF+∠A=∠AFD+∠ADF+π3所以∠AFD=θ.在△ADF中,由正弦定理得ADsinθ=DFsinπ3,即所以AD=233xsinθ,因为AB=20m,所以233xsinθ+xcosθ=20,所以x=20233sinθ+cosθ=2032sinθ+3cosθ,所以x=2032sinθ+3cosθ=2037sin(θ+φ),其中tanφ=32,θ∈0,与三角形的中线及角平分线和高的相关问题1.涉及中线问题如图1,在△ABC中,设D为边BC上的中点,与中线长AD有关的计算问题,常见的处理方法如下:(1)补成平行四边形:如图2,AE=2AD,可在△ABE中求解AE,从而得出AD.(2)利用向量:由AD=12(AB+AC),两边平方后得|AD|2=14(AB2+AC2+2图1图2典例1在锐角三角形ABC中,BC=4,sinB+sinC=2sinA,则中线AD的取值范围是.

答案[23,13)解析设AB=c,AC=b,BC=a=4,对sinB+sinC=2sinA运用正弦定理,得到b+c=2a=8,所以c=8b.因为该三角形为锐角三角形,所以根据余弦定理,可得cosA=b2+由bc=b(8b)=b2+8b=(b4)2+16,得到15<bc≤16.因为AD=12(AB+AC所以|AD|=1=1=122b因为15<bc≤16,所以|AD|=12112−4bc∈[23,13),|AD|的取值范围为[23,把中线AD表示为含三角形边的函数再求解,注意条件中三角形为锐角三角形对边的范围的限制.训练1在△ABC中,a=1,b=3,AB边上的中线长为1,则△ABC的外接圆的半径为.

答案1解析如图,在△ABC中,设D为AB边的中点,则CD=CB+BD,CD=CA+AD,BD+AD=0,所以2CD=CA+CB,故4CD2=(CA+CB)2,而|CD|=1,|所以4=3+1+2CA·CB=4+23cos∠ACB,则cos∠ACB=0,由于∠ACB∈(0,π),所以∠ACB=π2所以c=3+1=2.设△ABC的外接圆的半径为R,则csinC=2R,所以R=12×2.涉及角平分线问题如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠BAC,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.(1)内角平分线定理:ABAC=BD(2)等面积法:S△ABD+S△ACD=S△ABC.(3)角平分线长公式:AD=2bccosA典例2如图,在△ABC中,AB=2AC,∠BAC的平分线交BC边于点D.(1)证明:BC=3DC.(2)若AD=AC,且△ABC的面积为67,求BC的长.解析(1)设∠BAD=α,∠BDA=β,则∠CAD=α,∠CDA=πβ.在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理,得ABBD=sinβsinα,ACDC所以ABBD=ACDC,即ABAC又因为AB=2AC,所以BD=2DC,即BC=3DC.(2)设AB=2AC=2t,所以AD=AC=t,设∠CAD=θ.由S△ABC=S△ACD+S△ABD,可得12·t·2t·sin2θ=12t·t·sinθ+所以2sinθ·cosθ=12因为sinθ≠0,所以cosθ=34所以cos2θ=2cos2θ1=18又0<2θ<π,所以sin2θ=1−cos22θ又S△ABC=67=12·t·2t·sin2θ=378t2所以BC2=t2+4t22·t·2t·cos2θ=92t2=9所以BC=62.三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,是常用的转化方法.训练2已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3,ab=4,点D满足2AD=DB.若CD为∠ACB的平分线,则△ABC的周长为.

