立体几何平行归类2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第二册）（解析版）

专题10立体几何平行归类

目录

【题型一】线线平行：中位线法..................................................................2

【题型二】线线平行：平行四边形法..............................................................4

【题型三】“等分线法”证明线面平行............................................................5

【题型四】平行四边形法证线面平行..............................................................7

【题型五】无交线证明平行......................................................................10

【题型六】存在型：线面平行....................................................................12

【题型七】存在型：面面平行....................................................................14

【题型八】翻折中的平行........................................................................15

【题型九】平行应用：异面直线所成的角..........................................................17

培优第一阶一一基础过关练.......................................................................20

培优第二阶一一能力提升练.......................................................................22

培优第三阶一一培优拔尖练.......................................................................25

结束............................................................................错误!未定义书签。

综述:

一、平行关系的判定及性质定理:

（1）线〃面的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

平面外的一条直线与壬面内的一条直线平行，则该直线与m

判定定IQa

此平面平行.（简记为“线线平行今线面

理

平行”）：.l//a

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此：

性质定'l//a.IU&aC8=b

平面的交线与该直线平行.（简记为“线面平行台线线

理

平行”）：.l//b

（2）面〃面的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平

判定定•：a//B，aCb=P,aUa,

面平行.（简记为“线面平行n面面平/

理bUa：.a//fi

行”）口

两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行

•・•：〃£,

性质定aC\y=at6d

（简记为“面面平行0线线平

理

行”）尊：.a//b

注意：面面平行性质公理：两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面平行，（简记为“面面平行=线面平行”）

二、平行构造的常用方法:

①三角形中位线法;

②平行四边形线法；

③比例线段法.

注意：平行构造主要用于：①异面直线求夹角；②平行关系的判定.

三、异面直线平行线法

求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解

决，具体步骤如下：

(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：山异面直线所成的角的取值范围是,当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面

直线所成的角.

热点题型归纳

【题型一】线线平行：中位线法

【典例分析】

C'C'

如图，空间四边形ABC。，E、H分别是AB、8的中点，F、G分别是BC、CO上的点，且芸=/，求

CoCD

证：直线与直线FG平行.

【答案】证明见详解

【分析】根据三角形中位线、平行线等分性质结合平行线的传递性分析证明,

【详解】•:E、，分别是A8、C。的中点，贝IJEaBD,

又,：F、G分别是8C、CO上的点，且工=二，则FGBD，

CBCD

・•・EHFG,

故直线£77与直线FG平行.

【变式训练】

1.如图1所示，在梯形A3CO中，AB//CD,E,尸分别为8C,的中点，将平面CD/石沿£尸翻折起来，

使到达的位置(如图2),G,”分别为47,BC'的中点，求证:四边形EFGAEFG”为平行四边

形.

【解析】通过证明E/7/GH,iLEF=GF,即可证明.

【详解】在题图1中，：四边形ABC。为梯形，AB//CD,

E,尸分别为8G的中点，

二EF//AB且EF=g(AB+C。).

在题图2中，易知Ciyi/EFIIAB.

,/G,，分别为AD',8c的中点，

GH//AB且GH=g(AB+C7T)=；(AB+C£>),

GH//EF,GH=EF,

.••四边形EFGH为平行四边形.即证.

2.如图，P是AABC所在平面外一点，D、E分别是AWB和APBC的重心.求证：。〃/AC,DE^AC.

【答案】证明见解析

【分析】连接尸O,PE并延长分别交AB,3c于M,N,根据重心的性质得M,N分别是AB,BC的

19

中点，故MN=5AC,DE=-MN,进而可得结论成立.

【详解】如图，连接PD、PE并延长分别交A3、3c于M、N.

因为O，E分别是-243,PBC的重心，所以M,N分别是A8,8c的中点,

1pF9

连接MN,则MN//AC且加"=大人。①，在二PMN中h=r=7,

2PMPN3

2211

所以OE〃MN且=②，由①②及平行线的传递性得：小〃AC且。E=§X]AC=§AC.

