2021-2022学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷（学生版+解析版）

20212022学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题第L8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

2.（2分）在等式①f+xnl：②3+2=5；（§）-+1=0：④x+y=l；⑤x+3=2x中，符合一元

二次方程概念的是（）

A.①⑤B.①C.④D.①④

3.（2分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性

大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率

是（）

1124

A.一B."C.一D.一

6299

4.（2分）利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（）

A.直径所对圆周角为90°

B.如果点A在圆上，那么点A到圆心的距离等于半径

C.直径是最长的弦

D.垂直于弦的直径平分这条弦

5.（2分）计算半径为1,圆心角为60°的扇形面积为（）

nnn

A.-B.-C.-D.TC

362

6.（2分）在求解方程/+云+°=0（420）时，先在平面直角坐标系中画出函数y=a/+/zr+c

的图象，观察图象与x轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解,

分析图中的信息，方程的近似解是（）

A.xi■-39X2B.xi-3rX2="3C.xi---2,X2~~2D.xi——2,X2=3

7.（2分）南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云

长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道

它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题

意可以列方程为（）

A.?-60x-864=0B.x（x+60）=864

C.%2-60x+864=0D.x（x+30）=864

8.（2分）在中，/C=90°,BC^4cm,AC=3cm.把AABC绕点A顺时针旋转

90°后，得到△ABiCi，如图所示，则点B所走过的路径长为（）

必

N

55

A.5\[2cmB.FO77C.D.5ircm

4

二、填空题（

9.（2分）抛物线y=2（x-1）2+5的顶点坐标是,图象的开口方向是.

10.（2分）已知点A、B、。、。在圆。上，且尸。切圆。于点拉，OELCD于点E,对于

下列说法：①圆上A帕是优弧；②圆上A4）是优弧；③线段AC是弦；④NCAZ）和NADF

都是圆周角；⑤NCOA是圆心角，其中正确的说法是.

11.（2分）在下图中，AB是。。的直径，要使得直线A7是。。的切线，需要添加的一个

条件是.（写一个条件即可）

12.（2分）下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正

确的画图步骤是.

13.（2分）下面是用配方法解关于x的一元二次方程3?+x-2=0的具体过程，37+2x-1

=0.

解：第一步：x2+|x-1=0

第二步:|.r=|

第三步:?+|.r+（-）2=1+（-）2

J3J3

第四步：（x+g）2==±-；.xi=/，X2—-1

以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各

加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1,方程两边都除以二次项系数”，则第一

步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是.

14.（2分）时隔十三年，奥运圣火再次在北京点燃.北京将首次举办冬奥会，成为国际上

唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”.墩墩和融融积极参加雪上项目的训练，现

有三辆车按照1,2,3编号，两人可以任选坐一辆车去训练，则两人同坐2号车的概率

是.

15.(2分)在平面直角坐标系中，已知点A(2a-b,-8)与点8(-2,a+3b)关于原点

对称，贝!Ja=,b—.

16.(2分)已知二次函数yuaf+fcr+c的图象如图所示，则下列结论①。<0；②9a+36+c>

0；③c>0；④中正确的是.

三、解答题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.(5分)用适当的方法解下列方程：

(1)2?-18=0.

(2)(/«-1)2-l+nt=0.

18.(5分)在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为-岫.如：2*1=22-2

XI=2.根据这个法则，

(1)计算：3*2=；

(2)判断(什2)*(2/+1)=0是否为一元二次方程，并求解；

(3)判断方程(x+2)*1=3的根是否为制=弓匹，双=二竽&，并说明理由.

19.(5分)已知/+4x-5=0,求代数式2(x+1)(x-1)-(%-2)2的值.

20.(5分)如图，A8是。0的弦，C是。0上的一点，且/ACB=60°,OOJ_A8于点E,

交O。于点D.若。。的半径为6,求弦48的长.

21.(5分)已知：如图，射线AM.

求作：ZVIBC,使得点B在射线AM上，ZC=90°,ZA=60°.

作法：①在射线4M上任取一点O；

②以点。为圆心，OA的长为半径画圆，交射线4M于另一点8；

③以点A为圆心，AO的长为半径画弧，在射线AM上方交OO于点C；

④连接AC、BC.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：为OO的直径，点C在OO上，

AZACB=90°（）（填推理依据）.

