高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题五 第一讲 空间几何体 理

第一讲空间几何体一、选择题1．(·广东)如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝eq\f(3,2)BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图(也称主视图)是()解析：根据三视图的定义，几何体的主视图是几何体在它的正前方的竖直平面上的正投影，故选D.答案：D2．(·陕西)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C．1D．2解析：由几何体的三视图知几何体是底面为以1和eq\r(2)为直角边的直角三角形，高为eq\r(2)的直三棱柱，∴V＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，故选C.答案：C3．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为()A.eq\f(\r(3),8)a3B.eq\f(\r(2),8)a3C.eq\f(1,8)a3D.eq\f(1,12)a3解析：方法一：设三棱锥另一棱长BC＝x，如右图，取BC的中点E，连结AE、DE，易证BC垂直于平面ADE，故VA－BCD＝eq\f(1,3)S△ADE·BE＋eq\f(1,3)S△ADE·EC＝eq\f(1,3)S△ADE·BC＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·a·eq\f(\r(3a2－x2),2)x＝eq\f(a,12)eq\r(x23a2－x2)≤eq\f(a,12)·eq\f(x2＋3a2－x2,2)＝eq\f(a3,8)，当且仅当x2＝(3a2－x2)⇒x＝eq\f(\r(6),2)a时取得等号．方法二：如上图，底ABD是固定的，当C动起来时，显然当平面CAD⊥平面ABD时高最大，体积最大，Vmax＝eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)a2))·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(a3,8).答案：C4．如右图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,2)解析：如右图，分别过点A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连结DG、CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).故选A.答案：A5．(·全国Ⅰ)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB＝CD＝2，则四面体ABCD的体积的最大值为()A.eq\f(2\r(3),3)B.eq\f(4\r(3),3)C．2eq\r(3)D.eq\f(8\r(3),3)解析：解法一：设AB＝a，CD＝b，异面直线AB与CD所成角为θ，距离为h，将△BCD补成平行四边形BCDE，则BE＝b，∠ABE＝θ，∴VA－BCD＝VA－BDE＝VD－ABE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)absinθ·h＝eq\f(1,6)abhsinθ，由题意知a＝b＝2，分别以AB、CD为直径作两个互相平行的圆面，则h＝2eq\r(3)，∴VA－BCD＝eq\f(1,6)×2×2×2eq\r(3)sinθ＝eq\f(4\r(3),3)sinθ≤eq\f(4\r(3),3)，当θ＝90°时取等号．解法二：分别以AB、CD为直径作两个互相平行的圆面，将四面体ABCD放入长方体中，如图，设长方体的底面边长为a、b，则VA－BCD＝eq\f(1,3)V长方体＝eq\f(1,3)ab×2eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3)ab，又由a2＋b2＝4≥2ab得ab≤2，则VA－BCD≤eq\f(4\r(3),3)，故选B.解法三：过CD作平面PCD，使AB⊥面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则有VA－BCD＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×2×h＝eq\f(2,3)h，当球直径通过AB与CD的中点时h最大，hmax＝2eq\r(22－12)＝2eq\r(3)，故Vmax＝eq\f(4\r(3),3).答案：B二、填空题6．(·辽宁)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．解析：由几何体的三视图知，几何体为正方体的一个面和一个侧棱构成的四棱锥，其最长棱为正方体的对角线，因正方体棱长为2，因此最长棱为2eq\r(3).答案：2eq\r(3)7．半径为2的半球内有一内接正六棱锥P－ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．解析：由题意可知，P在圆面上的射影是圆心O.易得PA＝2eq\r(2)，AO＝2，AF＝2，∴S△PAF＝eq\f(1,2)AF·eq\r(PA2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AF,2)))2)＝eq\r(7).∴正六棱锥的侧面积为6eq\r(7).答案：6eq\r(7)8．(·江西)正三棱柱ABC－A1B1C1内接于半径为2的球，若A、B为π，则正三棱柱的体积为________．解析：设O为球心，O1为正△ABC的中心，连接OO1，则OO1⊥平面ABC，由已知条件∠AOB＝eq\f(π,2)，则AB＝eq\r(2)AO＝2eq\r(2)，AO1＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\f(2\r(6),3)，OO1＝eq\r(OA2－AO\o\al(2,1))＝eq\f(2,\r(3))，则V正三棱柱＝S△ABC·2OO1＝eq\f(\r(3),4)(2eq\r(2))2·eq\f(4,\r(3))＝8.答案：89．(·江西)如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．解析：将三棱锥O－ABC补形成如图所示的长方体，连CF、OE，OE与AB交于点D，则平面OCD将三棱锥体积平分，A到平面OCD的距离d＝eq\f(OA·OB,\r(OA2＋OB2))，有2×eq\f(1,3)d·S3＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)OA·OB·OC，则S3＝eq\f(OC·\r(OA2＋OB2),4)；同理S2＝eq\f(OB·\r(OA2＋OC2),4)，S1＝eq\f(OA·\r(OB2＋OC2),4)，而Seq\o\al(2,1)＝eq\f(OA2·OB2＋OA2·OC2,16)，Seq\o\al(2,2)＝eq\f(OA2·OB2＋OB2·OC2,16)，Seq\o\al(2,3)＝eq\f(OB2·OC2＋OA2·OC2,16)，∴Seq\o\al(2,1)>Seq\o\al(2,2)>Seq\o\al(2,3)，因此S1>S2>S3.答案：S3<S2<S1三、解答题10．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)．(1)画出它的直观图(不要求写出画法)；(2)求几何体的表面积和体积．解：(1)由三视图可知，该几何体由一个正方体和一个四棱柱组成，如图所示．(2)表面积为2×eq\f(2＋3,2)×1＋eq\r(2)×1＋7×1×1＋3×1＝15＋eq\r(2)(m2)．正方体的体积为13＝1(m3)，四棱柱的体积为eq\f(2＋3,2)×1×1＝eq\f(5,2)，所以，几何体的体积为eq\f(7,2)m3.11．如图所示，长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．解：已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′－BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.而棱锥C－A′DD′的底面面积为eq\f(1,2)S，高是h，因此，棱锥C－A′DD′的体积VC－A′DD′＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)Sh＝eq\f(1,6)Sh.剩余部分的体积是Sh－eq\f(1,6)Sh＝eq\f(5,6)Sh.所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.12．三棱锥一条侧棱长为16cm，和这条棱相对的棱长是18cm，其余四条棱长都是17cm，求棱锥的体积．解：如图，设AD＝16cm，BC＝18cm，取AD的中点E，连结CE、BE，据题意，DC＝DB＝AC＝AB＝17cm，AD＝16cm，BC＝18cm，∵AC＝CD，E为AD中点，∴CE⊥AD，又DE＝eq\f(1,2)AD＝8cm，∴CE＝eq\r(172－82)＝15(cm)，同理BE＝15cm，∴BE＝CE.取BC的中点F，连结EF，则EF⊥BC，EF＝eq\r(CE2－CF2)＝eq\r(152－92)＝12(