高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题三 第一讲 等差 等比数列的计算与证明 理

专题三数列第一讲等差、等比数列的计算与证明一、选择题1．(·全国Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35解析：由等差数列性质得a3＋a4＋a5＝3a4由3a4＝12，得a4＝4，所以a1＋a2＋…＋a7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝7a4＝28.答案：C2．(·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8解析：∵{an}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5则a5＝－3，d＝eq\f(a5－a1,5－1)＝eq\f(－3＋11,4)＝2，得{an}是首项为负数的递增数列，所有的非正项之和最小．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n＝6时，Sn取最小．故选A.答案：A3．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13T17，T25中也是常数的项是()A．T10B．T13C．T17D．解析：a3a6a18＝aeq\o\al(3,1)q2＋5＋17＝(a1q8)3＝aeq\o\al(3,9)，即a9为定值，所以与a1下标和为18的项积为定值，可知T17为定值．答案：C4．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80B．26C．30D．16解析：eq\f(S3n,Sn)＝eq\f(14,2)＝eq\f(1－q3n,1－qn)，∴qn＝2.∴S4n＝Sn·eq\f(1－q4n,1－qn)＝30.故选C.答案：C5．(·辽宁)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3则S5＝()A.eq\f(15,2)B.eq\f(31,4)C.eq\f(33,4)D.eq\f(17,2)解析：an>0，a2a4＝aeq\o\al(2,1)q4＝1①S3＝a1＋a1q＋a1q2＝7②解得a1＝4，q＝eq\f(1,2)或－eq\f(1,3)(舍去)，S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,32))),1－\f(1,2))＝eq\f(31,4)，故选B.答案：B二、填空题6．(·福建)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.解析：∵{an}是等比数列，q＝4，S3＝eq\f(a11－q3,1－q)＝21，∴a1＝1，∴an＝4n－1.答案：4n－17．(·辽宁理)等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.解析：由题意知6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5a1＋\f(5×4,2)d))－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×2,2)d))＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4＝5，故a4＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．数列{an}满足：an＋1＝an(1－an＋1)，a1＝1，数列{bn}满足：bn＝anan＋1，则数列{bn}的前10项和S10＝________.解析：由题可知an＋1＝an(1－an＋1)，整理可得eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝1，则eq\f(1,an)＝1＋(n－1)＝n，所以an＝eq\f(1,n)，bn＝anan＋1＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝1－eq\f(1,11)＝eq\f(10,11).答案：eq\f(10,11)9．已知数列{an}(n∈N*)满足：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(nn＝1，2，3，4，5，6,－an－6n≥7，且n∈N*))则a2007＝________.解析：由an＝－an－6(n≥7，且n∈N*)知an＋12＝－an＋6＝an从而知当n≥7时有an＋12＝an于是a2007＝a167×12＋3＝a3＝3.答案：3三、解答题10．如图给出了一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式．解：(1)该等差数阵的第1列是首项为4，公差为3的等差数列，a41＝4＋3×(4－1)＝13，第2列是首项为7，公差为5的等差数列，a42＝7＋5×(4－1)＝22.∵a41＝13，a42＝22，∴第4行是首项为13，公差为9的等差数列．∴a45＝13＋9×(5－1)＝49.(2)∵a1j＝4＋3(j－1)，a2j＝7＋5(j－1)，∴第j列是首项为4＋3(j－1)，公差为2j＋1的等差数列．∴aij＝4＋3(j－1)＋(2j＋1)·(i－1)＝i(2j＋1)＋j.11．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)证明：由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)eq\r(2)＝0.∵p，q，r∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0，))∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋r,2)))2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r.这与p≠r相矛盾．所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．12．已知数列{an}的各项均为正数，前n项的和Sn＝eq\f(an＋12,4)，(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}的首项为b，公比为2，前n项的和为Tn.若对任意n∈N*，Sn≤Tn均成立，求实数b的取值范围．解：(1)由a1＝eq\f(a1＋12,4)，解得a1＝1.当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝eq\f(an＋12－an－1＋12,4)，得(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0.又因为an>0，所以an－an－1＝2.因此{an}是首项为1，公差为2的等差数列，即an＝2n－1(n∈N*)．(2)因为Sn＝n2，Tn＝b(2n－1)，所以Sn≤Tn对任意n∈N*恒成立，当且仅当eq\f(1,b)≤eq\f(2n－1,