【题型二】线线平行：平行四边形法

【典例分析】

如图，在正方体A8C。-A4GA中，M,分别是棱和AR的中点.

(1)求证：四边形为平行四边形；

(2)求证：NBMC=NBMG.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(D根据正方体的性质和平面几何知识可得证；

(2)根据空间两个角相等定理或三角形全等可得证.

【详解】解：(1)：A8CO-A4G。为正方体.且AD//AR,

又M,知I分别为棱A。，的中点，，AM=AM且AM//AM，

四边形为平行四边形，MMy=A4t

又A4,=BB、且AAJ/BB,,：.MM,=BBt且MMJ/BB、,

...四边形8片为平行四边形.

(2)法一：由⑴知四边形为平行四边形，二4必〃8M.

同理可得四边形CGM|M为平行四边形，.••CM〃CM.•；/BMC和NBMG方向相同,

ZBMC=NBMG.

法二：由(1)知四边形8q为平行四边形，

同理可得四边形CG"i"为平行四边形，CM=CM.

又：BC=BC,△BCM也△BCM],NBCM=NB£M.

【变式训练】

1.如图，面ABEF_L面A8CQ,四边形A3EF与四边形A8C£＞都是直角梯形，/&4。=/次8=90。，BC'1-AD,

2

B咳;AF,G、〃分别是胸、尸。的中点.

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形;

（2）C、D、E、F四点是否共面？为什么？

【答案】（1）证明见解析；（2）C,D,F,E四点共面；答案见解析.

【分析】（1）山题意知，FG=GA,FH=HD,所以又8C_』A。，故

-2-2-

所以四边形BCHG是平行四边形.

（2）由砂〃8G,结合（1）知2G〃CH,所以EF〃CH,从而共面.

【详解】证明：（1）由题意知，FG=GA,FH=HD,

所以又8C_!>4。，故GH_BC所以四边形8CHG是平行四边形.

（2）C,D,F,E四点共面.理由如下：

|1JBE^AF,G是用的中点知，BERGA,即有826凡所以四边形BEFG是平行四边形,

所以EF〃8G山（1）知BG//CH,所以E尸〃C”，故EC,共面.

又点。在直线FH上所以C,D,F,E四点共面.

2.在如图所示的正方体ABC。-A/B/C/。中，E,F,Et,B分别是棱AB,AD,B/Ci,C/£b的中点,

求证：Q）EF[EFi；

（2）ZEAJF=ZEICFI.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【详解】试题分析：（1）连接BD,BR,由三角形中位线定理可得E尸〃!BO,6F=BR,根据正方体

的性质可得8。24马，故而可得结论；（2）取人用的中点M,连接首先证明四边形是

平行四边形，得到MB//*，再证四边形EBM4,是平行四边形及平行的传递性，得到AE〃CK，同理得

A尸//EQ，结合角两边的方向相反，进而可得结论成立.

试题解析：（1）连接3D,B,D,,在,,/即中，因为E,尸分别为A8,A£>的中点，

所以EFaBD，同理石£=|B,£>,,在正方体4BCD-AACQ中，因为例维肛,例”4,所以用BRDR,

所以四边形8D£>隹是平行四边形，所以所以EF&E书.

（2）取A用的中点M,连接因为〃耳幺8°,B\C、yC,所以“耳幺8。，

所以四边形5CFJM是平行四边形，所以MB//CR,因为AM&EB,所以四边形EBK4,是平行四边形，所

以AE//MB,所以AE//CK，同理可证：A,F//EtC,又NEA尸与/斗76两边的方向均相反，所以

NE&F=NECK.

【题型三】“等分线法”证明线面平行

【典例分析】

如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB1BC,AB=BC^4,M=6,M为耳G的中点.