连接OC

'：OA=OC=AC,

...△40C为等边三角形（）（填推理依据）.

AZA=60°.

所以AABC为所求作的三角形.

•------------•--------------------------

A0M

22.（5分）已知关于x的方程7-4g+4〃72-9=0.

（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；

（2）设此方程的两个根分别为xi，及，其中xi〈X2.若2加=股+1,求，〃的值.

23.（5分）苗木种植不仅绿了家园，助力脱贫攻坚，也成为乡村增收致富的“绿色银行”.小

王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成

活率如下表所示：

m

移植棵数（〃）成活数（m）成活率（―）移植棵数（〃）成活数（M成活率（一）

nn

50470.940150013350.890

2702350.870350032030.915

4003690.92370006335X

7506620.88314000126280.902

根据以上信息，回答下列问题:

（1）当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是,那么成活率x是；

（2）随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，

可以估计树苗成活的概率是；

（3）若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活；

（4）若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵.此结论正确吗？说明理由.

24.（7分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示:

X•・・-10123…

・・・・・・

y0-3m-30

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求"7的值；

（3）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象;

（4）这个二次函数的图象经过点（-2"）和（""）两点，写出a=,b=

25.（6分）数字“122”是中国道路交通事故报警电话.为推进“文明交通行动计划”，公

安部将每年的12月2日定为“交通安全日”.班主任决定从4名同学（小迎，小冬，小

奥，小会）中通过抽签的方式确定2名同学去参加宣传活动.

抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝

上，洗匀后放在桌子上，班主任先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张

卡片中随机抽取一张，记下名字.

（1）“小冬被抽中”是事件，“小红被抽中”是事件（填“不可能”、“必

然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小会的概率是；

(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小奥被抽中的概

率.

26.(6分)如图，以四边形ABCD的对角线8。为直径作圆，圆心为。，过点A作AELCZ)

的延长线于点E,已知D4平分/8£>E.

(1)求证：AE是。。切线；

(2)若AE=4,CD=6,求。。的半径和AO的长.

27.(7分)△ACB中，ZC=90°,以点A为中心，分别将线段AB,AC逆时针旋转60°

得到线段A。，AE,连接。E,延长。E交CB于点F.

(1)如图1,若NA=60°,/CFE的度数为；

(2)如图2,当30。<ZA<60°口寸，

①依题意补全图2；

②猜想CF与AC的数量关系，并加以证明.

28.(7分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-^+hx+c与x轴交于点A,B(A在8

的左侧).

(1)抛物线的对称轴为直线x=3,AB=4.求抛物线的表达式；

(2)将(1)中的抛物线，向左平移两个单位后再向下平移，得到的抛物线经过点O,

且与x轴正半轴交于点C,记平移后的抛物线顶点为尸，求点尸的坐标；

(3)当b=4时，抛物线上有两点M(xi，yi)和N(%2，”)，若X]V2,X2>2,xt+x2

>4,试判断yi与”的大小，并说明理由.

yk

5-

4

3

2

1

x

J------1-------

-4-3-2-1O234

-1

-2

-4

-5

20212022学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

【解答】解：A.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意;

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意;

D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意.

故选：A.

2.（2分）在等式①/+x=l；②3+2=5；③§+1=0；④x+y=l；⑤x+3=2x中，符合一•元

二次方程概念的是（）

A.①⑤B.①C.©D.①④

【解答】解：①f+x=l是一元二次方程；

②3+2=5,不含未知数，不是方程；

③工+1=0是分式方程；

X

⑤x+y=l是二元一次方程；

⑤x+3=2x是一元一次方程；

故选：B.

3.（2分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性

大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率

是（）

4

D."

9

共有91种等可能的结果，一辆车向左转，一辆车向右转的结果有2种，

.•.一辆车向左转，一辆车向右转的概率为|,

故选：C.

4.（2分）利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（）

A.直径所对圆周角为90°

B.如果点A在圆上，那么点A到圆心的距离等于半径

C.直径是最长的弦

D.垂直于弦的直径平分这条弦

【解答】解：定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出直径所对的圆周

角为90°.

故选：A.

5.（2分）计算半径为1,圆心角为60°的扇形面积为（）

nnn

A.-B.-C.-D.TT

362

2

【解答】解：S蒯行嘴4=也

□OUo

故选：B.

