1.1.1空间向量及其线性运算（教学课件）高二数学考试满分全备考（人教A版2019选修一）

人教A版2019高二数学（选修一）第一章空间向量与立体几何空间向量及其线性运算目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂小结分层练习错因分析学习目标1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的加法、减法、数乘等线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)情景导入

这是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力.显然这些力不在同一个平面内.这就是我们今天要学习的空间向量.1、定义：平面内既有大小又有方向的量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。相等向量：长度相等且方向相同的向量ABCD2、表示法：复习回顾向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba－ba＋ba(k>0)ka(k<0)k向量的数乘a首尾相接,首尾连共起点,对角线共起点,连终点,指向被减向量加法交换律：加法结合律：数乘分配律：复习回顾（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。复习回顾

已知F1=10N,F2=15N，F3=15N，这三个力两两之间的夹角都为90度，它们的合力的大小为多少N？F3F1F2这需要进一步来认识空间中的向量起点终点

定义：既有大小又有方向的量。表示几何表示法：有向线段符号表示法：长度（模）

平面向量是什么？如何表示平面向量？你能类比平面向量和表示给出空间向量的概念和空间向量的表示吗？向量的大小，记作1.空间向量的有关概念新知探究平面向量空间向量零向量：单位向量：相反向量：相等向量：共线向量：长度为0的向量，记作:模为1的向量

概念归纳平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则吗？思考

空间两条直线可能存在怎样位置关系？ababOAB任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两向量(多选题)下列说法正确的是(

)A.若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量B.零向量没有方向C.若a是单位向量,则|a|=1D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则一定有m=p解析

单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必有|a|=1,即选项C正确;由向量相等的定义,知m与p方向相同,模相等,故一定有m=p,选项D正确.答案

CD练一练

(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.(2)空间向量加法交换律a＋b＝______空间向量加法结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)b＋a2.空间向量的加减运算及运算律新知探究(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：①|λa|＝____.②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向

；当λ＝0时，λa＝0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律①λ(μa)＝______；

②λ(a＋b)＝________；③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).相反|λ||a|(λμ)aλa＋λbλ1a＋λ2a空间向量的数乘运算概念归纳平面向量运算律空间向量交换律：结合律分配律

由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.概念归纳O●ABC推广：O●ABCABCDA1B1C1D1GM探究：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量.(如图)探究：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量.(如图)

始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量ABCDA1B1C1D1如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.练一练问题1

平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？提示对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量.3.共线向量新知探究1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使

.2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知

＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的

，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示.a＝λb方向向量归纳总结

平行(共线)向量平行或重合a＝λb方向向量归纳总结注意点：(1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定.(2)向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上.典例剖析解方法一

∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，典例剖析方法二∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，典例剖析1.满足下列条件,能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是(

)答案

CC练一练2.对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是(

)A.共面向量 B.共线向量C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量解析

因为2a-b=2·a+(-1)·b,所以2a-b与a,b共面.3.判断(1)若a与b共线,b与c共线,则a与c共线.(

)(2)若向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.(

)(3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.(

)A×××练一练向量共线的判定及应用(1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.(2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，归纳总结问题2

空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？

不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面.4.共面向量新知探究1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段

所在的直线OA_______

或

，那么称向量a平行于平面α.2.共面向量平行于平面α定义平行于同一个

的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在_____的有序实数对(x，y)使

__________在平面α内平面唯一p＝xa＋yb归纳总结问题3对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb提示向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.唯一p＝xa＋yb归纳总结OABCDEFGH思路探究：欲证四点共面，只需证明共面.而由已知

共面，可以利用向量运算由共面的表达式推得

共面的表达式.

例：如图，已知平行四边形，过平面外一点，作射线

，在四条射线上分别取点,使

.

求证：四点共面.

考点：空间中四点共面的判定.课本例题OABCDEFGH是平行四边形由向量共面的充要条件可知，共面,又过同一点,从而四点共面.证明：.例2.(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（）BC典例剖析解决向量共面的策略归纳总结选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系,是用向量解决立体几何问题的常用方法.若向量a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则(

)A．m，n，p共线 B．m与p共线C．n与p共线 D．m，n，p共面【答案】D练一练1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析

两个向量相等是指两个向量的模相等并且方向相同,因此“两个非零向量的模相等”是“两个向量相等”的必要不充分条件.答案

B随堂练2.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,与向量

相等的向量共有(

)A.1个 B.2个

C.3个 D.4个答案

C随堂练答案

B随堂练4.如图所示,已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且PM∶MC=2∶1,N为PD中点,求满足随堂练随堂练1.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例.解：答案不唯一.例如三棱锥V-ABC中，向量VA、向量VB、向量VC表示三个不同在一个平面内的向量.2.如图，E，F分别是长方体ABCD-A'B'C'D'的棱AB，CD的中点.化简下列表达式，并在图中标出化简结果：

课本练习

课本练习课本练习

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