⑴证明：AG〃平面A8M

(2)过AM,C三点的一个平面，截三棱柱ABC-得到一个截面，画出截面图，说明理由并求截面面积.

【答案】(1)证明见解析(2)截面图见解析，截面面积为6M

【分析】(1)设入用cA5=N,根据三角形中位线性质可得MM/AC,由线面平行的判定定理可证得结论；

(2)由三.角形中位线性质和平行关系的传递性可得P”〃AC,由此可确定截面即为四边形APA/C,知其为

等腰梯形，根据长度关系计算即可得到截面面积.

【详解】(1)连接A与，设AB|CAB=N,连接MN.

〃是的中点，N是AB】的中点，；.MN//AG，

QAG①平面ABM,MNu平面ASM,••.4G〃平面48M.

(2)作图过程：取A片中点P，连接则四边形APMC即为截面图形.

证明如下：仍是8c的中点，尸是A蜴的中点，，PM〃AG；.AG〃AC,.•.PM//AC,.•.4忙/。四点

共面，

四边形APMC即为所求截面，此时四边形APMC为等腰梯形；

力尸=用。=)62+22=2加，尸知=；，4?+42=2&,AC=4日

••・四边形A/WC的高〃=JAP?-；(AC-PM)=j40-2=屈,

四边形APMC的面积为白卜亚+20卜屈=6炳.

【变式训练】

如图，四棱台48CO-A4GR的上底面和下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱CC,上的一点E满足

(1)证明：AB〃平面AQE；

Q)若DD\=CGRE=殍,且C1在平面ABC。的正投影落在线段CZ)上，求四棱台的体积.

【答案】(1)证明见解析:(2)T

【分析】(1)延长RE,DC,交于点M，连接M4交3c于N点，连接RN,通过证明四边形A8N0是

平行四边形得AB//RN,从而得A8〃平面ARE；

焉‘在中’由余

(2)作于尸，为棱台的高，设NCCF=a,(0<a<]J,E£=

弦定理得解得sina=美，从而得GF,代入棱台体积公式即可.

【详解】

证明:延长RE,DC,交于点M,连接交8C于N点，连接RN,由告=2,得野=葭•.要=2，

匕5CE2CM2

:・CM=4=AB,BN=CN,:.N是BC中点、,此时，A.DJ/B^f/BN^D,=BxCy=BN,

，四边形A8NQ是平行四边形，:.AB//D\N,・.・RNu平面ARE,4田2平面ARE,二直线4台//平面

C作GF，C。于P，因为C1在平面ABCD的正投影落在线段CO上，所

以C/J.面ABCO,所以Cp为棱台的高，设NCC/=a,(0<a<1),山。R=CG得b=l，CQ=

sine

EC,=―I—

3sina

在4RG£中，由余弦定理得*2=£0；+2_2CQCE・cosa+—

CEI2

5311

g|J_=4+—二一+2x2・•sina,解得sina==，所以C0=石,0尸=2,

99sin2a3sina

所以四棱台的体积丫="/依4+82+a018]=1(4+16+8)=4，故四棱台的体积为青

【题型四】平行四边形法证线面平行

【典例分析】

如图所示,三棱柱ABC-,底面是边长为2的正三角形，侧棱至，底面ABC,点E,F分别是棱CC,,BB、

上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2.

/C；\

/、______

⑴当点M在何位置时，3//平面4所？

⑵若//平面AEF,求BM与E尸所成的角的余弦值.

【答案】（1）点M为AC的中点（2）近

【分析】（1）分别取AE,AC的中点为,连接。可推得四边形0W8尸为平行四边形，BM//OF.进

而根据线面平行的判定定理，得出线面平行；

（2）由（1）知，。户与瓦1所成的角NO正（或其补角），即等于BM与“'所成的角.然后构造直角三角形，

可推得OE=应，AF=&，EF=45,进而得出FO_LAE,在RtAEOF中，即可得出答案.

