专题10 二元一次方程组特殊解的三种考法（解析版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

专题10二元一次方程组特殊解的三种考法类型一、整数解的问题例1.已知二元一次方程组有正整数解，则正整数m的值为（）A．4或5 B．5或6 C．4或8 D．6或8【答案】C【分析】先解关于x的方程组，再讨论解为正整数时m的值．【详解】解：，解方程组得：，∵方程组有正整数解，∴当正整数时不符合题意，当正整数时，，符合题意；当正整数时，，符合题意；∴只有或8时，符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法，以及二元一次方程组解与系数的关系．【变式训练1】当整数______时，关于x，y的方程组有正整数解．【答案】【详解】解：由②得：③，把③代入①得：解得：为正整数，为整数，或或或或此时也为整数，故答案为：【变式训练2】为正整数，已知二元一次方程组有有整数解，则．【答案】或【分析】利用加减消元法易得、的解，由、均为整数可解得的值．【详解】解：解方程组，可得，方程组有整数解，或，解得或，或故答案为：或．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟悉相关解法是解题的关键．【变式训练3】若是整数，关于、的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为______．【答案】-12【详解】解：解方程组，解得，∵二元一次方程组的解是整数，∴m+3是10的因数，也是15的因数，∴m+3=5或m+3=1，∴m=2，-2，-4或-8，∴满足条件的所有的值的和为2-2-4-8=-12，故答案为：-12．【变式训练4】若关于x，y的方程组的解是正整数，则整数a的值是．【答案】2或-1【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到x和y关于a的解，根据方程组的解是正整数，得到5-a与a+4都要能被3整除，即可得到答案．【详解】，①-②得：3y=5-a，解得：y=，把y=代入①得：x+=3，解得：x=，∵方程组的解为正整数，∴5-a与a+4都要能被3整除，∴a=2或-1，故答案为2或-1．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．类型二、整体法求解例1.若x，y满足二元一次方程组，则的值为______．【答案】3【详解】解：，由①-②得：，即，∴．故答案为：3例2.已知关于x，y的方程组的解为，则关于m，n的方程组的解为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于两个方程的形式相同、常数和对应项的系数都相同，所以两个方程组的解相同．根据解相同，可得含、的二元一次方程组，求解即可．【详解】解：方程组的解为，方程组的解为．解方程组得．故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，根据两个方程组的特点，得到解间关系是解决本题的关键．另解决本题亦可先把解代入第一个方程组求出、的值，再把、的值代入第二个方程组，求解关于、的方程组后得结论．【变式训练1】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值是（）A．2 B．－2 C．1 D．－1【答案】D【解析】用①-②，得：，即又∵，∴，解得：故选：D．【变式训练2】解方程组：．【答案】．【分析】设，，把原方程组转化为二元一次方程组，求解后，再解分式方程即可．【详解】解：设，，则原方程组化为：，①②得：，解得：，把代入①得：，解得：，即，解得：，经检验是原方程组的解，所以原方程组的解是．【点睛】本题考查了换元法解方程组，解题关键是抓住方程组的特征，巧妙换元，熟练的解二元一次方程组和分式方程，注意：分式方程要检验．【变式训练3】已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，，∴，∴，故选D．类型三、看错解问题例．甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则a，b的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将方程的解代入对应方程，组成新的方程组解方程即可．【详解】解：由题意可得，，解得，故选C．【点睛】本题考查方程的解及解方程组，解题的关键是知道方程的解满足方程，错方程的解代入错方程．【变式训练1】在解关于，的方程组时，小亮解出的结果为老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的抄错了，该方程组的正确结果比大5．”则，的值分别为（

）A．4， B．4，2 C．，2 D．，【答案】A【分析】先由小亮的解求出a的值，并得到关于x，y的一个二元一次方程，再根据老师的话得到关于x，y的另一个二元一次方程，由上面两个方程联立可以得到原二元一次方程组的正确解，把此解代入含有b的二元一次方程可以得到b的值，问题即得解．【详解】解：由题意可得：-2a+10=2，∴a=4，∴4x+5y=2①，又由老师的话可得x=y+5②，②代入①可得：4y+20+5y=2，解得：y=-2，代入②得x=3，把x=3，y=-2代入bx-7y=8可得：3b+14=8，解得：b=-2，∴，的值分别为4、-2，故选A．【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，熟练掌握二元一次方程的有关概念及二元一次方程组的解法是解题关键．【变式训练2】甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值．【答案】0【分析】将代入方程组的第二个方程，将代入方程组的第一个方程，联立求出a与b的值，即可求出所求式子的值．【详解】解：把代入，得，∴，把代入，得，，∴，∵．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．求出a、b值是解题的关键．课后训练1．方程组的解为，则方程组的解为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对方程组变形，然后根据二元一次方程组解的定义，利用整体思想求解．【详解】解：方程组整理为：，∵方程组的解为，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题的关键是学会利用整体的思想解决问题．2．在解关于x，y的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，把代入方程，求出的值，再把的值代入，进行计算，即可得出结果．【详解】解：∵小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，∴方程的解为，∴把代入方程，可得：，由，可得：，把代入，可得：，∴方程的解为：，∴把代入，可得：，由代入，可得，把代入，可得：，∴方程的解为．故选：C【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，解本题的关键在理解题意，正确求出的值．3．若二元一次方程组的解x，y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为（

）A．4 B．1.5或2 C．2 D．4或2【答案】C【分析】解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7得关于m的方程求得m，并结合构成三角形的条件判断即可．【详解】①-②得：y=3-m把y=3-m代入②，得x=3m-3故方程组的解为①若x为腰，y为底，则2x+y=7，即2(3m-3)+3-m=7，解得：m=2，此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件②若y为腰，x为底，则2y+x=7，即2(3-m)+3m-3=7，解得：m=4，此时x=9，y=-1，不合题意；③若x=y，即3m-3=3-m，解得：，此时腰为，底为，但+<4，不符合构成三角形的条件，故不合题意，所以满足条件的m为2．故选C．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，三条线段构成三角形的条件，涉及分类讨论思想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要验证是否符合构成三角形的条件．4．若方程组有正整数解，则整数的值为．【答案】，，0【分析】先求得方程组的解（用a表示），再根据解的情况求解即可．【详解】解：，由②得：，将③代入①中，得，解得，将代入③中，得，即，解方程组得，∵方程组有正整数解，且a为整数，∴为正整数，且是4的因数，∴整数的值为，，0，故答案为：，，0．【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法步骤，能正确得到关于a的表达式是解答的关键．5．关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，试确定整数a的值为.【答案】7或5【详解】分析：首先用含a的代数式分别表示x，y，再根据条件二元一次方程组的解为正整数，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据a为整数确定a的值．详解：①-②×3，得2x=23-3a解得x=把x=代入②得y=∵关于x，y的二元一次方程组的解是正整数∴＞0，＞0解得即a=5、6、7∵x、y为正整数∴a为5或7.故答案为5或7.点睛：本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出关于a的方程．6．解答题：解方程组时，由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：①②得，所以③，③①得，解得，从而，所以原方程组的解是．请你运用上述方法解方程组：．【答案】【分析】仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解．【详解】解：，得：，∴③，③①得：，解得：，将