《数学》复习人教A（新高考）-第3节　全称量词与存在量词-教师复习验收卷

《数学》复习人教A（新高考）-第3节全称量词与存在量词-教师复习验收卷《数学》复习人教A（新高考）-第3节全称量词与存在量词-教师复习验收卷/《数学》复习人教A（新高考）-第3节全称量词与存在量词-教师复习验收卷第3节全称量词与存在量词知识梳理1.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语"所有的”、"任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号"∀”表示.(2)存在量词：短语"存在一个”、"至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号"∃”表示.2.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x,有p(x)成立存在M中的一个x0,使p(x0)成立简记∀x∈M,p(x)∃x0∈M,p(x0)否定∃x0∈M,綈p(x0)∀x∈M,綈p(x)1.含有一个量词的命题的否定规律是"改量词,否结论”.2.对省略了全称量词的命题否定时,要对原命题先加上全称量词再对其否定.3.命题p和綈p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难时,可判断此命题的否定的真假.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打"√”或"×”)(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题.()(2)"全等三角形的面积相等”是特称命题.()(3)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词.()(4)"长方形的对角线相等”是特称命题.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2.命题："∃x0∈R,xeq\o\al(2,0)－ax0＋1<0”的否定为________.答案∀x∈R,x2－ax＋1≥03.命题"对于函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(a∈R),存在a∈R,使得f(x)是偶函数”为________命题(填"真”或"假”).答案真解析当a＝0时,f(x)＝x2(x≠0)为偶函数.4.(多选题)(2021·济南调研)下列命题的否定中,是全称命题且为真命题的有()A.∃x0∈R,xeq\o\al(2,0)－x0＋eq\f(1,4)＜0B.所有的正方形都是矩形C.∃x0∈R,xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2＝0D.至少有一个实数x,使x3＋1＝0答案AC解析由条件可知：原命题应为特称命题且为假命题,所以排除BD;又因为x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)≥0,x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0,所以AC均为特称命题且为假命题,故选AC.5.(2020·合肥调研)能说明命题"∀x∈R且x≠0,x＋eq\f(1,x)≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可).答案－1(任意负数)解析当x>0时,x＋eq\f(1,x)≥2,当且仅当x＝1时取等号,当x<0时,x＋eq\f(1,x)≤－2,当且仅当x＝－1时取等号,∴x的取值为负数即可,例如x＝－1.6.若命题"∃t0∈R,teq\o\al(2,0)－2t0－a＜0”是假命题,则实数a的取值范围是________.答案(－∞,－1]解析命题"∃t0∈R,teq\o\al(2,0)－2t0－a＜0”是假命题,等价于∀t∈R,t2－2t－a≥0是真命题,∴Δ＝4＋4a≤0,解得a≤－1.∴实数a的取值范围是(－∞,－1].考点一含有一个量词的命题的否定1.已知命题p："∃x0∈R,ex0－x0－1≤0”,则綈p为()A.∃x0∈R,ex0－x0－1≥0B.∃x0∈R,ex0－x0－1＞0C.∀x∈R,ex－x－1＞0D.∀x∈R,ex－x－1≥0答案C解析根据全称命题与特称命题的否定关系,可得綈p为"∀x∈R,ex－x－1＞0”,故选C.2.(2021·青岛模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形,则綈p为()A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形答案C解析"所有”改为"存在”(或"有的”),"都是”改为"不都是”(或"不是”),即綈p为有的正方形不是平行四边形.3.(2021·山东重点高中联考)已知集合A是奇函数集,B是偶函数集.若命题p：∀f(x)∈A,|f(x)|∈B,则綈p为()A.∀f(x)∈A,|f(x)|∉B B.∀f(x)∉A,|f(x)|∉BC.∃f(x)∈A,|f(x)|∉B D.∃f(x)∉A,|f(x)|∉B答案C解析全称命题的否定为特称命题：改写量词,否定结论.∴綈p：∃f(x)∈A,|f(x)|∉B.4.若命题p的否定是"对所有正数x,eq\r(x)＞x＋1”,则命题p是________________.答案∃x0∈(0,＋∞),eq\r(x0)≤x0＋1感悟升华否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论.考点二全称命题、特称命题的真假判断【例1】(1)(多选题)(2021·德州模拟)下列四个命题中为真命题的是()A.∃x0∈(0,＋∞),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x0)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x0)B.∃x0∈(0,1),logeq\s\do9(\f(1,2))x0＞logeq\s\do9(\f(1,3))x0C.∀x∈(0,＋∞),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＞logeq\s\do9(\f(1,2))xD.∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,3))),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜logeq\s\do9(\f(1,3))x(2)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A.