【详解】（1）

如图1所示,分别取AE,AC的中点为O,M,连接OfQM.因为。,M分别是AE,AC的中点，所以OM〃EC,

且OM=；EC.又因为叫//⑨，所以FB//EC,所以FB//OM.又EC=2FB=2,所以FB=QW.

所以四边形OMBF为平行四边形，所以BM//OF.

因为OFu平面AEF,平面AEF,所以8M//平面AEF.

所以，当点M为AC的中点时，有BM//平面AEF.

（2）山（1）知，点加为AC的中点，月.BM与EF异面.因为〃。凡

所以OF与昉所成的角NOFE（或其补角），即等于与E尸所成的角.

由已知可得，AE=yjAC2+CE2=272-AF=yjAB2+BF2=^>所以。£=也.

如图2,取CE中点为G,连接FG,易知3F=CG=1,则尸GLCG,FG=CB=2,

所以EG=1,EF£EG+FG=石，所以庄=E4.因为O是AE的中点，所以尸OLAE,

所以，OF=yjEF2-OE2=73.所以，在Rt^EOF中，有cosNOFE="=q叵,

EFV55

所以BM与EF所成的角的余弦值为巫.

5

【变式训练】

1.如图所示，在四棱锥P-A8CO中，8C〃平面以D,BC=^AD,E是尸。的中点.

⑴求证：BC//AD-,

⑵求证：CE〃平面布8.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；

（2）取出的中点F,连接EF,BF,利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即

可证明.

【详解】（1）在四棱锥P-ABCO中，8C〃平面以O,BCcTffiABCD,

平面ABC。。平面《4。=皿J.BC//AD.

（2）取外的中点尸，连接E兄8尸，是PD的中点，

J.EF//AD,EF^-AD,

2

又由（1）BTWBC//AD,n.BC=-AD,：.BC//EF,BC=EF,

2

二四边形8CEF是平行四边形，...EC〃FB,

TECG平面以8,五Bu平面以8,

.♦.EC〃平面PAB.

2.如图，。1,0分别是圆台上、下底的圆心，A8为圆。的直径，以03为直径在底面内作圆E,C为圆。的

直径A8所对弧的中点，连接8c交圆E于点8片,CG为圆台的母线，AB=2AIBI=8.

C

（1）证明：CQ〃平面。BBQ］；

⑵若OO,=屈,求C到平面AC.D的距离.

【答案】（1）证明见解析（2）卡

【分析】（1）圆台上下底面平行，利用面面平行的性质定理先说明四边形为平行四边形，然后根据

线面平行的判定来证明；

（2）由等体积法：^C-ACtD=%-ACD进行求解即可.

【详解】（1）因为平面CQB,〃平面COB,平面CQ由n平面CBB£=CtBt,平面COB。平面CBB©=CB.

所以C再〃CB,即GBJ/O8.又C为圆0的直径48所对弧的中点，所以OC_L48,0。，.

又AB=2A4=8,所以O8=2O£=4,所以。5=2（:4=4后.

因为。为圆E上的点，所以ODLCB,又OC=OB,所以/）为C8的中点，即C8=2O8,

所以QB=cg,故四边形。84c为平行四边形，所以CQ〃B⑸.

又G。＜2平面。阴。,BB、u平面0网0一所以G。〃平面OBBR

过C1作GF_LOC,垂足为F,则尸为0C的中点，且

GFLAF，GFLDF，GF=OOi=娓.因为4尸==05，所以4cl=〃尸+。尸=底,

DF=g()B=2,所以CQ=《CF+DF2二回.又AD^A^+CD。=标,

所以c°s"3海26+4薪0-10=赤7，所I以4s9in/4GAD=卜花二衣,

所以S&cQ='AC「AC-sinNGAO=1x痴x闻*2=8.设C到平面ACQ的距离为力,

L，765

因为Vf-Aqo=,J'/fy—x8/z=—X—X4V2X2V2Xy/6.所以0=

【题型五】无交线证明平行

【典例分析】

如图，P为圆锥的顶点，。为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径A3=4,母线PH=2a,"是P5的中点,

四边形08cH为正方形.设平面「O”c平面P8C=/,证明：1//BC-,

【答案】证明见解析.