6.（2分）在求解方程—+力刈^二。（〃W0）时，先在平面直角坐标系中画出函数ynaf+fov+c

的图象，观察图象与x轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，

分析图中的信息，方程的近似解是（）

A.xi■-3,X2B.xi-3rX2="3C.xi---2,X2~~2D.xi——2,X2=3

【解答】解：由图象可知，抛物线y=o?+bx+c(a#0)与x轴的交点接近(-2,0)和

(3,0),

，方程/+公+。=0(。¥0)的近似解是制=-2,彳2=3,

故选：D.

7.(2分)南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云

长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道

它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题

意可以列方程为()

A.?-60x-864=0B.x(x+60)=864

C.x2-60x+864=0D.x(x+30)=864

【解答】解：•.•矩形田地的长为x步，矩形田地的长与宽的和是60步，

.•.矩形田地的宽为(60-%)步.

依题意得：x(60-x)=864,

整理得：/-60x+864=0.

故选：C.

8.(2分)在RtZ\ABC中，ZC=90°，BC=4cm,AC=3cm.把△ABC绕点A顺时针旋转

90°后，得到△AB1。，如图所示，则点8所走过的路径长为()

a

BA

厂55

A.572cmB.不cmC.-^ncmD.5nan

【解答】解：在Rt/XABC中，AB=y）BC2-¥AC2=V42+32=5,

.2nRn27rx5x905

IAB=-360-=360=2ncmt

故点B所经过的路程为|1TCh

故选：C.

二、填空题（每小题2分）

9.（2分）抛物线y=2（x-1）2+5的顶点坐标是（1,5）,图象的开口方向是

上.

【解答】解：..》二？（x-I）2+5是二次函数的顶点式，

该函数的顶点坐标为（1,5）,

•.,二次项系数”=2>0,

...该抛物线的开口向上，

故答案为：（1,5）,向上.

10.（2分）已知点A、B、C、。在圆。上，且尸。切圆。于点。，OEJ_C3于点E,对于

下列说法：①圆上AbB是优弧；②圆上助。是优弧；③线段AC是弦；④NCA。和NACF

都是圆周角；⑤/COA是圆心角，其中正确的说法是①②③⑤.

b

【解答】解：由图可知圆上A此及圆上Ab£>是优弧，故①②正确,

由弦的定义可知线段AC是弦，故③正确；

♦.♦尸。切圆。于点D,

N49F是是圆周角，

故④不错误；

VA,C是圆上的点，

...NAOC是圆心角，故⑤正确;

故答案为：①②③⑤.

11.（2分）在下图中，A8是。。的直径，要使得直线AT是。。的切线，需要添加的一个

条件是（答案不唯一）.（写一个条件即可）

【解答】解：是。0的直径，

AZACB=90°,

.•.NB+NBAC=90°,

当/771C=/B时，/窗C+/8AC=90°,

即/Q4T=90°,

是圆。的半径，

直线AT是。。的切线，

故答案为：N7AC=NB（答案不唯一）.

12.（2分）下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正

确的画图步骤是②③④①.

①②③④

【解答】解：由圆周角定理先画出圆的直径，再由切线的性质画出圆的切线可得出正确

的画图步骤是：

②③④①.

故答案为：②③④①.

13.（2分）下面是用配方法解关于x的一元二次方程3/+x-2=0的具体过程，3?+2x-1

=0

解：第一■步：可=0

第二步:?+|x=!

第三步：/+至+(-)2=1+(-)2

3333

第四步：(x+J)2==±T・Xl=J，X2=-I

JVJ33

以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各

加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1,方程两边都除以二次项系数”，则第一

步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是④①③②.

［解答］解：3?+2x-1=0,

把二次项系数化1得：f+|xV=(),

移项得：?+|x=|,

配方得：/+至+(-)2=i+<即(x+i)2=K，

333339

12

开方得：JC+=±->

解得：xj=xi--1.

故第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是④①③②,

故答案为：④①③②.

14.(2分)时隔十三年，奥运圣火再次在北京点燃.北京将首次举办冬奥会，成为国际上

唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”.墩墩和融融积极参加雪上项目的训练，现

有三辆车按照1,2,3编号，两人可以任选坐一辆车去训练，则两人同坐2号车的概率

【解答】解：画树状图如下：

开始

M123

/1\z4\/N

123123123

共有9种等可能的结果，其中墩墩和融融两人同坐2号车的结果有1种,

・,・墩墩和融融两人同坐2号车的概率为一,

9

故答案为：

9

15.(2分)在平面直角坐标系中，己知点A(2a-b,-8)与点B(-2,a+3b)关于原点

对称，则2,b=2.