答案3+32解析在△ADC中,ADsin∠ACD=AC在△BCD中,BDsin∠BCD=BC因为CD为∠ACB的平分线,所以ADBD=ACBC=又因为2AD=DB,所以ba=1又因为ab=4,所以a=22,b=2,所以△ABC的周长为3+32.3.涉及高线的问题h1,h2,h3分别为△ABC边a,b,c上的高,则h1∶h2∶h3=1a∶1b∶1c=1sinA∶典例3△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知1+tanAtanB=2c(1)求角A的大小;(2)若BC边上的中线AM=22,高线AH=3,求△ABC的面积.解析(1)因为1+tanAtanB=1+sinAcosBcosAsinB=cosAsinB+sinAcosBcosAsinB=sin(A+B所以由正弦定理得sin(A+B)cosAsinB=因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC,又B,C∈(0,π),所以sinB≠0,sinC≠0,所以cosA=12,又A∈(0,π),所以A=π(2)如图所示,因为M是BC的中点,所以AM=12(AB+AC所以|AM|2=14(AB+AC)2=14|AB|2+12|AB|·|AC|cosA+14|AC|2=14(|AB|2+|AB|·|AC所以c2+bc+b2=32.①因为S△ABC=12BC·AH=12AB·ACsinA,所以32根据余弦定理得a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc,③由①②③得bc22所以S△ABC=12bcsinA=12×8×32求高一般采用等面积法,即求某边上的高,需要求出面积和底边长度.高线的两个作用:(1)产生直角三角形;(2)与三角形的面积相关.训练3在△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,AH为△ABC的高线,则AB·AH=.

答案3解析在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC22AB·ACcos120°=7,即BC=7,所以S△ABC=12AB·ACsin120°=1所以AH=AB·ACsin120°BC由向量数量积的几何意义得AB·AH=|AH|2=21一、单选题1.(2023·江苏新海中学月考)一艘客船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向,之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时测得船与灯塔S相距82海里,则灯塔S在B处的().A.北偏东75°B.北偏东75°或南偏东15°C.南偏东15°D.南偏东75°答案B解析如图所示,由题意可知AB=32×3060=16(海里),BS=82在△ABS中,由ABsinS=BSsinA,得sinS=ABsinABS=16sin30°所以S=45°或135°,故B=105°或15°,即灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°.2.(2023·江苏扬州中学调研)小明同学学以致用,欲测量学校教学楼的高度,他采用了如图所示的方式来测量,小明同学在运动场上选取相距25米的C,D两观测点,且C,D与教学楼底部B在同一水平面上,在C,D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为45°,30°,并测得∠BCD=120°,则教学楼AB的高度是().A.20米 B.25米 C.153米 D.202米答案B解析设AB=x,在Rt△ABC与Rt△ABD中,BC=AB=x,BD=ABtan30°=3在△BCD中,BD2=BC2+CD22BC·CDcos120°,即3x2=x2+2522×25×x×-12,解得x1=25,x2=3.(2023·江苏如皋中学期中改编)如图,四边形ABCD四点共圆,其中BD为直径,AB=4,BC=3,∠ABC=60°,则BD的长为().A.36 B.23 C.2393答案C解析在△ABC中,因为AB=4,BC=3,∠ABC=60°,所以由余弦定理,得AC=42+3由正弦定理,得BD=ACsin∠ABC=13sin60°=4.(2023·福建福州一中调研)如图,这是某商业小区的平面设计图,初步设计该小区边界轮廓是半径为200米,圆心角为120°的扇形AOB,O为南门位置,C为东门位置,小区里有一条平行于AO的小路CD,若OD=2006A.50π米 B.53π米 C.55π米 D.100π米答案A解析如图,连接OC,因为CD∥OA,所以∠DCO=∠COA,∠CDO=180°∠DOA=180°120°=60°.在△OCD中,由正弦定理可得ODsin∠DCO=OC即20063sin∠DCO则sin∠DCO=20063×因为∠DCO=∠COA,且0°<∠COA<120°,所以∠DCO=∠COA=45°,所以AC=π4二、多选题5.(2023·江苏中华中学月考)如图,在海岸上有两个观测点C,D,C在D的正西方向,距离为2km,在某天10:00观察到某航船在A处,此时测得∠ADC=30°,5分钟后该船行驶至B处,此时测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,则下列结论正确的是().A.当天10:00时,该船位于观测点C的北偏西15°方向B.当天10:00时,该船与观测点C相距2kmC.当船行驶至B处时,该船与观测点C相距2kmD.该船在由A处行驶至B处的这5min内行驶了6km答案ABD解析A选项中,∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°,因为C在D的正西方向,所以A在C的北偏西15°方向,故A正确.B选项中,在△ACD中,∠ACD=105°,∠ADC=30°,则∠CAD=45°.由正弦定理,得AC=CDsin∠ADCsin∠CAD=2C选项中,在△BCD中,∠BCD=45°,∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°,即∠CBD=45°,则BD=CD=2km,于是BC=22km,故C不正确.D选项中,在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC22AC·BCcos∠ACB=2+82×2×22×12=6,即AB=66.如图,△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3(acosC+ccosA)=2bsinB,且∠CAB=π3A.∠ABC=π3B.∠ACB=π3C.四边形ABCD面积的最大值为532+3答案ABC解析因为3(acosC+ccosA)=2bsinB,所以由正弦定理得3(sinAcosC+sinCcosA)=2sin2B,所以3sin(A+C)=2sin2B,整理得3sinB=2sin2B,sinB=32因为∠CAB=π3,所以B∈0,2π3所以C=πAB=π3S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=34AC2+1=34(AD2+DC22AD·DC·cos∠ADC)+1=34×(9+16cos∠ADC)+3=532+3sin∠ADC-因此C正确,D错误.三、填空题7.周末,某班级部分同学去湿地公园拍鸟的照片,甲、乙两人分别站立在相距120m的A,B两地,B在A的北偏东15°方向,若有一只水鸟在A地的正东方向,在B地的东南方向,则水鸟的位置距离B地km.