【分析】利用线面平行的判定定理可得BC〃平面POH,再利用线面平行的性质定理即得.

【详解】因为四边形08cH为正方形，二8C〃O〃，

•.•BCa平面尸OH,OHu平面尸OH,8C〃平面PO”，

■:BCu平面PBC,平面POHn平面尸BC=1,：.U/BC.

【变式训练】

1.如图，在三棱锥P-ABC中，ABC是正三角形，%_1平面4%,。,民尸分别为尸4尸8,PC上的点，且

（1）设平面OEFc平面ABC=/,证明：/平面PBC；

（2）求五面体DEF-ABC的体积.

【答案】（1）见解析；⑵25后

【分析】（1）首先证明即〃8C,则有所〃平面ABC,再根据线而平行的性质定理得到E1尸〃/,则得到线面

平行；

（2）根据相似得5四="5咖，则%-诋=5%-械，则匕5c=276

【详解】⑴因为PE,=言PF，所以所〃8C,

因为BCu平面ABC,£F仁平面ABC,

所以EF〃平面ABC,

又平面。瓦"c平面ABC=/,EFu平面DEF,所以EF//1,

又EFu平面PBC」a平面PBC,所以III平面PBC,

（2）因为舒=H=等4所以打防守改

一、222

VVV

所以yD-PEF=~A-PEF=云A-PBC=王'P-ABC

25

所以五面体DEF-ABC的体积V=匕-sc-V』.=~匕，一.

因为匕＞-"。=:*；'62、孝、9=276，所以丫=256

2.如图，四棱锥中，AD//BC,AD=：BC,点E为PC上一点,尸为尸B的中点，且AF〃平面

E

A

B

（1）若平面PAD与平面PBC的交线为/,求证：〃/平面ABC。；

⑵求证：AF//DE.

【答案】⑴证明见解析⑵证明见解析

【分析】（1）结合线面平行的判定定理和性质定理证得：〃/平面ABCD.

（2）结合线面平行的性质定理和三角形重心的知识证得：AF//DE.

【详解】（1）,/BC//AD,ADu平面R4£>,8C<z平面PAD,，5C〃平面尸AZ）.

:BCu平面PBC,平面PBCc平面PAD=/,；.BC//1.

,：8Cu平面ABC£>,/o平面ABCD,AIII平面ABCD.

（2）连接AC,FC,设ACBD=O,FCcBE=M,连接QM,

VAF/I平面BDE,AFu平面AFC,平面AFC1平面BDE=OM,AF//OM,

iAnAn1.FMAO1

VAD//BC,AD=-BC,所以把=把」，二点M是&PBC的重心,

2OCBC2~MC~~OC~2

二点E是PC的中点，=-=—,AOMUDE,AFUDE.

MB2OB

【题型六】存在型：线面平行

【典例分析】

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC_L底面ABCZ）,底面A8CQ为平行四边形，ACA.AD.

⑴求证：PCVAD-,

（2）在棱尸。上是否存在点E,使得BP//平面ACE?若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析⑵存在，点E为棱PD的中点

【分析】（1）由线面垂直证明线线垂直即可.

（2）先假设存在.连接BC,由中位线证得线线平行，故而得到线面平行.

（1）因为平面PACJ■底面AB。，平面PAC1底面ABCD=AC,4?匚平面筋8,40,47,所以4）_L

平面PAC.

又因为尸Cu平面PAC,所以PCLAD.