【解答】解：•••点A(2a-b,-8)与点B(-2,a+3b)关于原点对称，

：・2a-b=2,a+3b=8,

**•=2,Z?=2,

故答案为2,2.

16.(2分)已知二次函数y=o?+fev+c的图象如图所示，则下列结论①。<0；②9a+38+c>

0；③c>0；⑷中正确的是①③④.

【解答】解：由二次函数的图像可知开口向下,

，a<0,

；•①说法符合题意，

•.,由图象可知，当x=3时，y=9a+3b+c<0,

二②说法不合题意，

•.,二次函数的图象与)，轴的交点在x轴的上方,

：.c>0,

③说法符合题意，

•.•由图象可知抛物线的对称轴在-3和0之间，

・一〈-白<0，

二④说法符合题意，

故答案为：①③④.

三、解答题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.(5分)用适当的方法解下列方程：

(1)2?-18=0.

(2)1)2-l+%=0.

【解答】解：(1)移项，得2/=18,

所以7=9,

所以x=±3.

所以xi=3,X2—-3.

(2)(W1)2+(7/7-1)=0,

(zn-1)Cm-1+1)=0.

/.m(m-1)=0.

.*./n=0或tn-1=0.

A/ni=0,J%2=1・

18.(5分)在实数范围内定义一种运算其运算法则为-必如:2*1=22-2

XI=2.根据这个法则，

(1)计算：3*2=3；

(2)判断(什2)*(2r+l)=0是否为一元二次方程，并求解；

(3)判断方程(x+2)*1=3的根是否为制=弓匹，工2=二学，并说明理由.

【解答】解：(1)根据题中的新定义得：3*2=32-3X2=9-6=3,

故答案为:3；

(2)已知等式变形得：C+2)2-(r+2)(2r+l)=0,整理得P+L2=0,是一元二次方

程；

解方程得P+f-2=0,得(f+2)(r-1)=0,即什2=0或r-1=0,解得fi=-2,包=1；

(3)方程变形得：(x+2)2-(x+2)=3,

整理得：/+4x+4-x-2-3=0,即7+3x-l=0,

Vtz=l,b=3,c=-1,

.-b±J/)2—4QC—3±A/13

••"=2a=-2-'

-3+/13—3—713

解得：x\=-------，X2=-----2-----,

故方程(x+2)*1=3的根不是幻=弓在，刀2=二磬.

19.(5分)已知f+4x-5=0,求代数式2(x+1)(x-1)-(x-2)2的值.

【解答】解：・.“2+4x-5=0,即/+4x=5,

:.原式=2^-2-W+4x-4=X2+4X-6=5-6=-1.

20.（5分）如图，AB是00的弦，。是上的一点，且NAC8=60°,OQL48于点E

交。。于点。.若OO的半径为6,求弦48的长.

VZACB=60°,

AZAOB=2ZACB=120°,

•；OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA=^(180°-NA05)=30°,

VOEA.AB.OE过圆心。,

：.AE=BEfZAEO=90°,

・・・QA=6,

：.OE=^OA=?,,

由勾股定理得：AE=y/OA2-OE2=V62-32=3次,

:.BE=36,

即AB=AE+BE=3^3+3V3=6百.

21.(5分)已知：如图，射线AM.

求作：△A8C,使得点B在射线AM上，ZC=90°,ZA=60°.

作法：①在射线A何上任取一点O;

②以点。为圆心，0A的长为半径画圆，交射线AM于另一点B；

③以点A为圆心，A0的长为半径画弧，在射线AM上方交。。于点C；

④连接AC、BC.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：二•AB为。0的直径，点C在。0上，

AZACB=90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理依据）.

连接0C.

'：OA=OC=AC,

...△AOC为等功三角形（三边相等的三角形是等边三角形）（填推理依据）.

，乙4=60°.

所以△ABC为所求作的三角形.

•----------•----------------------

A0M

：AB为00的直径，点C在0。上，

AZACB=90°（直径所对的圆周角是直角），

连接0C.

