高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题六 达标检测六 理

专题达标检测六一、选择题1．从2011名学生中选出50名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：现用简单随机抽样从2011人中剔除11人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2011人中，每人入选的概率()A．都相等，且为eq\f(1,40)B．都相等，且为eq\f(50,2011)C．均不相等D．不全相等解析：每人入选的概率相等．概率为eq\f(2000,2011)×eq\f(50,2000)＝eq\f(50,2011)，故选B.答案：B2．(·山东理)某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是()A．90 B．75 C．60 解析：产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则eq\f(36,n)＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.故选A.答案：A3．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A．3项B．4项C．5项D．6项解析：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,24)(xeq\f(1,2))24－r(x－eq\f(1,3))r＝Ceq\o\al(r,24)x12－eq\f(5r,6)(0≤r≤24)∴r可取值为0,6,12,18,24∴符合要求的项共有5项，故选C.答案：C4．(·广东佛山)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝eq\r(x)围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)解析：S阴＝eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\f(3,2),\f(3,2))－\f(x3,3)))))eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)，S正＝1，∴P＝eq\f(S阴,S正)＝eq\f(1,3)，故选B.答案：B5．(·山东)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.477B．0.628C．0.954解析：P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－0.046＝0.954.答案：C6．已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且Eη＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为()ξ1234Peq\f(1,4)mneq\f(1,12)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)解析：本题考查随机变量的期望及有关的运算，由η＝12ξ＋7⇒Eη＝12Eξ＋7⇒34＝12·Eξ＋7⇒Eξ＝eq\f(9,4)⇒eq\f(9,4)＝1×eq\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×eq\f(1,12)，又eq\f(1,4)＋m＋n＋eq\f(1,12)＝1，联立求解可得m＝eq\f(1,3).答案：A二、填空题7．(ax－eq\f(1,\r(x)))10的展开式中x4项的系数为210，则实数a的值为________．解析：二项展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(ax)10－r(－1)rx－eq\f(r,2)＝Ceq\o\al(r,10)a10－r(－1)rx10－eq\f(3r,2)，令10－eq\f(3r,2)＝4得r＝4，由Ceq\o\al(4,10)a6＝210，得a6＝1，故a＝±1.答案：±18．左口袋里装有3个红球，2个白球，右口袋里装有1个红球，4个白球．若从左口袋里取出1个球装进右口袋里，掺混好后，再从右口袋里取出1个球，这个球是红球的概率为________．解析：分两种情况，从左边口袋里取出的是红球放在右边口袋里，则从右边口袋里取出的是红球，其概率是eq\f(3,5)×eq\f(2,6)＝eq\f(1,5)；从左边口袋里取出的是白球，再从右边的口袋里取出的是红球，其概率是eq\f(2,5)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,15)，所求概率为eq\f(1,5)＋eq\f(1,15)＝eq\f(4,15).答案：eq\f(4,15)9．(·广东河源)在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，则刚好构成直角三角形的概率为________．解析：∵直角三角形的斜边是圆的直径，而圆周上的10个等分点能组成5条直径，∴直角三角形的个数为5Ceq\o\al(1,8)＝40(个)．而每3个点能构成的三角形有Ceq\o\al(3,10)＝120(个)，∴所求概率为P＝eq\f(40,120)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)10．(·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y的值为________．解析：x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.①又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4②由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4.答案：0.4三、解答题11．(·湖南)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率 分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．解：(1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,)3×0.93＝0.729，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×0.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X的数学期望为EX＝3×0.1＝0.3.12．(·江苏)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．解：(1)由题设知，X的可能取值为10,5,2，－3，且P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.由此得X的分布列为X－32510P0.020.080.180.72(2)设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有(4－n)件．由题设知4n－(4－n)≥10，解得n≥eq\f(14,5)，又n∈N，得n＝3或n＝4.所以P＝Ceq\o\al(3,4)·0.83·0.2＋Ceq\o\al(4,4)·0.84＝0.8192.故所求概率为0.8192.13．(·四川)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为eq\f(1,6).甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,6).P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(A)P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))2＝eq\f(25,216).答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是eq\f(25,216).(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\