（2）解：存在，点E为棱尸。的中点.连接5。，交AC于点/，连接EF,如图所示:

因为底面ABCD为平行四边形，所以点尸为8。的中点.在中，因为点改产分

EF=二BP

别为PZ）、即的中点所以3尸〃EV,且2.又因为BPU平面ACE,Efu平面ACE,所以8P〃平面

ACE

【变式训练】

如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A88为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PO交于点F.

⑴求证：PA〃平面5DE；

（2）求证：尸为PD的中点；

AN

（3）在棱48上是否存在点N,使得FN//平面8DE?若存在，求出黑的值；若不存在，说明理由.

NB

AN।

-----1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在N使得网〃平面BOE,NB，理由见解析.

【分析】（1）连接AC交50于G,连接GE,易知GE7/R4,再山线面平行的判定证结论；

（2）由CD〃A8,根据线面平行的判定有8//面ABEF,再由线面平行的性质可得CD〃£F,结合己知即

可证结论.

（3）//为AB中点，连接切，由已知易证3印花为平行四边形，则FH//BE,再由线面平行可证FH//面

BDE,即可判断存在性.

(1)连接AC交BD于G,连接GE,如下图：

山458为平行四边形，则G为AC中点，又E为棱PC的中点，

所以GE为中位线，则GE//PA,XGEiffiBDE,PA<Z面3£>E，故PA〃平面8E)£；

(2)由题设知：CD//AB,AB\面ABEF,CDU面ABEF,

所以CQ〃面4组尸，又CDu面PDC,面POC1面ABfFuEb，

所以8〃防，又E为棱PC的中点，即E尸是△PDC的中位线，故尸为PD的中点；

AN

(3)存在N使得MV〃平面5OE目.==1,理由如下：H为AB中点，连接切，

由题设由(2)知8//E尸且EF=1C。，

222

所以BH//EF且BH=EF，即37〃石为平行四边形，所以FH//BE,而BEu面BDE，FHU面BDE,

,_AN

所以切〃面BDE，故所求N点即为H点，则AB上存在点N使得FN〃平面PL—=1.

【题型七】存在型：面面平行

【典例分析】

如图，四棱锥P—A8C。中，AB//CD,AB=2CD,E为尸B的中点.

DC.

(1)求证：CE〃平面PAZX

(2)在线段A8上是否存在一点尸，使得平面皿(〃平面CEE?若存在，证明你的结论，若不存在，请说明

理由.

【答案】(1)证明见解析(2)存在，证明见解析

【分析】(1)利用构造平行四边形的方法证明线线平行，结合线面平行判定定理，从而得线面平行；

(2)点F为线段A8的中点，再利用面面平行判定定理证明，即可证明平面平面CEP.

E

(1)证明：如图所示，取出的中点H,连接EH,DH.I)'(•

因为E为总的中点，所以EH//48,EH=^AB.又ABUCD,CD=；AB,

所以EH"CD,EH=CD.因此四边形。CEH是平行四边形，所以CE//DH.

又。“u平面PA£>，CEN平面尸A£>，因此CE〃平面A4£).

P

(2)解：如图所示，取A8的中点尸，连接CF,EF,

又C£>=!AB,所以AF=CD.又AF//CD,所以四边形4FCD为平行四边形，因此CF//AD.

2

又CF<4平面尸4%所以CF〃平面PA£>.由(1)可知CE〃平面P49.

因为CE[CF=C,故平面CEF〃平面PAD.

【变式训练】

在长方体A8CO-ABCR中，AB=2BC=2AAt=2,P为A4的中点.己知过点A的平面a与平面8PG平

行，平面a与直线AB，GR分别相交于点M,N,请确定点M,N的位置；

【答案】“，"分别是棱48,6。的中点.

【分析】先证明四边形APSM为平行四边形，即得点M是棱A8的中点，同理点N是棱GR的中点.

【详解】解：依题意，如图，平面a〃平面BPG，平面a平面ABBM=邛/,平面BPGc平面A网A,=BP,

D\NCi

则AM//6尸，在长方体A5CO—A4C。中，A.P//BM,

则四边形APBM为平行四边形，

于是得=AP=gAq=gA8,即点M是棱48的中点.