\'OA=OC=AC,

...△40C为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），

.*./4=60°.

所以AABC为所求作的三角形.

故答案为：直径所对的圆周角是直角，三边相等的三角形是等边三角形.

22.（5分）已知关于x的方程/-4,加+4机2-9=0.

（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；

(2)设此方程的两个根分别为XI，X2,其中X1<X2.若2XI=X2+1，求机的值.

【解答】解：(1),/△-(-4m)2-4(4m2-9)=36>0,

...此方程有两个不相等的实数根；

/八..4m±V36_

(2).x=-----------=2团±3,

•\x\-2m-3,%2=2m+3,

,/2xi=X2+1,

・・・2(2/72-3)=2/72+3+1,

♦・"7=5.

23.(5分)苗木种植不仅绿了家园，助力脱贫攻坚，也成为乡村增收致富的“绿色银行”.小

王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成

活率如下表所示：

m

移植棵数(〃)成活数(m)成活率(一)移植棵数(〃)成活数(〃?)成活率(-)

nn

50470.940150013350.890

2702350.870350032030.915

4003690.92370006335X

7506620.88314000126280.902

根据以上信息，回答下列问题：

(1)当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是6335，那么成活率x是0.905；

(2)随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，

可以估计树苗成活的概率是0.900；

(3)若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；

(4)若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵.此结论正确吗？说明理由.

【解答】解：(1)当移植的树数是7000时，表格记录成活数是6335,那么成活率x是

0.905,

故答案为：6335,0.905；

(2)随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，

可以估计树苗成活的概率是0.900,

故答案为：0.900：

(3)若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活10000X0.900=9000(棵)，

故答案为：9000棵；

(4)此结论错误，

理由：•.•随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定

性，可以估计树苗成活的概率是0.900,

•••成活的概率是0.900可能发生，也可能不发生，

故若小张移植20000棵这种树苗，不一定成活18000棵.

24.(7分)己知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)求m的值；

(3)在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象;

(4)这个二次函数的图象经过点(-2,b)和(a,b)两点，写出。=4,b=5

【解答】解：(1)设y=a(x+1)(x-3),

将(0,-3)代入得-3a=-3,解得a=l,

...抛物线解析式为y=(x+1)(x-3),

即y—j?-2x-3；

(2)把x=l代入＞=7--3得，y=l-2-3=-4,

'.m=-4；

(3)•・•图象经过点(-1,0),(3,0),

・••抛物线的对称轴为直线x=段士=1，

・・・抛物线的顶点坐标为（1,-4）,

（4）・・•二次函数的图象经过点（-2,方）和（〃，b）两点，抛物线的对称轴为直线x=l,

-2+a

----=],

2

••。=4,

把x=-2代入y=W-2x-3得，y=4+4-3=5,

:.b=5,

故答案为：4,5.

25.（6分）数字“122”是中国道路交通事故报警电话.为推进“文明交通行动计划”，公

安部将每年的12月2日定为“交通安全日”.班主任决定从4名同学（小迎，小冬，小

奥，小会）中通过抽签的方式确定2名同学去参加宣传活动.

抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝

上，洗匀后放在桌子上，班主任先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张

卡片中随机抽取一张，记下名字.

（1）“小冬被抽中”是随机事件,“小红被抽中“是不可能事件（填“不可能”、

“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小会的概率是7；

-4-

（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小奥被抽中的概

率.

【解答】解：(1)小冬被抽中”是随机事件，“小红被抽中”是不可能事件,

1

第一次抽取卡片抽中小会的概率是

4

1

故答案为：随机，不可能，

4

(2)把小迎，小冬，小奥，小会4名同学的卡片分别记为：A、B、C、D,

画树状图如下：

开始

ABCD

ZN/I\ZN/N

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中小奥被抽中的结果有6种，

61

...小奥被抽中的概率为石=--

26.(6分)如图，以四边形ABCD的对角线80为直径作圆，圆心为0,过点A作AELCZ)

的延长线于点E,已知D4平分/8£>E.

(1)求证：AE是。0切线；

(2)若AE=4,CD=6,求。。的半径和AO的长.

【解答】（1）证明：如图，连接。4,

'：AELCD,

：.ZDAE+ZADE=90°.

平分

ZADE=ZADO,

又,.Q=0。，

：.ZOAD=ZADO,

：.Z