锐角三角形有一个内角是钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使eq\f(1,x)＞2答案(1)BD(2)B解析(1)对于A,当x∈(0,＋∞)时,总有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)成立,故A是假命题;对于B,当x＝eq\f(1,2)时,有1＝logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(1,2)＝logeq\s\do9(\f(1,3))eq\f(1,3)＞logeq\s\do9(\f(1,3))eq\f(1,2)成立,故B是真命题;对于C,当0＜x＜eq\f(1,2)时,logeq\s\do9(\f(1,2))x＞1＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x),故C是假命题;对于D,∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,3))),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜1＜logeq\s\do9(\f(1,3))x,故D是真命题.(2)A中锐角三角形的内角都是锐角,所以A是假命题;B中当x＝0时,x2＝0,满足x2≤0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为eq\r(2)＋(－eq\r(2))＝0不是无理数,所以C是假命题;D中对于任意一个负数x,都有eq\f(1,x)＜0,不满足eq\f(1,x)＞2,所以D是假命题.感悟升华判定全称命题"∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x＝x0,使p(x0)成立即可.【训练1】(1)(多选题)下列命题中是真命题的有()A.∀x∈R,2x－1＞0B.∀x∈N*,(x－1)2＞0C.∃x0∈R,lgx0＜1D.∃x0∈R,tanx0＝2(2)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是()A.∀x∈R,f(－x)≠f(x)B.∀x∈R,f(－x)≠－f(x)C.∃x0∈R,f(－x0)≠f(x0)D.∃x0∈R,f(－x0)≠－f(x0)答案(1)ACD(2)C解析(1)当x＝1时,(x－1)2＝0,故B为假命题,其余都是真命题,故选ACD.(2)∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数,∴∀x∈R,f(－x)＝f(x)为假命题,∴∃x0∈R,f(－x0)≠f(x0)为真命题.考点三由命题的真假求参数的取值范围【例2】(1)已知命题p：∀x∈R,x2－a≥0;命题q：∃x∈R,x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p,q都是真命题,则实数a的取值范围为________.(2)已知f(x)＝ln(x2＋1),g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是________________.答案(1)(－∞,－2](2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),＋∞))解析(1)由命题p为真,得a≤0,由命题q为真,得Δ＝4a2－4(2－a)≥0,即a≤－2或a≥1,所以a≤－2.(2)当x∈[0,3]时,f(x)min＝f(0)＝0,当x∈[1,2]时,g(x)min＝g(2)＝eq\f(1,4)－m,由f(x)min≥g(x)min,得0≥eq\f(1,4)－m,所以m≥eq\f(1,4).感悟升华(1)已知命题的真假,可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围.(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决.【训练2】(1)若"∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4),\f(π,3))),m≤tanx＋2”为真命题,则实数m的最大值为________.(2)(2020·潍坊调研)若f(x)＝x2－2x,g(x)＝ax＋2(a＞0),∀x1∈[－1,2],∃x0∈[－1,2],使g(x1)＝f(x0),则实数a的取值范围是________.答案(1)1(2)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))解析(1)由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4),\f(π,3))),得1≤tanx＋2≤2＋eq\r(3).∵"∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4),\f(π,3))),m≤tanx＋2”为真命题,则m≤1.∴实数m的最大值为1.(2)由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的,且必存在x0∈[－1,2],使得g(x1)＝f(x0),因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集.函数f(x)的值域是[－1,3],因为a＞0,所以函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a],则有2－a≥－1且2＋2a≤3,即a≤eq\f(1,2).故a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2))).A级基础巩固一、选择题1.命题p："∀x>1,x2－1>0”,则綈p为()A.∀x>1,x2－1≤0 B.∀x≤1,x2－1≤0C.∃x0>1,xeq\o\al(2,0)－1≤0 D.∃x0≤1,xeq\o\al(2,0)－1≤0答案C解析命题p："∀x>1,x2－1>0”,则綈p为：∃x0>1,xeq\o\al(2,0)－1≤0.2.(多选题)(2020·重庆质检)下列命题中是真命题的有()A.∃x0∈R,log2x0＝0 B.∃x0∈R,cosx0＝1C.∀x∈R,x2＞0 D.∀x∈R,2x＞0答案ABD解析因为log21＝0,cos0＝1,所以选项A,B均为真命题;02＝0,选项C为假命题;2x＞0,选项D为真命题.3.下列命题是真命题的为()A.所有的素数都是奇数B.∀x∈R,x2＋1≥0C.对于每一个无理数x,x2是有理数D.∀x∈Z,eq\f(1,x)∉Z答案B解析对于A,2是素数,但2不是奇数,A假;对于B,∀x∈R,总有x2≥0,则x2＋1≥0恒成立,B真;对于C,eq\r(π)是无理数,(eq\r(π))2＝π还是无理数,C假;对于D,1∈Z,但eq\f(1,1)＝1∈Z,D假,故选B.4.已知命题p：∀x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0,则綈p是()A.∃x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B.∀x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C.∃x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0D.∀x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0答案C解析已知全称命题p：∀x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0,则綈p：∃x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0,故选C.5.