同理点N是棱G。的中点，所以M,N分别是棱AB,GR的中点.

【题型八】翻折中的平行

【典例分析】

如图甲，在四边形PBCD中，PD//BC,BC=PA=AD.现将,4出沿A8折起得图乙，点M是的中

点，点N是BC的中点.

（1）求证：M/V//平面R4B：

（2）在图乙中，过直线MN作一平面，与平面平行，且分别交PC、AD于点、E、F,注明E、F的位

置，并证明.

【答案】（1）证明见解析；（2）E,F分别为PC,A£＞的中，理由见解析.

【分析】（1）取AO的中点F,分别证得MF//P4和NF〃AB,得到〃平面243和NF//平面,

证得平面MV尸〃平面PAB,进而得到A/N〃平面PAB；

（2）取PC的中点E，证得用0/NF,得到点E,M,£N四点共面，即可求解.

【详解】（1）证明：取A。的中点尸，分别连接尸，

因为M，F分别为和A。的中点，所以MF//P4,

又因为A/尸U平面PW,PAu平面R4B,所以MF//平面

因为F,N分别为4）,8C的中点，可得

又因为NFcZ平面A48，ABu平面A4B，所以NF〃平面

又由MFNF=F,且MF,NFu平面MNE,所以平面MVE//平面A48,

又因为MNu平面MNF,所以仞V〃平面Q48.

（2）证明：当E,尸分别为PC,4Q的中点时，此时平面E70EV〃平面尸A8,

证明如下：取PC的中点E,分别连接ME,NE,

在,PCD中，因为M,E为PQ,PC的中点，所以ME“CD,

又因为EN分别为AD,BC的中点，可得NF”AB,

所以ME//NF,所以点E,M,£N四点共面，

即过直线MN作一平面，与平面F48平行，且分别交尸C,4。于点E、F,

此时E，尸分别为PC和AO的中点.

【变式训练】

如图（1）,点E是直角梯形A8C。底边C£＞上的一点，ZABC=90°,BC=CE=\,AB=DE=2,将工D4E沿

AE折起，使得。一4E—8成直二面角，连接CD和8。，如图（2）.

D

图⑴图⑵

(1)求证：平面平面BC。；

(2)在线段BD上确定一点F,使得CF//平面ADE.

【答案】(1)证明见解析(2)当点尸线段的中点时，B〃平面ADE

【分析】(1)山短一AE—B成直疝角得到平面ADEL平面ABCE,利用面面垂直性质定理得94,平面ABCE,

从而D4LBC,再通过线面垂直证明面面垂直；

(2)分别取线段8,A8的中点F,G,利用线线平行证明线面平行，进而证明面面平行，即可证明结论.

【详解】(1)在直角梯形A8CZ)中，取力E中点为M,连接AM,

A/r-----------\B

则/)M=EM=1,AM=BC=\,所以AE=AO=0

DME

所以A£：2+A£>2=OE?,所以因为。一AE-B成直二面角，所以平面4)E_L平面A8C£,

乂平面ADE平面ABCE=AE,D4u平面ADE,所以DAJL平面ABCE,

因为3Cu平面ABCE,所以94_L3C,

又AB工BC,DAr\AB=A,£Wu平面ABu平面

所以BC」平面A8。，因为3Cu平面BCD所以平面4?DJ_平面SCO；

(2)如图，分别取线段8D,A8的中点凡G,

D

连接CG,FG,FC,则FG〃AO,又FG<Z平面AD£,AOu平面ADE,所以FG

EC

//平面ADE,

在直角梯形A8C。中，AG〃EC且AG=EC=1,所以四边形AGCE为平行四边形，所以A£〃GC,

又CG<Z平面ADE,AEu平面ADE,所以CG〃平面ADE,

又FGCG=G,尸G,CGu平面CFG,所以平面CFG〃平面ADE,又因为CPu平面CFG,所以〃平

面ADE.