答案603+60解析作图如下,由题意得A=75°,B=60°,C=45°,AB=120,故BCsinA=ABsinC,则BC=120sin45°得BC=603+60.8.(2023·江苏盐城中学调研)在△ABC中,已知AB=3,AC=5,∠BAC=2π3,点D在边BC上,且满足AD=BD,则BC=,sin∠DAC=答案74解析在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC=AB2+AC2解得BC=7,所以cosB=AB2+BC2又AD=BD,可得∠BAD=∠B,故cos∠BAD=cosB=1114,sin∠BAD=5所以sin∠DAC=sin(∠BAC∠BAD)=sin∠BACcos∠BADcos∠BACsin∠BAD=32×1114-12×四、解答题9.(2024·江苏淮安高三调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为边BC上一点,AD=2.(1)若△ABC的面积S=2,∠ADB=π4(2)若D为∠BAC的平分线与边BC的交点,c=2,C=π4解析(1)△ABC的高h=ADsin∠ADB=2sinπ4=2所以S=12BC·h=12·a·2=2,则a=2(2)因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=∠DAC,设∠BAD=∠DAC=θ,则∠ADB=∠DAC+∠C=θ+π4在△ABD中,因为AB=AD=2,所以∠B=∠ADB=θ+π4由内角和定理,∠B+∠ADB+∠BAD=2θ+π4+θ=3θ+π2在△ABC中,由正弦定理得asin∠BAC=csinC,则a=csin∠BACsinC=2sin10.(2023·山东青岛二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2ac=2bcosC.(1)求角B的大小.(2)若点D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,∠EDF=π3解析(1)因为2ac=2bcosC,所以2ac=2b·a2+b2-c22ab=所以cosB=a2+c2-因为B∈(0,π),所以B=π3(2)如图,由B=π3又因为∠EDF=π3,∠BDE=α,所以π6≤α≤在△BDE中,∠BED=2π3由正弦定理可得DEsinB=BDsin∠BED,即DE=在△CDF中,∠CFD=α,由正弦定理可得DFsinC=CDsin∠CFD,即DF=所以S=38×1sin2π3-αsinα×sinπ3因为sin2π3-αsinα==32sinαcosα+12sin2α=34