(多选题)(2021·烟台调研)下列四个命题中是真命题的有()A.任意x∈R,3x>0B.存在x∈R,x2＋x＋1≤0C.任意x∈R,sinx<2xD.存在x∈R,cosx>x2＋x＋1答案AD解析∀x∈R,3x>0恒成立,A是真命题.又x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0,∴B是假命题.由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)π))＝1>2－eq\f(3,2)π,知C是假命题.取x＝－eq\f(1,2)时,coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))>coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2),但x2＋x＋1＝eq\f(3,4)<eq\f(\r(3),2),则D为真.6.已知命题"∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≤0”是假命题,则实数a的取值范围为()A.(－∞,0) B.[0,4]C.[4,＋∞) D.(0,4)答案D解析因为命题"∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≤0”是假命题,所以其否定为"∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)>0”是真命题.则Δ＝(a－2)2－4×4×eq\f(1,4)＝a2－4a<0,解得0<a<4.7.已知函数f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2)),则()A.∃x0∈R,f(x0)＜0B.∀x∈(0,＋∞),f(x)≥0C.∃x1,x2∈[0,＋∞),eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)＜0D.∀x1∈[0,＋∞),∃x2∈[0,＋∞),f(x1)＞f(x2)答案B解析幂函数f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))的值域为[0,＋∞),且在定义域上单调递增,故A错误,B正确,C错误;D选项中当x1＝0,结论不成立.8.(2020·江南十校联考)已知f(x)＝sinx－tanx,命题p：∃x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),f(x0)<0,则()A.p是假命题,綈p：∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),f(x)≥0B.p是假命题,綈p：∃x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),f(x0)≥0C.p是真命题,綈p：∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),f(x)≥0D.p是真命题,綈p：∃x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),f(x0)≥0答案C解析当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(π,2)))时,sinx<1,tanx>1.此时sinx－tanx<0,故命题p为真命题.由于命题p为特称命题,所以命题p的否定为全称命题,则綈p为：∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),f(x)≥0.二、填空题9.命题"∀x∈R,x2＋x＋1＞0”的否定是________.答案∃x0∈R,xeq\o\al(2,0)＋x0＋1≤010.下列命题中的假命题是________(填序号).①∃x0∈R,lgx0＝1;②∃x0∈R,sinx0＝0;③∀x∈R,x3＞0;④∀x1＞x2,2x1＞2x2.答案③解析当x＝10时,lg10＝1,则①为真命题;当x＝0时,sin0＝0,则②为真命题;当x＜0时,x3＜0,则③为假命题;由指数函数的性质知,∀x1＞x2,2x1＞2x2,则④为真命题.11.若"∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4))),tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.答案1解析∵函数y＝tanx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4)))上是增函数,∴ymax＝taneq\f(π,4)＝1,依题意,m≥ymax,即m≥1.∴m的最小值为1.12.能说明"若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.答案f(x)＝sinx,x∈[0,2](答案不唯一,再如f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0,x＝0,,\f(1,x),0<x≤2)))解析根据函数单调性的概念,只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在定义域内有唯一的最小值点,且f(x)min＝f(0).B级能力提升13.命题"∃n0∈N*,f(n0)∈N*,且f(n0)≤n0”的否定形式是()A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>nB.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>nC.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0答案B解析因为特称命题的否定是全称命题,所以命题"∃n0∈N*,f(n0)∈N*且f(n0)≤n0”的否定形式是"∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n”.14.(多选题)(2021·青岛质检)下列说法正确的是()A."x＝eq\f(π,4)”是"tanx＝1”的充分不必要条件B.定义在[a,b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最大值为30C.命题"∃x0∈R,x0＋eq\f(1,x0)≥2”的否定是"∀x∈R,x＋eq\f(1,x)＞2”D."所有的分数都是有理数”的否定是"有的分数不是有理数”答案ABD解析由x＝eq\f(π,4),得tanx＝1,但由tanx＝1不一定推出x＝eq\f(π,4),可知"x＝eq\f(π,4)”是"tanx＝1”的充分不必要条件,所以A正确;若定义在[a,b]上的函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b是偶函数,则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋5＝0,,a＋b＝0,))解得eq\b\lc\{(\a\v