所以当点尸线段的中点时，6〃平面ADE.

【题型九】平行应用：异面直线所成的角

【典例分析】

如图，在正方体A88-AAGR中，E,F,G分别是棱A8,BBt,CC,的中点，又“为的的中点.

(1)求证：平面gEG〃平面”FC：(2)求直线与C尸所成角的余弦值;

2

【答案】(1)证明见解析(2)5

【分析】(1)根据FC//4G可得FC〃平面筋EG,再由4E//H尸得到〃尸〃平面gEG,即可得证；

(2)设正方体棱长为。，求出△4EG的边长，利用余弦定理计算cosNEqG得出答案；

(1)证明：H、F是BE、8片的中点，..HF//qEHFc平面4EG,用Eu平面片EG,

；.HF〃平面BEG.又B、F=CG凫B、F〃CG,所以四边形qFCG为平行四边形，

所以CF〃B,G,又CF<t平面BEG,8£u平面片EG,所以Cf7/平面gEG.

又HF\CF=F,HFu平面HFC,CFu平面”尸C,，平面用EG〃平面C.

⑵解：CF”B、G,"N3G为直线m与CF所成角.

设正方体棱长为〃，则E=CE==殍,EG={(殍)。+9=与'

R尸2R「2F「2On

.•.在△MEG中，cosNEBQ=咕°?三二怖，所以直线足用与Cf所成角的余弦值为:.

2B、E・B、G55

【变式训练】

已知三棱锥A—BCD中，AABC,△AC。都是等边三角形，ZBAD=~,E,尸分别为棱A8,棱80的中点,

2

G是A3CE的重心.

A

(1)求异面直线CE与8。所成角的余弦值；

(2)求证：FGy平面4X?.

【答案】⑴巫(2)见解析

6

【分析】(1)取的中点连接ME,MC,证明ME〃瓦)，则异面直线CE与8。所成角的平面角即为

NMEC或其补角，解一MCE即可；

(2)取8c的中点N,连接NE,NF,EF,证明平面NEb，平面4DC,再根据面面平行的性质即可得证.

(1)

解：取AO的中点M，连接"E,VC,

因为E为棱A8的中点，

所以ME〃BD,

则异面直线CE与8。所成角的平面角即为NMEC或其补角，

设43=2,则CE=CM=6

ME=~BD=y/2,

2

在，MCE中，cosNMEC=4产产=见,

2xV3xV26

即异面直线CE48〃所成角的余弦值为亚；

6

(2)

解：取BC的中点N,连接NE,NF,EF,

因为E,尸分别为棱AB,棱8D的中点，

所以E/〃A£),NE〃AC,

又所,NE<z平面AQC,AQ,ACu平面AOC,

所以EF'/平面ADC,NE!平面ADC.

又EFcNE=E,EF,NE<z平面NEF,

所以平面NEF平面ADC,

又因为6是4BCE的重心，

所以点G在A®上，故FGu平面NEF,

所以FG,平面AQC.

M分阶培优练

培优第一阶——基础过关练

1.如图，四棱锥P-A8C。的底面为平行四边形.设平面出。与平面PBC的交线为/,M、N、。分别为

PC.CD、AB的中点.

（2）求证：BC//1.

【答案】（1）证明见解析⑵证明见解析

【分析】（1）由三角形的中位线定理、平行四边形的性质，结合线面平行和面面平行的判定，可得证明;

（2）由线面平行的判定和性质，可得证明.

【详解】（1）证明：因为M、N、。分别为PC、CD、4B的中点，底面A8CD为平行四边形，

所以MN〃尸。，NQ//AD,

又MNC平面PAD,POu平面PAD,

则MN〃平面PAD,

同理可得NQ〃平面PAD,